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“回扣验收特训”见“回扣验收特训（一）”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(一)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(二)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(三)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(四)”
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“多练提能·熟生巧”见“课时跟踪检测(五)”
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课时跟踪检测（一） 命 题
层级一 学业水平达标
1．下列语句不是命题的有( )
①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<4；④函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：选C ①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．
2．(陕西高考)设z是复数， 则下列命题中的假命题是( )
A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0
解析：选C 实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得则b＝0，故选项A为真，同理选项B为真；而选项C为假，选项D为真．
3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
解析：选D 由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．
4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2
C．0 D．－3
解析：选C 方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
5．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的， 则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等， 则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：选C 对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；
对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；
对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
6．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；
②是假命题，0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤祈使句，不是命题．
答案：②③④ ④
7．给出下面三个命题：
①函数y＝tan x在第一象限是增函数；
②奇函数的图象一定过原点；
③若a>b>1，则0
其中是真命题的是________．(填序号)
解析：①是假命题，反例：x＝2π＋和x＝，tan＝，tan ＝1,2π＋>，但tan2π＋②是假命题，反例：y＝是奇函数，但其图象不过原点．
③是真命题，由对数函数的图象及单调性可知是真命题．
答案：③
8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，
∴ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0恒成立；
当a≠0时，则有
解得－3≤a<0.
综上，－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．
p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
10．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B 构造的命题“若p，则q”为真命题．
解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；
若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．
层级二 应试能力达标
1．在空间中，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一平面的两条直线平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：选D A中当两平行直线确定的平面不垂直于投影面时，两平行直线的平行投影不重合．B中两直线也可以相交或异面．C中两平面可以相交．D正确．故选D.
2．下面的命题中是真命题的是( )
A．y＝sin2x的最小正周期为2π
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则>0
C．如果M?N，那么M∪N＝M
D．在△ABC中，若·>0，则B为锐角
解析：选B y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；当M?N时，M∪N＝N，故C为假命题；在三角形ABC中，当·>0时，向量与的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题．故选B.
3．下列命题为真命题的是( )
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x解析：选A 很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．故选A.
4．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
解析：选C 命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C.
5．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”条件p：________，结论q：________________________________.它是____________命题(填“真”或“假”)．
解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，
∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域(包括边界)，
∴命题为真命题．
答案：a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真
6．定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：
①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；
②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；
③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；
④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln 2.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
解析：对于①，当a≥1时，ab≥1，则ln＋(ab)＝ln ab＝bln a＝bln＋a；当0同理讨论a，b在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④为真命题．
对于②，可取特殊值a＝e，b＝，则ln＋(ab)＝0，ln＋a＋ln＋b＝1＋0＝1，故②为假命题．
综上可知，真命题有①③④.
答案：①③④
7．已知p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
解：若命题p为真命题，由x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥m，可知m≤1；
若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
命题p和q中有且只有一个是真命题，则p真q假或p假q真，
即或所以1故实数m的取值范围是(1,2)．
8．试探究命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题时，a，b满足的条件．
解：方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：
当a＝0时，方程ax2＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x＝－；
当a≠0时，方程ax2＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b2－4a≥0.
综上知，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有实数解．
课时跟踪检测（三） 充分条件与必要条件
层级一 学业水平达标
1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选D 当数列{an}的首项a1＜0时，若q＞1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1＜0时，要使数列{an}为递增数列，则0＜q＜1，所以“q＞1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.
2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：选A 因为甲是乙的必要条件，所以乙?甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙?乙，但乙
丙，如图．
综上，有丙?甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C 对于A，当a＝－b时，≠；对于B，注意当a∥b时，与可能不相等；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b.
4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数，
而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．
故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．
5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是( )
A．x≥0 B．x2≥－x
C．log2(x＋1)>0 D．2x<1
解析：选B ∵|x|＝x?x≥0，
∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意．
对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，
∴x≥0或x≤－1.
故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．
6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________________条件．
解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A?/ B.
又因否命题为真，所以逆命题为真，即B?A，
所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p?q，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.
答案：(－∞，1)
8．下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为______________．
解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg x＋lg y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.
所以“lg x＋lg y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y?|x|＝|y|，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝，
所以c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则＝r成立，
说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：(1)充分性：当q＝－1时，a1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
当n＝1时，上式也成立．
于是＝＝p，即数列{an}为等比数列．
(2)必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0且p≠1，
∴＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p＝，∴q＝－1.
即数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
层级二 应试能力达标
1．“0b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 当0b成立，所以是充分条件；当a>b时，有a2．已知直线l，m，平面α，且m?α，则( )
A．“l⊥α”是“l⊥m”的必要条件
B．“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件
C．l∥m?l∥α
D．l∥α?l∥m
解析：选B 很明显l⊥α?l⊥m，l⊥m l⊥α，l∥m l∥α，l∥αl∥m，故选B.
3．下列说法正确的是( )
A．“x>0”是“x>1”的必要条件
B．已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件
C．“a4>b4”是“a>b”的必要条件
D．在△ABC中，“a>b”不是“A>B”的充分条件
解析：选A A中，当x>1时，有x>0，所以A正确；B中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以B不正确；C中，当a>b时，a4>b4不一定成立，所以C不正确；D中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以D不正确．故选A.
4．设p：≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，
∴解得0≤a≤.故选B.
5．已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R)，则该方程有两个正根的充要条件是________．
解析：方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0有两个实根的充要条件是
即?
设此时方程的两根分别为x1，x2，则方程有两个正根的充要条件是??1答案：(1,2]∪[10，＋∞)
6．已知“－1解析：当方程x2＋y2＋kx＋y＋k2＝0表示圆时，
k2＋3－4k2>0，解得－1所以－1即实数m的取值范围是(－1,1]．
答案：(－1,1]
7．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分条件，求正实数a的取值范围．
解：不等式x2－8x－20>0的解集为
A＝{x|x>10或x<－2}；
不等式x2－2x＋1－a2>0的解集为
B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p?q，所以A?B.
于是有解得0所以正实数a的取值范围是(0,3]．
8．求二次函数y＝－x2＋mx－1的图象与两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点的充要条件．
解：线段AB的方程为x＋y＝3，由题意得方程组在[0,3]上有两组实数解，将①代入②，得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)，此方程有两个不同的实数根，令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，则二次函数f(x)在x∈[0,3]上有两个实根，
故有：解得3故m的取值范围是.
课时跟踪检测（二） 四种命题 四种命题间的相互关系
层级一 学业水平达标
1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )
A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
解析：选C 因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析：选A a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( )
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，能被3整除
解析：选B 即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．
4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )
A．互逆命题 B．互否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
解析：选A 设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
5．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
解析：选B 因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.
6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．
解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．
答案：假命题
7．已知命题“若m－1解析：由已知得，若1∴∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
8．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．
答案：②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤
9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．
(1)等高的两个三角形是全等三角形；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．
10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真命题．
层级二 应试能力达标
1．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
解析：选C 若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C.
2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．无关命题
解析：选A 由于这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为逆命题，故选A.
3．原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( )
A．原命题是真命题 B．逆命题是假命题
C．否命题是真命题 D．逆否命题是真命题
解析：选C 原命题是假命题，所以逆否命题是假命题，逆命题“等腰梯形是圆内接四边形”是真命题，所以否命题是真命题，故选C.
4．命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠，则tan α≠1 B．若α＝，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α＝
解析：选C 否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确．
5．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是________________．
答案：若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤1
6．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；
否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；
逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”；
全为真命题．
答案：4
7．已知a，b，c∈R，证明：若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于.
证明：原命题的逆否命题为：已知a，b，c∈R，若a，b，c都不小于，则a＋b＋c≥1.
由条件a≥，b≥，c≥，
三式相加得a＋b＋c≥1，
显然逆否命题为真命题．
所以原命题也为真命题．
即已知a，b，c∈R，若a＋b＋c<1，
则a，b，c中至少有一个小于.
8．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若命题：对于任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[－1,2]使f(x1)＝g(x2)为真命题，求实数a的取值范围．
解：对于任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[－1,2]使f(x1)＝g(x2)，则{f(x)|x∈[－1,2]}?{g(x)|x∈[－1,2]}．又f(x)＝x2－2x在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以－1≤f(x)≤3.因为g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上单调递增，所以－a＋2≤g(x)≤2a＋2，于是有即a≥3.
故实数a的取值范围为[3，＋∞)．
课时跟踪检测（五） 全称量词与存在量词
层级一 学业水平达标
1．下列命题中的假命题是( )
A．?x∈R,2x－1>0
B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x0∈R，lg x0<1
D．?x0∈R，tan x0＝2
解析：选B 当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题．
2．下列四个命题中的真命题为( )
A．若sin A＝sin B，则A＝B
B．?x∈R，都有x2＋1>0
C．若lg x2＝0，则x＝1
D．?x0∈Z，使1<4x0<3
解析：选B A中，若sin A＝sin B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得3．有下列四个命题：
①?x∈R,2x2－3x＋4>0；
②?x∈{1，－1,0},2x＋1>0；
③?x0∈N，使x≤x0；
④?x0∈N*，使x0为29的约数．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C 对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：选B A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
5．(浙江高考)命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．?n∈N*，f(n)?N*且f(n)>n
B．?n∈N*，f(n)?N*或f(n)>n
C．?n0∈N*，f(n0)?N*且f(n0)>n0
D．?n0∈N*，f(n0)?N*或f(n0)>n0
解析：选D 写全称命题的否定时，要把量词?改为?，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．
6．命题“?x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是________．
解析：“?x∈M，p(x)”的否定为“?x0∈M，綈p(x0)”．
∴其否定为?x0∈R,3x－2x0＋1≤0.
答案：?x0∈R,3x－2x0＋1≤0
7．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．
答案：①②③ ④
8．(山东高考)若“?x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：由题意，原命题等价于tan x≤m在区间上恒成立，即y＝tan x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
答案：1
9．用“?”“?”写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)二次函数的图象是抛物线；
(2)在直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
(3)有些四边形存在外接圆；
(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解：(1)?f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中，?l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
(3)?x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4)?a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
解：法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a>0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0，或4＋4a＋2－a>0.
整理得a>－3或a>－2.
即a>－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：綈p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a>0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即
解得a≤－3.
故命题p中，a>－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
层级二 应试能力达标
1．已知命题p：?x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q：?x0∈R，sin x0－cos x0＝.则下列判断正确的是( )
A．p是真命题 B．q是假命题
C．綈p是假命题 D．綈q是假命题
解析：选D p：2x2＋2x＋＝2＝2x＋2≥0，
∴p为假命题，綈p为真命题．
q：sin x0－cos x0＝sin ，
∴x0＝π时成立．
故q为真，而綈q为假命题．
2．下列命题中是假命题的是( )
A．?m∈R，使f(x)＝(m－1)xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
B．?a>0，函数f(x)＝(ln x)2＋ln x－a有零点
C．?α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋sin β
D．?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
解析：选D ∵f(x)为幂函数，∴m－1＝1，∴m＝2，∴f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A中的命题为真命题；
∵y＝(ln x)2＋ln x的值域为，∴?a>0，方程(ln x)2＋ln x－a＝0有解，即函数f(x)有零点，故B中的命题为真命题；
当α＝，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C中的命题为真命题；
当φ＝时，f(x)＝sin＝cos 2x为偶函数，故D中的命题为假命题．
3．若命题p：?x∈R，sin2x＋cos2x＝1，命题q：?a∈R，数列{an}是等差数列，则綈(p∧q)是( )
A．?x∈R，sin2x＋cos2 x≠1或?a∈R，数列{an}不是等差数列
B．?x∈R，sin2x＋cos2x≠1且?a∈R，数列{an}不是等差数列
C．?x0∈R，sin2x0＋cos2x0≠1或?a0∈R，数列{a0n}不是等差数列
D．?x0∈R，sin2x0＋cos2x0≠1且?a0∈R，数列{a0n}不是等差数列
解析：选C 綈(p∧q)＝(綈p)∨(綈q)，故选C.
4．命题p：?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是( )
A．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
B．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
C．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
D．?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
解析：选C 根据全称命题的否定是特称命题，知綈p：?x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0.故选C.
5．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．
答案：?x∈R，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠0
6．已知命题p：?c>0，y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q：?x∈R，x2＋2c－3>0.若p∧q为真命题，则实数c的取值范围为________．
解析：由于p∧q为真命题，
所以p，q都是真命题，所以解得2故实数c的取值范围为(2,3)．
答案：(2,3)
7．已知命题p：?a∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin的周期不大于4π.
(1)写出綈p；
(2)当綈p是假命题时，求实数b的最大值．
解：(1)綈p：?a0∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin的周期大于4π.
(2)由于綈p是假命题，所以p是真命题，
所以?a∈(0，b]，≤4π恒成立，解得a≤2，
所以b≤2，所以实数b的最大值是2.
8．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，若命题“对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立”为真命题．求实数x的取值范围．
解：易知f(t)∈.
由题意，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，则g(m)>0对?m∈恒成立．
所以即
解得x>2或x<－1.
故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
课时跟踪检测（四） 简单的逻辑联结词
层级一 学业水平达标
1．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0 D．x，y不都是0
解析：选A xy≠0是指x，y均不能为0，故选A.
2．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则( )
A．p或q为假 B．q假
C．q真 D．p假
解析：选B 綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．
3．已知全集U＝R，A?U，B?U，如果命题p：∈(A∪B)，则命题“綈p”是( )
A.?A B.∈(?UA)∩(?UB)
C.∈?UB D.?(A∩B)
解析：选B 由p：∈(A∪B)，可知綈p：?(A∪B)，即∈?U(A∪B)，而?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，故选B.
4．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A q?綈p等价于p?綈q，綈pq等价于綈qp，故p是綈q的充分而不必要条件．
5．设a，b，c 是非零向量，已知命题p：若 a·b＝0，b·c＝0，则 a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )
A．p∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)
解析：选A 对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；对于命题q：a∥b，b∥c说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．则p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题，綈q是假命题，所以(綈p)∧(綈q)是假命题，p∨(綈q)是假命题，故选A.
6．命题“若a解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”．
答案：若a≥b，则2a≥2b 若a7．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假．
故即
因此，x的值可以是－1,0,1,2.
答案：{－1,0,1,2}
8．已知条件p：(x＋1)2>4，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：由綈p是綈q的充分不必要条件，可知綈p?綈q，但綈q 綈p.由一个命题与它的逆否命题等价，可知q?p但p q．又p：x>1或x<－3，可知{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
9．指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题，若是含逻辑联结词的命题，写出构成它的简单命题．
(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(2)若x∈{x|x<1或x>2}，则x是不等式(x－1)·(x－2)>0的解．
解：(1)“p且q”形式的命题，其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．
(2)“p或q”形式的命题，其中p：若x∈{x|x<1}，则x是不等式(x－1)(x－2)>0的解，q：若x∈{x|x>2}，则x是不等式(x－1)(x－2)>0的解．
10．命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围：
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，
即a>或a<－1，①
乙命题为真时，2a2－a>1，即a>1或a<－.②
(1)甲、乙至少有一个是真命题，即为a<－或a>，
∴甲、乙至少有一个是真命题时，a的取值范围是
∪.
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围是
∪.
层级二 应试能力达标
1．已知p：x＋1>2，q：5x－6>x2，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 设集合A＝{x|x＋1≤2}＝{x|x≤1}，B＝{x|5x－6≤x2}＝{x|x≤2或x≥3}，由于A?B，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
2．已知p：函数y＝sinx的最小正周期是π，q：函数y＝tan x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．綈q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
解析：选C 很明显p和q均是假命题，所以綈q为真，p∧q为假，p∨q为假，故选C.
3．已知命题p：所有的有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( )
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
解析：选D 由题意，得p是真命题，q是假命题，所以(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)是真命题，故选D.
4．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q
解析：选A 綈p：甲没有降落在指定范围；綈q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p或綈q发生．
5．已知p：若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋m，则数列{an}是等差数列，当綈p是假命题时，则实数m的值为________．
解析：由于綈p是假命题，所以p是真命题．
由Sn＝n2＋m，得an＝所以1＋m＝2×1－1，解得m＝0.
答案：0
6．已知p：点M(1,2)在不等式x－y＋m<0表示的区域内，q：直线2x－y＋m＝0与直线mx＋y－1＝0相交，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围为________．
解析：当p是真命题时，有1－2＋m<0，即m<1；
当q是真命题时，有2＋m≠0，，即m≠－2.
又p∧q为真命题，所以p是真命题且q是真命题，
所以m<1且m≠－2，
所以实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,1)．
答案：(－∞，－2)∪(－2,1)
7．已知p：－11，綈q是綈p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：由－1所以綈p：x≤或x≥4，
设集合A＝；
由x＋a>1，得x＋a<0，解得x<－a，
所以綈q：x≥－a，
设集合B＝{x|x≥－a}．
又綈q是綈p的充分不必要条件，所以B?A，
所以－a≥4，解得a≤－4，
所以实数a的取值范围是(－∞，－4]．
8．已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解．若p∧q是假命题，綈p也是假命题．求实数a的取值范围．
解：∵p∧q是假命题，綈p是假命题，
∴命题p是真命题，命题q是假命题．
∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
∴
∴|x1－x2|＝＝，
∴当m＝[－1,1]时，|x1－x2|max＝3.
由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立，可得a2－5a－3≥3，
∴a≥6或a≤－1，
∴当命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.①
命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，
①当a>0时，显然有解；
②当a＝0时，2x－1>0有解；
③当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，
∴Δ＝4＋4a>0，
∴－1从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时，a>－1.
又∵命题q是假命题，∴a≤－1.②
由①②得，所求a的取值范围为(－∞，－1]．
阶段质量检测（一） 常用逻辑用语
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
解析：选D 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”．
2．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是( )
A．①的逆命题为真
B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真
D．②的逆否命题为真
解析：选D ①的逆命题为<则，a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
3．已知命题p：?x∈R,2x<3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧q
C．p∧綈q D．綈p∧綈q
解析：选B 容易判断当x≤0时2x>3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象，易知命题q为真命题．根据真值表易判断綈p∧q为真命题．
4．全称命题“?x∈R，x2＋5x＝4”的否定是( )
A．?x0∈R，x＋5x0＝4
B．?x∈R，x2＋5x≠4
C．?x0∈R，x＋5x0≠4
D．以上都不正确
解析：选C 全称命题的否定为特称命题．
5．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 要区分向量平行与向量相等，相反向量等基本概念，向量平行不一定向量相等，向量相等或相反必平行．
6．下列命题中，真命题是( )
A．命题“若|a|>b，则a>b”
B．命题“若“a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题
C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”
解析：选D 原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.
7．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，綈p，綈q中，真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，綈p，綈q是假命题．
8．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C 方程ax2＋1＝0至少有一个负根等价于x2＝－，故a<0，故选C.
9．已知命题p：若不等式x2＋x＋m>0恒成立，则m>；命题q：在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件， 则( )
A．p假q真 B．“p且q”为真
C．“p或q”为假 D．綈p假綈q真
解析：选B 易判断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以綈p为假，綈q为假．结合各选项知B正确．
10．下列关于函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x的描述，正确的是( )
A．?a0∈R，当x>a0时，总有f(x)B．?x∈R，f(x)C．?x<0，f(x)≠g(x)
D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解
解析：选A 在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．
当x>4时，
由图象知f(x)其余三命题均错误．
11．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B 若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数；若h(x)为偶函数，则f(x)，g(x)不一定均为偶函数．可举反例说明，如f(x)＝x，g(x)＝x2－x＋2，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋2为偶函数．
12．有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；
④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中正确的是( )
A．①②③ B．②③④
C．①③④ D．①④
解析：选D ①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；
③的逆命题为，若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1.
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有 即m>1.∴③是假命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．命题“若a?A，则b∈B”的逆否命题是________．
解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序．
答案：若b?B，则a∈A
14．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．
解析：p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．
答案：p∨q，綈p
15．已知p：－40，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：p：a－4由綈p是綈q的充分条件可知，
q是p的充分条件，即q?p，
∴解得－1≤a≤6.
答案：[－1,6]
16．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
解析：由x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}，
得x<1或x≥2.
∵此命题是假命题，
∴1≤x<2.
答案：[1,2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)能被6整除的数一定是偶数；
(2)当＋|b＋2|＝0时，a＝1，b＝－2；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1.
解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题．
(2)若＋|b＋2|＝0，则a＝1且b＝－2，真命题．
(3)已知x，y为正整数，若y＝x2，则y＝1且x＝1，假命题．
18．(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3)?x∈{x|x>0}，x＋≥2；
(4)?x0∈Z，log2x0>2.
解：(1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
(3)命题中含有全称量词“?”，是全称命题，真命题；
(4)命题中含有存在量词“?”，是特称命题，真命题．
19．(本小题满分12分)已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在x∈上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
解：由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0当x∈时，由不等式x＋≥2(x＝1时取等号)知，f(x)＝x＋在上的最小值为2.
若q真，则<2，即c>.
若p真q假，则0若p假q真，则c≥1，c>，所以c≥1.
综上可得，c∈∪[1，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)命题：“?x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，
即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝?，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立；③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a∴3a≥2，此时a∈.
综上①②③可得a∈.
21．(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明：充分性：因为∠A＝90°，
所以a2＝b2＋c2.
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.
所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.
所以该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，
同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
所以该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．
可以发现，x1＝x3，
所以方程有公共根．
必要性：设x是方程的公共根，
则
由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去)．
代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.
所以∠A＝90°.
所以结论成立．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|(a∈R，且a≠－2)．
(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)与h(x)的解析式；
(2)命题p：函数f(x)在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数；命题q：函数g(x)是减函数．如果命题p，q有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝g(x)＋h(x)， ①
g(－x)＝－g(x)，h(－x)＝h(x)，
所以f(－x)＝－g(x)＋h(x)， ②
(①－②)÷2得g(x)＝(a＋1)x，
(①＋②)÷2得h(x)＝x2＋lg|a＋2|.
(2)因为函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数，所以(a＋1)2≥－，
解得a≥－1或a≤－且a≠－2.
又由函数g(x)＝(a＋1)x是减函数，
得a<－1且a≠－2.
所以命题p为真的条件是：
a≥－1或a≤－且a≠－2；
命题p为假的条件是：－命题q为真的条件是：a<－1且a≠－2；
命题q为假的条件是：a≥－1或a＝－2；
所以命题p，q有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是.
