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“回扣验收特训”见“回扣验收特训（二）”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(六)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(七)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(八)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(九)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十一)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十二)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(十三)”
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课时跟踪检测（七） 椭圆及其标准方程
层级一 学业水平达标
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5
C．8 D．10
解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10，故选D．
2．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6
C．4 D．12
解析：选C 由于△ABC的周长与焦点有关，设另一焦点为F，利用椭圆的定义，|BA|＋|BF|＝2，|CA|＋|CF|＝2，便可求得△ABC的周长为4．
3．命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)；命题乙：P点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选B 利用椭圆定义．若P点轨迹是椭圆，则|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)，∴甲是乙的必要条件．
反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的．
这是因为：仅当2a>|AB|时，P点轨迹才是椭圆；而当2a＝|AB|时，P点轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，P点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．
综上，甲是乙的必要不充分条件．
4．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．a>3 B．a<－2
C．a>3或a<－2 D．a>3或－6
解析：选D 由a2>a＋6>0得所以所以a>3或－65．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为( )
A．＋＝1
B．＋＝1或＋＝1
C．＋＝1
D．＋＝1或＋＝1
解析：选B 由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝．
∵2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，
∴a＝2．∴b2＝a2－c2＝9．
故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1．
6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
解析：当椭圆的焦点在x轴上时，a2＝m，b2＝4，c2＝m－4，又2c＝2，∴c＝1．
∴m－4＝1，m＝5．
当椭圆的焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝m，
∴c2＝4－m＝1，
∴m＝3．
答案：3或5
7．已知椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为________________．
解析：法一：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，且可知左焦点为F′(－2,0)．
从而有解得
又a2＝b2＋c2，所以b2＝12，
故椭圆C的标准方程为＋＝1．
法二：依题意，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则解得b2＝12或b2＝－3(舍去)，从而a2＝16．所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
答案：＋＝1
8．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为__________．
解析：如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，
∴×8b＝12，∴b＝3．
又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25．
∴椭圆的标准方程为＋＝1．
答案：＋＝1
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
解：由点在椭圆上，得＋＝1，
又2a＝4，所以椭圆C的方程为＋＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知椭圆C与椭圆x2＋37y2＝37的焦点F1，F2相同，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若P∈C，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积．
解：(1)因为椭圆＋y2＝1的焦点坐标为(－6,0)，(6,0)．
所以设椭圆C的标准方程为＋＝1(a2>36)．
将点的坐标代入整理得4a4－463a2＋6 300＝0，解得a2＝100或a2＝(舍去)，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1．
(2)因为P为椭圆C上任一点，
所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝20．
由(1)知c＝6，
在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝12，
所以由余弦定理得：
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos ，
即122＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．
因为|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·
所以122＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|．
所以122＝202－3|PF1||PF2|．
所以|PF1|·|PF2|＝＝＝．
S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin ＝××＝．
所以△F1PF2的面积为．
层级二 应试能力达标
1．下列说法中正确的是( )
A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆
解析：选C A中，|F1F2|＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于|F1F2|，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选C．
2．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为( )
A．9 B．12
C．10 D．8
解析：选A ∵·＝0，
∴PF1⊥PF2．
∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝2a．
又a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴
②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝36，
∴|PF1|·|PF2|＝18，
∴△F1PF2的面积为
S＝·|PF1|·|PF2|＝9．
3．若α∈，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选A 易知sin α≠0，cos α≠0，方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1．因为椭圆的焦点在y轴上，所以>>0，即sin α>cos α>0．又α∈，所以<α<．
4．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．5 B．7
C．13 D．15
解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心：且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7．
5．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________．
解析：易知k≠0，方程2kx2＋ky2＝1变形为＋＝1，所以－＝16，解得k＝．
答案：
6．已知椭圆C： ＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则 |AN|＋|BN|＝________．
解析：取MN的中点G，G在椭圆C上，因为点M关于C的焦点F1，F2的对称点分别为A，B，故有|GF1|＝|AN|，|GF2|＝|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|GF1|＋|GF2|)＝4a＝12．
答案：12
7．已知点P在椭圆上，且P到椭圆的两个焦点的距离分别为5,3．过P且与椭圆的长轴垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程．
解：法一：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，
由已知条件得解得
所以b2＝a2－c2＝12．
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
法二：设所求的椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，两个焦点分别为F1，F2．
由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋5＝8，所以a＝4．
在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝；
在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝．
依题意有＝3，得b2＝12．
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1．
8． 如图在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1,0)．Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
解：如图，连接MA．由题意知点M在线段CQ上，从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|．又点M在AQ的垂直平分线上，
则|MA|＝|MQ|，故|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5．
又A(1,0)，C(－1,0)，故点M的轨迹是以(1,0)，(－1,0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝．
故点M的轨迹方程为＋＝1．
课时跟踪检测（九） 直线与椭圆的位置关系
层级一 学业水平达标
1．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：选B 直线y＝kx－k＋1可变形为y－1＝k(x－1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆＋＝1内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交，故选B．
2．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A． B．
C． D．
解析：选A 由消去y得，
(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)，
则x1＋x2＝，∴x0＝，
代入y＝1－x得y0＝．
由题意＝，∴＝，选A．
3．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A．(0,1) B．0，
C．0， D．，1
解析：选C ∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c0，∴04．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则| |＝( )
A． B．2
C． D．3
解析：选A 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1．∴右焦点F(1,0)．
由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0．
∴x0＝，y0＝n．
将x0，y0代入＋y2＝1，
得×2＋2＝1．
解得n2＝1，
∴||＝＝＝．
5．(全国卷Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选D 因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，
所以直线AB的方程为y＝(x－3)，
代入椭圆方程＋＝1消去y，
得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，
所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，
又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3．
所以E的方程为＋＝1．
6．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为______．
解析：由
消去y并化简得x2＋2x－6＝0．
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6．
∴弦长|MN|＝|x1－x2|
＝ ＝ ＝．
答案：
7．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，| |＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，
∴⊥．
∴||2＝| |2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故||min＝2，∴||min＝．
答案：
8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析：由＋＝1可得F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝2时，·取得最大值6．
答案：6
9．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
解：∵a2＝4，b2＝1，∴c＝＝，
∴右焦点F(，0)，∴直线l的方程y＝x－．
由消去y并整理，得5x2－8x＋8＝0．
设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝
＝＝，
即弦AB的长为．
10．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，
∴b＝4．又e＝＝，得＝，
即1－＝，∴a＝5，
∴C的方程为＋＝1．
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3，∴AB的中点坐标 x0＝＝，y0＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为．
层级二 应试能力达标
1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．2 B．1
C．0 D．0或1
解析：选A 由题意，得 >2，所以m2＋n2<4，则－22．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是( )
A．
B．
C．∪
D．∪
解析：选C 由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)>0，即k>或k<－时，直线与椭圆有两个公共点．故选C．
3．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为( )
A．1 B．－1
C．－ D．以上都不对
解析：选C 设＝k，则y＝k(x－2)．
由消去y，整理得
(k2＋4)x2－4k2x2＋4(k2－1)＝0，
Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，
解得k＝±，
∴kmin＝－．选C．
4．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1的两个焦点，P(不在x轴上)为椭圆上一点，且满足·＝c2，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选C 由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2． ①
又·＝c2，
∴|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝c2， ②
由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2＝|F1F2|2＝4c2， ③
由①②③，得cos∠F1PF2＝<1，
所以c又|PF1|·|PF2|≤2＝a2，
∴2a2－3c2≤a2，a2≤3c2，e≥，
则椭圆离心率的取值范围是，故选C．
5．若过椭圆＋＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程是________．
解析：设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1，两式相减并将x1＋x2＝4，y1＋y2＝2代入，得＝－，所以所求直线的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0．
答案：x＋2y－4＝0
6．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，所以＝，即e＝．
答案：
7．已知F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．
解：显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立消去y并整理，得x2＋4kx＋3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝．
由Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0，得k>或k<－．①
又0°<∠AOB<90°?cos∠AOB>0?·>0，
所以·＝x1x2＋y1y2>0．
又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝，
所以＋>0，即k2<4，所以－2综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为－2，－∪．
8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c，0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线 l：y＝－x＋m与椭圆交于 A，B两点，与以F1F2 为直径的圆交于C，D 两点，且满足＝ ，求直线l 的方程．
解：(1)由题设知
解得a＝2，b＝，c＝1，
∴椭圆的方程为＋＝1．
(2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，
∴圆心到直线l的距离d＝，
由d＜1得|m|＜．(*)
∴|CD|＝2＝2＝ ．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得x2－mx＋m2－3＝0，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3．
∴|AB|＝
＝ ．
由＝得 ＝1，
解得m＝±，满足(*)．
∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－．
课时跟踪检测（八） 椭圆的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )
A．(±13,0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析：选D 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
2．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 依题意，△BF1F2是正三角形，
∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°，
∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝，故选A．
3．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则( )
A．a2＝25，b2＝16
B．a2＝9，b2＝25
C．a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
D．a2＝25，b2＝9
解析：选D 因为椭圆＋＝1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆＋＝1的短轴长为6，所以a2＝25，b2＝9．
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若＝2，则椭圆的离心率是( )
A． B．
C． D．
解析：选D ∵＝2，∴||＝2||．
又∵PO∥BF，∴＝＝，
即＝，∴e＝＝．
5．椭圆mx2＋ny2＋mn＝0(mA．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
解析：选C 化为标准方程是＋＝1，
∵m∴焦点在y轴上，且c＝＝．
6．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________．
解析：当焦点在x轴上时，＝?m＝3；
当焦点在y轴上时，＝?m＝．
综上，m＝3或m＝．
答案：3或
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
解析：∵e＝＝，
∴＝＝，
∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2．
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1．
解得a2＝45．∴椭圆方程为＋＝1．
答案：＋＝1
8．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．
解析：设A(m，n)．
由＝5，得B．
又A，B均在椭圆上，所以有
解得或
所以点A的坐标为(0,1)或(0，－1)．
答案：(0,1)或(0，－1)
9．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，求椭圆C的标准方程．
解：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由e＝知＝，故＝，从而＝，＝．由△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16，得a＝4，∴b2＝8．
故椭圆C的标准方程为＋＝1．
10．椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点是A(a,0)，其上存在一点P，使∠APO＝90°，求椭圆离心率的取值范围．
解：设P(x，y)，由∠APO＝90°知，点P在以OA为直径的圆上，圆的方程是2＋y2＝2．
∴y2＝ax－x2．①
又P点在椭圆上，故＋＝1．②
把①代入②化简，得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，即
(x－a)[(a2－b2)x－ab2]＝0，∵x≠a，x≠0，
∴x＝，又0∴0<由b2＝a2－c2，得a2<2c2，∴e>．
又∵0层级二 应试能力达标
1．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长轴长、短轴长 B．有相等的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的顶点
解析：选B c＝25－9＝16，c＝(25－k)－(9－k)＝25－9＝16，所以两椭圆有相等的焦距．故选B．
2．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( )
A．8,6 B．4,3
C．2， D．4,2
解析：选B 过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3．故选B．
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，
可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，
故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝．
又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，
则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1．
4．(全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选A 如图所示，由题意得A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
设E(0，m)，
由PF∥OE，得＝，
则|MF|＝．①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝．②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，
∴e＝＝．故选A．
5．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为________．
解析：在Rt△ABF中，
|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，
由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，
得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2．
将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，
即e2＋e－1＝0，解得e＝．
因为e>0，所以e＝．
答案：
6．已知椭圆的长轴长为20，短轴长为16，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是________．
解析：由题意，知a＝10，b＝8，不妨设椭圆方程为＋＝1，其上的点M(x0，y0)，则|x0|≤a＝10，|y0|≤b＝8，点M到椭圆中心的距离d＝．因为＋＝1，所以y＝64＝64－x，则d＝＝ ，因为0≤x≤100，所以64≤x＋64≤100，即8≤d≤10．
答案：[8,10]
7．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求实数m的值及椭圆的长轴长和短轴长，并写出焦点坐标和顶点坐标．
解：椭圆方程可化为＋＝1，
由m－＝>0，可知m>，
所以a2＝m，b2＝，c＝＝ ，
由e＝，得 ＝，解得m＝1．
于是椭圆的标准方程为x2＋＝1，
则a＝1，b＝，c＝．
所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为，；四个顶点坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，．
8．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0) 的左、右焦点，过点 F1的直线交椭圆 E于 A，B两点，|AF1|＝3|F1B|．
(1)若|AB|＝4，△ABF2 的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E 的离心率．
解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，
得|AF1|＝3，|F1B|＝1．
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8．
故|AF2|＝8－3＝5．
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k．
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k．
在△ABF2中，由余弦定理可得，
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k．
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k．
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝．
课时跟踪检测（六） 曲线与方程 求曲线的方程
层级一 学业水平达标
1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
解析：选B 将点M(2,1)的坐标代入方程知M∈l，M∈C．
2．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于x－y＝0对称
解析：选C 同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．
3．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是( )
解析：选B 方程x＋|y－1|＝0可化为|y－1|＝－x≥0，则x≤0，因此选B．
4．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝－8x
C．y2＝4x D．y2＝－4x
解析：选B 设点P的坐标为(x，y)，则＝(4,0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)，
∴||＝4，||＝，·＝4(x－2)．
根据已知条件得4 ＝4(2－x)．
整理得y2＝－8x．∴点P的轨迹方程为y2＝－8x．
5．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是( )
A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0
B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0
D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0
解析：选B 由两点式，得直线AB的方程是
＝，即4x－3y＋4＝0，
线段AB的长度|AB|＝＝5．
设C的坐标为(x，y)，
则×5×＝10，
即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0．
6．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的图形为________．
解析：对方程左边配方得(x－2)2＋2(y＋2)2＝0．
∵(x－2)2≥0,2(y＋2)2≥0，
∴解得
从而方程表示的图形是一个点(2，－2)．
答案：一个点(2，－2)
7．已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P满足·＝12，则点P的轨迹方程为________________．
解析：设P(x，y)，则＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)．
于是·＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12，
化简得x2＋y2＝16，此即为所求点P的轨迹方程．
答案：x2＋y2＝16
8．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________________．
解析：设M(x，y)，B(x0，y0)，则y0＝2x＋1．
又M为AB的中点，所以即
将其代入y0＝2x＋1得，2y＋1＝2×(2x)2＋1，即y＝4x2．
答案：y＝4x2
9．在平面直角坐标系中，已知动点P(x，y)，PM⊥y轴，垂足为M，点N与点P关于x轴对称，且·＝4，求动点P的轨迹方程．
解：由已知得M(0，y)，N(x，－y)，则＝(x，－2y)，
故·＝(x，y)·(x，－2y)＝x2－2y2，
依题意知，x2－2y2＝4，
因此动点P的轨迹方程为x2－2y2＝4．
10．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝＋，求动点Q的轨迹．
解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．
因为＝＋，
即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，
则x0＝x，y0＝．
又点M在圆C上，所以x＋y＝4，
即x2＋＝4(y≠0)．
所以动点Q的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．
层级二 应试能力达标
1．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是( )
A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0
B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0
C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0
D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0
解析：选A 设动点P(x，y)，
则由|PA|＝3|PO|，得
＝3．
化简，得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0．故选A．
2．下列四组方程表示同一条曲线的是( )
A．y2＝x与y＝
B．y＝lg x2与y＝2lg x
C．＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)
D．x2＋y2＝1与|y|＝
解析：选D 根据每一组曲线方程中x和y的取值范围，不难发现A、B、C中各组曲线对应的x或y的取值范围不一致；而D中两曲线的x与y的取值范围都是[－1,1]，且化简后的解析式相同，所以D正确．故选D．
3．方程y＝－对应的曲线是( )
解析：选A 将y＝－平方得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的曲线是圆心在原点，半径为2的圆的下半部分，故选A．
4．已知0≤α≤2π，点P(cos α，sin α)在曲线(x－2)2＋y2＝3上，则α的值为( )
A． B． C．或 D．或
解析：选C 将点P的坐标代入曲线(x－2)2＋y2＝3中，得(cos α－2)2＋sin2α＝3，解得cos α＝．又0≤α<2π，所以α＝或．故选C．
5．方程|x－1|＋|y－1|＝1表示的曲线所围成的图形的面积是________．
解析：方程|x－1|＋|y－1|＝1可写成或或或其图形如图所示，它是边长为的正方形，其面积为2．
答案：2
6．给出下列结论：
①方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线；
②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2；
③方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点．
其中正确结论的序号是________．
解析：对于①，方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线且除掉点(2,0)，所以①错误；对于②，到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以②错误；对于③，方程(x2－4)2＋(y－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以③正确．故填③．
答案：③
7．已知A为定点，线段BC在定直线l上滑动，|BC|＝4，点A到直线l的距离为3，求△ABC外心的轨迹方程．
解：建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示)，则A(0,3)．
设△ABC的外心为P(x，y)，
因为点P在线段BC的垂直平分线上，
所以不妨令B(x＋2,0)，C(x－2,0)．又点P在线段AB的垂直平分线上，所以|PA|＝|PB|，
即＝，化简得x2－6y＋5＝0．
于是△ABC外心的轨迹方程为x2－6y＋5＝0．
8．已知两点P(－2,2)，Q(0,2)以及一条直线l：y＝x，设长为的线段AB在直线l上移动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程．
解：设A(m，m)，B(m＋1，m＋1)，
当m≠－2且m≠－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝(x＋2)＋2和y＝x＋2．
由消去m，得x2－y2＋2x－2y＋8＝0．
当m＝－2时，直线PA和QB的方程分别为x＝－2和y＝3x＋2，其交点为(－2，－4)，满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0．
当m＝－1时，直线PA和QB的方程分别为y＝－3x－4和x＝0，其交点为(0，－4)，满足方程x2－y2＋2x－2y＋8＝0．
综上，可知所求交点M的轨迹方程为x2－y2＋2x－2y＋8＝0．
课时跟踪检测（十一） 双曲线的简单几何性质
层级一 学业水平达标
1．下列双曲线中离心率为的是( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选B 由e＝得e2＝，∴＝，
则＝，∴＝，即a2＝2b2．因此可知B正确．
2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
解析：选A 令y＝0得，x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝c2＝×16＝8，故选A．
3．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A．(－10,0) B．(－12,0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
解析：选B 由题意知k<0，∴a2＝4，b2＝－k．
∴e2＝＝＝1－．
又e∈(1,2)，∴1<1－<4，∴－124．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
解析：选B 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1．
5．(全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )
A． B．2
C． D．
解析：选D 不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，
∴M点的坐标为．
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，
∴c＝a，e＝＝．故选D．
6．(全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
解析：法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，
∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
法二：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，
∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，
在y＝－x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，
故可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由已知条件可得
解得
∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
答案：－y2＝1
7．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．
解析：由题意知，a＋c＝，
即a2＋ac＝c2－a2，∴c2－ac－2a2＝0，∴e2－e－2＝0，
解得e＝2或e＝－1(舍去)．
答案：2
8．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
解析：双曲线－＝1的右顶点A(3,0)，右焦点F(5,0)，渐近线方程为y＝±x．
不妨设直线FB的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程整理，得x2－(x－5)2＝9，解得x＝，y＝－，
所以B．
所以S△AFB＝|AF||yB|＝(c－a)·|yB|＝×(5－3)×＝．
答案：
9．(全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．当△APF周长最小时，求该三角形的面积．
解：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，故F(3，0)，F1(－3,0)．
当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长＝|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF1|＋2＋|AF|．
因为|AF|＝＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，
由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF1的方程为y＝2x＋6，
由
得y2＋6y－96＝0，
解得y＝2或y＝－8(舍去)，
所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F
＝×6×6－×6×2＝12．
10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且＝．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．
解：(1)由题意得解得
所以b2＝c2－a2＝2．
所以双曲线C的方程为x2－＝1．
(2)设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
由
得x2－2mx－m2－2＝0(判别式Δ>0)．
所以x0＝＝m，y0＝x0＋m＝2m．
因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝5上，
所以m2＋(2m)2＝5．
故m＝±1．
层级二 应试能力达标
1．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为( )
A．2 B．2
C． D．1
解析：选A 不妨取焦点(4,0)和渐近线y＝x，则所求距离d＝＝2．故选A．
2．若双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝－x，则双曲线的方程为( )
A．y2－x2＝96 B．y2－x2＝160
C．y2－x2＝80 D．y2－x2＝24
解析：选D 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦点为(0，±4)，所以λ<0，且－2λ＝(4)2，得λ＝－24．故选D．
3．若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意，知过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，所以－2＝－×4，即a＝2b．设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝k，所以e＝＝＝．故选D．
4．(全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A． B．
C． D．2
解析：选A 法一：作出示意图，如图，离心率e＝＝＝，由正弦定理得e＝＝＝＝．故选A．
法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝．
又sin∠MF2F1＝，所以＝，即|MF2|＝3|MF1|．由双曲线的定义得2a＝|MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝，所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2，所以离心率e＝＝．
5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，且离心率为e＝，则双曲线的标准方程为________．
解析：由焦点坐标，知c＝2，由e＝＝，可得a＝4，所以b＝＝2，则双曲线的标准方程为－＝1．
答案：－＝1
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．
解析：由题意，知≥，则≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2．
答案：[2，＋∞)
7．设双曲线－＝1(0解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0．
于是有＝c，
所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4．
又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4，
两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0，
解得e2＝4或e2＝．
又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2．
于是双曲线的离心率为2．
8．已知双曲线C：x2－y2＝1及直线l：y＝kx－1．
(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积是，求实数k的值．
解：(1)由消去y，
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．①
由直线l与双曲线C有两个不同的交点，
得
解得－即k的取值范围为(－，－1)∪(－1,1)∪(1，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由方程①，得x1＋x2＝，x1x2＝．
因为直线l：y＝kx－1恒过定点D(0，－1)，
则当x1x2<0时，S△AOB＝S△OAD＋S△OBD＝|x1－x2|＝；
当x1x2>0时，S△AOB＝|S△OAD－S△OBD|＝|x1－x2|＝．
综上可知，|x1－x2|＝2，
所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2)2，
即2＋＝8，解得k＝0或k＝±．
由(1)，可知－
课时跟踪检测（十二） 抛物线及其标准方程
层级一 学业水平达标
1．抛物线y＝12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A．3 B．6
C． D．
解析：选C 将方程化为标准形式是x2＝y，因为2p＝，所以p＝．故到焦点的距离最小值为．
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )
A． B．1
C．2 D．4
解析：选C ∵抛物线y2＝2px的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切，∴－＝－1，即p＝2．
3．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( )
A． B．
C．3 D．2
解析：选C 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，因为＝4，所以|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离为4，所以|QF|＝|QQ′|＝3．故选C．
4．设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析：选A 由题意知，圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y＝－1的距离相等，根据抛物线的定义可知，所求轨迹是一条抛物线．
5．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2．若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
解析：选D 双曲线的渐近线方程为y＝±x，由于＝＝ ＝2，所以＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．抛物线的焦点坐标为，所以＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y．
6．抛物线x＝y2的焦点坐标是________．
解析：方程改写成y2＝4mx，得2p＝4m，∴p＝2m，即焦点(m,0)．
答案：(m,0)
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(1，m)到其焦点的距离为5，双曲线x2－＝1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM垂直，则实数a＝________．
解析：根据抛物线的定义得1＋＝5，p＝8．不妨取M(1,4)，则AM的斜率为2，由已知得－×2＝－1，故a＝．
答案：
8．对标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
解析：抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．
答案：②④
9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．
解：法一：如图所示，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点F，准线l：y＝，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，3＋＝5，即p＝4．
所以抛物线方程为x2＝－8y，准线方程为y＝2．
由m2＝－8×(－3)＝24，得m＝±2．
法二：设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F．
∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
故解得
∴抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2．
10．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0．5米．
(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0．1米)?
解：如图所示．(1)依题意，设该抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
因为点C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为x2＝－5y．
(2)设车辆高为h，则|DB|＝h＋0．5，
故D(3．5，h－6．5)，
代入方程x2＝－5y，解得h＝4．05，
所以车辆通过隧道的限制高度为4．0米．
层级二 应试能力达标
1．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )
A．圆 B．椭圆
C．直线 D．抛物线
解析：选D 设P为满足条件的点，则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线．故选D．
2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2 B．4
C．6 D．4
解析：选D 如图，∵△FPM是等边三角形．
∴由抛物线的定义知PM⊥l．
在Rt△MQF中，|QF|＝2，
∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，
∴S△PMF＝×42＝4．故选D．
3．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为( )
A． B． C．1 D．2
解析：选D 设AB的中点为M，焦点为F(0,1)．过M作准线l：y＝－1的垂线MN，过A作AC⊥l于C，过B作BD⊥l于D，则|MN|＝＝≥＝3，所以AB中点到x轴的最短距离为3－1＝2，此时动弦AB过焦点，故选D．
4．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5．若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
解析：选C 由已知得抛物线的焦点F，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝．由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M．
由|MF|＝5得， ＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C．
5．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________．
解析：因为＋＋＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以||＋||＋||＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6．
答案：6
6．从抛物线y2＝4x上的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的内切圆的面积为________．
解析：如图，∵|PM|＝5，
∴点P的坐标为(4,4)，
∴S△PMF＝×5×4＝10．
设△PMF的内切圆圆心为O′，半径为r，
∴S△PMF＝S△O ′PM＋S△O ′PF＋S△O ′MF，
即(5＋5＋2)r＝10，解得r＝，
故△PMF内切圆的面积为πr2＝π．
答案：π
7．已知M是抛物线y2＝2px(p>0)上任一点(不与原点重合)，F是其焦点．
求证：以MF为直径的圆与y轴相切．
证明：如图，过M作MN⊥l于N，交y轴于点Q，O′是MF的中点，作O′R⊥y轴于R．
∵|MF|＝|MN|，|OF|＝|OP|＝|QN|，
∴|O′R|＝(|OF|＋|QM|)
＝(|QM|＋|QN|)
＝|MN|＝|MF|，
∴以MF为直径的圆与y轴相切．
8．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．
(1)若点P到直线x＝－1的距离为d，A(－1,1)，求|PA|＋d的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：(1)依题意，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1．
由抛物线的定义，知|PF|＝d，
于是问题转化为求|PA|＋|PF|的最小值．
如图，连接AF，交抛物线于点P，则最小值为＝．
(2)把点B的横坐标代入y2＝4x中，得y＝±，
因为>2，所以点B在抛物线内部．
自点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1(如图)．
由抛物线的定义，知|P1Q|＝|P1F|，
则|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝3＋1＝4．
即|PB|＋|PF|的最小值为4．
课时跟踪检测（十） 双曲线及其标准方程
层级一 学业水平达标
1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．直线 D．一条射线
解析：选D F1，F2是定点，且|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的双曲线
解析：选D 将方程化为－＝1，
由mn<0，知－>0，
所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．
3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( )
A． B．
C． D．5
解析：选C 如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝．
4．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值是( )
A． B．1或－2
C．1或 D．1
解析：选D 依题意知解得a＝1．
5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．y2－＝1 D．－＝1
解析：选A 由双曲线定义知，
2a＝－＝5－3＝2，
∴a＝1．
又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，
因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1．
6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．
解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16．
答案：16
7．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________．
解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
则解得
故双曲线的标准方程为－＝1．
答案：－＝1
8．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________________．
解析：由题意可设双曲线方程为
－＝1(a>0，b>0)．
由·＝0，得PF1⊥PF2．根据勾股定理得
|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20．
根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a．
两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得
20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，
所以双曲线方程为－y2＝1．
答案：－y2＝1
9．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．
解：已知双曲线－＝1，由c2＝a2＋b2，
得c2＝16＋9＝25，∴c＝5．
设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，
故双曲线方程可写为－＝1．
∵点P在双曲线上，
∴－＝1．
化简，得4a4－129a2＋125＝0，
解得a2＝1或a2＝．
又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24．
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1．
10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sin B－sin A＝sin C．
(1)求线段AB的长度；
(2)求顶点C的轨迹方程．
解：(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1．
∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，
则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4．
(2)∵sin B－sin A＝sin C，
∴由正弦定理得
|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，
即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．
∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，
∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．
层级二 应试能力达标
1．设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
解析：选B 由题意，知－＝1，因为θ∈，所以sin θ>0，－cos θ>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．故选B．
2．若双曲线－y2＝1(n>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1|＋|PF2|＝2，则△PF1F2的面积为( )
A．1 B．
C．2 D．4
解析：选A 设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2，已知|PF1|＋|PF2|＝2，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，|PF1|·|PF2|＝2．又|F1F2|＝2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2为直角三角形，且∠F1PF2＝90°，于是S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×2＝1．故选A．
3．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(3,0)，则k＝( )
A．1 B．－1
C． D．－
解析：选A 依题意，知双曲线的焦点在x轴上，方程可化为－＝1，则k>0，且a2＝，b2＝，所以＋＝9，解得k＝1．
4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的一支相交的弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为( )
A．4a B．4a－m
C．4a＋2m D．4a－2m
解析：选C 由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m．故选C．
5．已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为________．
解析：设F1为左焦点，F2为右焦点，当点P在双曲线的左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，所以|PF2|＝22；当点P在双曲线的右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，所以|PF2|＝2．
答案：22或2
6．过双曲线－＝1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦点的距离分别为________．
解析：因为双曲线方程为－＝1，
所以c＝＝13，
设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，
则F1(－13,0)，F2(13,0)．
设过F1且垂直于x轴的直线l交双曲线于A(－13，y)(y>0)，则＝－1＝，
所以y＝，即|AF1|＝．
又|AF2|－|AF1|＝2a＝24，
所以|AF2|＝24＋＝．
即所求距离分别为，．
答案：，
7．已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点．
(1)设(2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程．
解：(1)因为
所以tan θ＝．
又即tan θ的取值范围为(1,4)．
(2)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)，则||＝(x1－c，y1)，
所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，则y1＝±．
又·＝m，即(c,0)·(x1－c，y1)＝c2，解得x1＝c，
所以||＝＝ ≥＝2，
当且仅当c＝4时，||最小，
这时Q的坐标为(，)或(，－)．
因为所以于是双曲线的标准方程为－＝1．
8．设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点．求||MP|－|FP||的最大值．
解：(1)两圆的圆心分别为A(－，0)，B(，0)，半径为2，设圆C的半径为r．由题意得|CA|＝r－2，|CB|＝r＋2或|CA|＝r＋2，|CB|＝r－2，
两式相减得|CA|－|CB|＝－4或|CA|－|CB|＝4，即||CA|－|CB||＝4．
则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a＝4，c＝，b2＝1，
∴圆C的圆心轨迹L的方程为－y2＝1．
(2)由(1)知F为双曲线L的一个焦点，如图，连接MF并延长交双曲线于一点P，此时|PM|－|PF|＝|MF|为||PM|－|FP||的最大值．
又|MF|＝＝2，
∴||MP|－|FP||的最大值为2．
阶段质量检测（二） 圆锥曲线与方程
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(安徽高考)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是( )
A．x2－＝1 B．－y2＝1
C．－x2＝1 D．y2－＝1
解析：选C 由双曲线焦点在y轴上，排除选项A、B，选项C中双曲线的渐近线方程为y＝±2x，故选C．
2．θ是任意实数，则方程x2＋y2sin θ＝4的曲线不可能是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
解析：选C 由于θ∈R，对sin θ的值举例代入判断．
sin θ可以等于1，这时曲线表示圆，sin θ可以小于0，这时曲线表示双曲线，sin θ可以大于0且小于1，这时曲线表示椭圆．
3．设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于( )
A．或 B．或2
C．或2 D．或
解析：选A 设|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k．若曲线C为椭圆，则2a＝6k,2c＝3k，∴e＝；若曲线C为双曲线，则2a＝2k,2c＝3k，∴e＝．
4．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选B 设P(x0，y0)，又F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴＝(－2－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)．|F1F2|＝4，S△PF1F2＝|F1F2|·|y0|＝2，∴|y0|＝1．又－y＝1，∴x＝3(y＋1)＝6，∴·＝x＋y－4＝6＋1－4＝3．
5．设P是双曲线－＝1(a>0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝( )
A．1或5 B．6
C．7 D．8
解析：选C 双曲线－＝1的一条渐近线方程为3x－2y＝0，故a＝2．又P是双曲线上一点，故||PF1|－|PF2||＝4，而|PF1|＝3，则|PF2|＝7．
6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A． B．[－2,2]
C．[－1,1] D．[－4,4]
解析：选C 准线x＝－2，Q(－2,0)，设l：y＝k(x＋2)，
由得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0．
当k＝0时，x＝0，即交点为(0,0)，
当k≠0时，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1．
综上，k的取值范围是[－1,1]．
7．(全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0．由题意知＝×2b，解得＝，即e＝．故选B．
8．已知||＝3，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，＝＋，则动点P的轨迹方程是( )
A．＋y2＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．x2＋＝1
解析：选A 设P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，即x＝x0，y＝y0，所以x0＝x，y0＝3y．因为|AB―→|＝3，所以x＋y＝9，即2＋(3y)2＝9，化简整理得动点P的轨迹方程是＋y2＝1．
9．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝x B．y2＝x
C．x2＝－y D．x2＝－y
解析：选C 如果设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则抛物线过点(40,30)，从而有302＝2p×40，即2p＝，
所以所求抛物线方程为y2＝x．
虽然选项中没有y2＝x，但C中的2p＝符合题意．
10．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A． B．
C． D．
解析：选D 将y＝k(x＋2)代入y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1), B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由|FA|＝2|FB|及抛物线定义得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得x＋x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，＝5，解得k2＝，又因为k>0，所以k＝．
11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为．双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选D 因为椭圆的离心率为，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2．双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝± b，则在第一象限双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为，所以四边形的面积为4× b× b＝b2＝16，所以b2＝5，所以椭圆方程为＋＝1．
12．(四川高考)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,4)
C．(2,3) D．(2,4)
解析：选D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(5＋rcos θ，rsin θ)
则
两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
当直线l的斜率不存在时，显然符合条件的直线l有两条．
当直线l的斜率存在时，
可得2rsin θ(y1－y2)＝4(x1－x2)
?kAB＝＝．
又∵kMC＝＝．
∴kAB＝－＝－．
∴＝－?r＝>2．
由于M在抛物线的内部，∴(rsin θ)2<4(5＋rcos θ)＝20＋4rcos θ＝20＋4×(－2)＝12．
∴|rsin θ|<2．∴|rsin θ|＝r·＝<2?r2<16?0因此2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．以双曲线－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．
解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)．
答案：＋＝1
14．设F1，F2为曲线C1：＋＝1的焦点，P是曲线C2：－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．
解析：由题意知|F1F2|＝2＝4，
设P点坐标为(x，y)．
由得
则S△PF1F2＝|F1F2|·|y|＝×4×＝．
答案：
15．抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________．
解析：依题意，设抛物线的焦点为F，点Q的横坐标是x0(x0≥0)，则有|QF|＝x0＋的最小值是＝1，则p＝2．
答案：2
16．已知二次曲线＋＝1，当m∈[－2，－1]时，该曲线的离心率的取值范围是________．
解析：∵m∈[－2，－1]，
∴曲线方程化为－＝1，曲线为双曲线，
∴e＝．∵m∈[－2，－1]，∴≤e≤．
答案：，
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P，求抛物线的方程和双曲线的方程．
解：依题意，设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，
∵点P在抛物线上，∴6＝2p×．∴p＝2，
∴所求抛物线的方程为y2＝4x．
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x＝－1上，
∴c＝1，即a2＋b2＝1，
又点P在双曲线上，∴－＝1，
解方程组
得或(舍去)．
∴所求双曲线的方程为4x2－y2＝1．
18．(本小题满分12分)已知抛物线方程为y2＝2x，在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，求直线l的方程．
解：设直线l的方程为y＝kx＋2，
由消去x得ky2－2y＋4＝0．
∵直线l与抛物线相交，
∴解得k<且k≠0．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝，
从而x1x2＝·＝．
∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0，
即＋＝0，解得k＝－1符合题意，
∴直线l的方程为y＝－x＋2．
19．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1及直线l：y＝x＋m，
(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．
解：(1)由消去y，并整理得
9x2＋6mx＋2m2－18＝0．①
Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．
∵直线l与椭圆有公共点，
∴Δ≥0，据此可解得－3 ≤m≤3 ．
故所求实数m的取值范围为[－3 ，3 ]．
(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由①得：x1＋x2＝－，x1x2＝，
故|AB|＝·
＝ ·
＝· ，
当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为．
20．(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点E(－1,0)，若直线y＝kx＋2(k≠0)与椭圆交于C，D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点，请说明理由．
解：(1)直线AB的方程为：bx－ay－ab＝0．
依题意解得
∴椭圆方程为＋y2＝1．
(2)假若存在这样的k值，由得
(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0．
∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)>0．①
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则②
而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4．
要使以CD为直径的圆过点E(－1,0)，当且仅当CE⊥DE时，则·＝－1．
即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0．
∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0．③
将②式代入③整理解得k＝．经验证k＝使①成立．
综上可知，存在k＝，使得以CD为直径的圆过点E．
21．(本小题满分12分)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，若直线l：x＝与两条渐近线分别相交于P，Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．
(1)求双曲线C的离心率e；
(2)若直线y＝ax＋b被双曲线C所截得的弦长为，求双曲线C的方程．
解：(1)双曲线C的两条渐近线方程为y＝±x，不妨设点P在第一象限，则渐近线与直线l：x＝的两交点分别为P，，Q．
设直线l交x轴于点M(如图)．
∵△PFQ为等边三角形，
∴|MF|＝|PQ|，
即c－＝，
即＝，解得b＝a，
∴c＝2a，∴e＝＝2．
(2)由(1)得双曲线C的方程为－＝1．
设直线y＝ax＋b与双曲线C的两交点坐标为(x1，y1)和(x2，y2)．
把y＝ax＋b＝ax＋a代入双曲线C的方程，
得(a2－3)x2＋2a2x ＋6a2＝0．
则
∴a2<6，且a2≠3．
又x1＋x2＝，x1x2＝，
∴直线y＝ax＋b被双曲线C所截得的弦长为
＝
＝
＝，
化简整理得13a4－77a2＋102＝0．
∴a2＝2或a2＝，满足a2<6且a2≠3．
∴双曲线C的方程为－＝1或－＝1．
22．(本小题满分12分)(湖南高考)已知抛物线C1：x2＝4y的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为2．过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C2相交于C，D两点，且与同向．
(1)求C2的方程；
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率．
解：(1)由C1：x2＝4y知其焦点F的坐标为(0,1)．
因为F也是椭圆C2的一个焦点，
所以a2－b2＝1．①
又C1与C2的公共弦的长为2，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2＝4y，
由此易知C1与C2的公共点的坐标为，
所以＋＝1．②
联立①②，得a2＝9，b2＝8．
故C2的方程为＋＝1．
(2)如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)．
因与同向，且|AC|＝|BD|，
所以＝，从而x3－x1＝x4－x2，
即x1－x2＝x3－x4，
于是(x1＋x2)2－4x1x2＝(x3＋x4)2－4x3x4．③
设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1．
由得x2－4kx－4＝0．
而x1，x2是这个方程的两根，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4．④
由得(9＋8k2)x2＋16kx－64＝0．
而x3，x4是这个方程的两根，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝－．⑤
将④⑤代入③，得16(k2＋1)＝＋，
即16(k2＋1)＝，
所以(9＋8k2)2＝16×9，
解得k＝±，即直线l的斜率为±．
