【三维设计】2016-2017学年人教版高中数学选修2-1-教师用书 Word文件

　
1．1.1　命　题
预习课本P2～3，思考并完成以下问题
1．命题、真命题、假命题的概念分别是什么？
　　
　
2．在命题“若p，则q”的形式中，p、q分别叫做命题的什么？
　
　　
　
命题
[点睛]　(1)判断一个语句是命题的两个要素：
①是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；
②可以判断真假．
(2)命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“集合{a，b，c}有3个子集”是命题(　　)
(2)“x2－3x＋2＝0”是命题(　　)
答案：(1)√　(2)×
2．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”(　　)
A．不是命题
　B．是真命题
C．是假命题
D．不能判断真假
答案：B
3．下列语句中，是假命题的是(　　)
A．一条直线有且只有一条垂线
B．不相等的两个角一定不是对顶角
C．直角的补角必是直角
D．两直线平行，同旁内角互补
答案：A
4．命题“一个正整数不是合数就是素数”的条件p为______，结论q为________．
答案：一个正整数　不是合数就是素数
命题的判断
[典例]　判断下列语句是否是命题，并说明理由．
(1)是有理数；
(2)3x2≤5；
(3)梯形是不是平面图形呢？
(4)x2－x＋7>0.
[解]　(1)“是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题．
(4)因为x2－x＋7＝2＋>0，所以“x2－x＋7>0”是真的，故是命题．
判断语句是否是命题的策略
(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．
(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．　　　　　　
[活学活用]
判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；
(2)任何集合都是它自己的子集；
(3)对顶角相等吗？
(4)x>3.
解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题．
(2)是陈述句，能判断真假，是命题．
(3)不是陈述句，不是命题．
(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.
判断命题的真假
[典例]　判断下列命题的真假，并说明理由．
(1)正方形既是矩形又是菱形；
(2)当x＝4时，2x＋1<0；
(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；
(4)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列．
[解]　(1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．
(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0.
(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.
(4)是假命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列．
命题真假的判定方法
(1)真命题的判定方法：
真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．
(2)假命题的判定方法：
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．　　　　　　
[活学活用]
下列命题中真命题有(　　)
①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；
②抛物线y＝ax2＋2x－1与x轴至少有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1个　　　　　　　
　B．2个
C．3个
D．4个
解析：选A　①中当m＝0时，是一元一次方程；②中当Δ＝4＋4a<0时，抛物线与x轴无交点；③是正确的；④中空集不是本身的真子集.
命题的结构形式
[典例]　将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
[解]　(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．
(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．
(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．
(4)已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．
把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．　　　　　　
[活学活用]
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
(3)两个相似三角形是全等三角形；
(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．
解：(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题．
(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题．
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．
层级一　学业水平达标
1．下列语句不是命题的有(　　)
①若a>b，b>c，则a>c；②x>2；③3<4；④函数y＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数．
A．0个　　　　　　　　
　B．1个
C．2个
D．3个
解析：选C　①③是可以判断真假的陈述句，是命题；②④不能判断真假，不是命题．
2．(陕西高考)设z是复数，
则下列命题中的假命题是(　　)
A．若z2≥0，则z是实数
B．若z2＜0，则z是虚数
C．若z是虚数，则z2≥0
D．若z是纯虚数，则z2＜0
解析：选C　实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，得则b＝0，故选项A为真，同理选项B为真；而选项C为假，选项D为真．
3．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是(　　)
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
解析：选D　由已知a⊥α，b⊥β，若α，β相交，a，b有可能异面．
4．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是(　　)
A．4
B．2
C．0
D．－3
解析：选C　方程无实根时，应满足Δ＝a2－4<0.故a＝0时适合条件．
5．已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，
则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，
则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为(　　)
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
解析：选C　对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；
对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；
对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
6．下列语句中是命题的有________(写出序号)，其中是真命题的有________(写出序号)．
①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
②一个数不是正数就是负数；
③大角所对的边大于小角所对的边；
④△ABC中，若∠A＝∠B，则sin
A＝sin
B；
⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．
解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；
②是假命题，0既不是正数也不是负数；
③是假命题，没有考虑在同一个三角形内；
④是真命题；
⑤祈使句，不是命题．
答案：②③④　④
7．给出下面三个命题：
①函数y＝tan
x在第一象限是增函数；
②奇函数的图象一定过原点；
③若a>b>1，则0其中是真命题的是________．(填序号)
解析：①是假命题，反例：x＝2π＋和x＝，tan＝，tan
＝1,2π＋>，但tan2π＋.
②是假命题，反例：y＝是奇函数，但其图象不过原点．
③是真命题，由对数函数的图象及单调性可知是真命题．
答案：③
8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ax2－2ax－3>0不成立，
∴ax2－2ax－3≤0恒成立．
当a＝0时，－3≤0恒成立；
当a≠0时，则有
解得－3≤a<0.
综上，－3≤a≤0.
答案：[－3,0]
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假，且指出p和q分别指什么．
(1)乘积为1的两个实数互为倒数；
(2)奇函数的图象关于原点对称；
(3)与同一直线平行的两个平面平行．
解：(1)“若两个实数乘积为1，则这两个实数互为倒数”．它是真命题．
p：两个实数乘积为1；q：两个实数互为倒数．
(2)“若一个函数为奇函数，则它的图象关于原点对称”．它是真命题．
p：一个函数为奇函数；q：函数的图象关于原点对称．
(3)“若两个平面与同一条直线平行，则这两个平面平行”．它是假命题，这两个平面也可能相交．
p：两个平面与同一条直线平行；q：两个平面平行．
10．已知A：5x－1>a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得利用A，B
构造的命题“若p，则q”为真命题．
解：若视A为p，则命题“若p，则q”为“若x>，则x>1”．由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；
若视B为p，则命题“若p，则q”为“若x>1，则x>”．由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.
故a取任一实数均可利用A，B构造出一个真命题，比如这里取a＝1，则有真命题“若x>1，则x>”．
层级二　应试能力达标
1．在空间中，下列命题正确的是(　　)
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一平面的两条直线平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
解析：选D　A中当两平行直线确定的平面不垂直于投影面时，两平行直线的平行投影不重合．B中两直线也可以相交或异面．C中两平面可以相交．D正确．故选D.
2．下面的命题中是真命题的是(　　)
A．y＝sin2x的最小正周期为2π
B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则>0
C．如果M N，那么M∪N＝M
D．在△ABC中，若·>0，则B为锐角
解析：选B　y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；当M N时，M∪N＝N，故C为假命题；在三角形ABC中，当·>0时，向量与的夹角为锐角，B应为钝角，故D为假命题．故选B.
3．下列命题为真命题的是(　　)
A．若＝，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝
D．若x解析：选A　很明显A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．故选A.
4．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是(　　)
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
解析：选C　命题可改为“若一个四边形是平行四边形，则这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直．”故选C.
5．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”条件p：________，结论q：________________________________.它是____________命题(填“真”或“假”)．
解析：a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，
∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域(包括边界)，
∴命题为真命题．
答案：a>0　二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界)　真
6．定义“正对数”：ln＋x＝现有四个命题：
①若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝bln＋a；
②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b；
③若a>0，b>0，则ln＋≥ln＋a－ln＋b；
④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln
2.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
解析：对于①，当a≥1时，ab≥1，则ln＋(ab)＝ln
ab＝bln
a＝bln＋a；当0同理讨论a，b在(0，＋∞)内的不同取值，可知③④为真命题．
对于②，可取特殊值a＝e，b＝，则ln＋(ab)＝0，ln＋a＋ln＋b＝1＋0＝1，故②为假命题．
综上可知，真命题有①③④.
答案：①③④
7．已知p：x2－2x＋2≥m的解集为R；q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数．若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围．
解：若命题p为真命题，由x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥m，可知m≤1；
若命题q为真命题，则7－3m>1，即m<2.
命题p和q中有且只有一个是真命题，则p真q假或p假q真，
即或所以1故实数m的取值范围是(1,2)．
8．试探究命题“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为真命题时，a，b满足的条件．
解：方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：
当a＝0时，方程ax2＋bx＋1＝0为bx＋1＝0，只有当b≠0时，方程有实数解x＝－；
当a≠0时，方程ax2＋bx＋1＝0为一元二次方程，方程有实数解的条件为Δ＝b2－4a≥0.
综上知，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有实数解．
1．1.2
&
1.1.3　四种命题　四种命题间的相互关系
　预习课本P4～8，思考并完成以下问题
1．一个命题的四种形式分别是什么？它们之间的相互关系分别是什么？
　
　
2．什么样的两个命题有相同的真假性？
　
　
3．两个互逆命题或互否命题，它们之间的真假性有没有关系？
　
　
1．四种命题的概念
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．
2．四种命题结构
3．四种命题之间的关系
4．四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性(　　)
(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系(　　)
答案：(1)√　(2)√
2．已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥”的否命题是(　　)
A．若a2＋b2<，则a＋b≠1
B．若a＋b＝1，则a2＋b2<
C．若a＋b≠1，则a2＋b2<
D．若a2＋b2≥，则a＋b＝1
答案：C
3．若a≠0，则ab≠0的逆命题是________．
答案：若ab≠0，则a≠0
4．命题p：若a＝1，则a2＝1；命题q：若a2＝1，则a＝1，则命题p与q的关系是________．
答案：互逆命题
四种命题的概念
[典例]　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.
[解]　(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；
逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；
否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；
逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．
(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；
逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
(1)由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时，进行否定即得逆否命题．
(2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．　　　　　　
[活学活用]
写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；
(2)如果x>10，那么x>0.
解：(1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；
否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；
逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线．
(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；
否命题：如果x≤10，那么x≤0；
逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.
四种命题真假的判断
[典例]　判断下列命题的真假．
(1)“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题．
(2)“正三角形都相似”的逆命题．
(3)“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．
[解]　(1)原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题．
(2)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”．假命题．
(3)原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．
因为方程x2＋x－m＝0无实根，
所以判别式Δ＝1＋4m<0，解得m<－，
故m≤0，为真命题．
[一题多变]
1．[变设问]若本例(3)改为判断“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆命题的真假，则结果如何？
解：原命题的逆命题为“若x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．
因为方程x2＋x－m＝0有实根，所以判别式Δ＝1＋4m≥0，所以m≥－，故逆命题为假命题．
2．[变条件]若本例(3)改为判断“若m>0，则mx2＋x－1＝0有实根”的逆否命题的真假，则结论如何？
解：原命题的逆否命题为“若mx2＋x－1＝0无实根，则m≤0”．
因为方程mx2＋x－1＝0无实根，则m≠0，
所以判别式Δ＝1＋4m<0，则m<－，
故m≤0，为真命题．
解决此类题目的关键是牢记四种命题的概念，原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与逆命题也互为逆否命题，同真同假，故只判断二者中的一个即可．　
　　　
等价命题的应用
　　[典例]　证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
[证明]　法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾．
因此假设不成立，故a＋b≥0.
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．　　　　　　
[活学活用]
证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2.
证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”．
由于m＋n>2，则m2＋n2≥(m＋n)2>×22＝2，
所以m2＋n2≠2.
故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．
层级一　学业水平达标
1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是(　　)
A．原命题、否命题　　　
　B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题
D．逆命题、否命题
解析：选C　因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是(　　)
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析：选A　a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是(　　)
A．能被3整除的整数，一定能被6整除
B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除
C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除
D．不能被6整除的整数，能被3整除
解析：选B　即写命题“若一个整数能被6整除，则一定能被3整除”的逆否命题．
4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是(　　)
A．互逆命题
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
解析：选A　设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．
5．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　)
A．真，假，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
解析：选B　因为原命题为真，所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|，当z1＝1，z2＝－1时，这两个复数不是共轭复数，所以原命题的逆命题是假的，故否命题也是假的．故选B.
6．命题“若x≠1，则x2－1≠0”的真假性为________．
解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0，x＝±1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题．
答案：假命题
7．已知命题“若m－1解析：由已知得，若1∴∴1≤m≤2.
答案：[1,2]
8．下列命题中：
①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；
②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；
③正方形的四条边相等；
④圆内接四边形对角互补；
⑤对角不互补的四边形不内接于圆；
⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．
解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．
答案：②和④，③和⑥　①和⑥，②和⑤　①和③，④和⑤
9．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．
(1)等高的两个三角形是全等三角形；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
解：(1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题．
10．判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
解：原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集”．判断其真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，
判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0.
即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴无交点．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
故原命题的逆否命题为真命题．
层级二　应试能力达标
1．命题“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有(　　)
A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．4个
解析：选C　若c＝0，则ac2>bc2不成立，故原命题为假命题．由等价命题同真同假，知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”为真命题，由等价命题同真同假，知原命题的否命题也为真命题，所以共有2个真命题，故选C.
2．命题“对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形的对角线相等”的(　　)
A．逆命题　　　　　　　
　B．否命题
C．逆否命题
D．无关命题
解析：选A　由于这两个命题的关系是一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，所以互为逆命题，故选A.
3．原命题“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是(　　)
A．原命题是真命题
B．逆命题是假命题
C．否命题是真命题
D．逆否命题是真命题
解析：选C　原命题是假命题，所以逆否命题是假命题，逆命题“等腰梯形是圆内接四边形”是真命题，所以否命题是真命题，故选C.
4．命题“若α＝，则tan
α＝1”的逆否命题是(　　)
A．若α≠，则tan
α≠1
B．若α＝，则tan
α≠1
C．若tan
α≠1，则α≠
D．若tan
α≠1，则α＝
解析：选C　否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C正确．
5．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是________________．
答案：若x>0，则x>1　若x≤0，则x≤1
6．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
解析：逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；
否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；
逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”；
全为真命题．
答案：4
7．已知a，b，c∈R，证明：若a＋b＋c<1，则a，b，c中至少有一个小于.
证明：原命题的逆否命题为：已知a，b，c∈R，若a，b，c都不小于，则a＋b＋c≥1.
由条件a≥，b≥，c≥，
三式相加得a＋b＋c≥1，
显然逆否命题为真命题．
所以原命题也为真命题．
即已知a，b，c∈R，若a＋b＋c<1，
则a，b，c中至少有一个小于.
8．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，若命题：对于任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[－1,2]使f(x1)＝g(x2)为真命题，求实数a的取值范围．
解：对于任意的x1∈[－1,2]，存在x2∈[－1,2]使f(x1)＝g(x2)，则{f(x)|x∈[－1,2]} {g(x)|x∈[－1,2]}．又f(x)＝x2－2x在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以－1≤f(x)≤3.因为g(x)＝ax＋2(a>0)在[－1,2]上单调递增，所以－a＋2≤g(x)≤2a＋2，于是有即a≥3.
故实数a的取值范围为[3，＋∞)．
　
预习课本P9～11，思考并完成以下问题
1．什么是充分条件、必要条件？
　
　
2．什么是充要条件？
　
　
　　
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p q
p /_q
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
2．充要条件
(1)定义：若p q且q p，则记作p q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若p是q的充分条件，则p是唯一的(　　)
(2)“若綈p，则綈q”是真命题，则p是q的必要条件(　　)
(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切”，则α是β的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：C
3．“x＝3”是“x2＝9”的________条件(填“充分”或“必要”)．
答案：充分
4．“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件(填“充分”或“必要”)．
答案：必要
充分条件、必要条件、充要条件的判断
[典例]　(1)在△ABC
中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c
，则“a≤b”是
“sin
A≤sin
B”的(　　)
A．充要条件
　　　
　B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
(2)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析]　(1)由正弦定理，得＝，故a≤b sin
A≤sin
B，选A.
(2)构造函数f(x)＝x|x|，则f(x)在定义域R上为奇函数．因为f(x)＝所以函数f(x)在R上单调递增，所以a>b f(a)>f(b) a|a|>b|b|.选C.
[答案]　(1)A　(2)C
充要条件的判断方法
判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件，同时要注意反证法的运用．　　　　　　
[活学活用]
指出下列各组命题中，p是q的什么条件．
(1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形；
(2)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.
解：(1)∵四边形的对角线相等 /
四边形是平行四边形，四边形是平行四边形 /
四边形的对角线相等，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(2)∵(x－1)2＋(y－2)2＝0 x＝1且y＝2 (x－1)·(y－2)＝0，
而(x－1)(y－2)＝0 /
(x－1)2＋(y－2)2＝0，
∴p是q的充分不必要条件.
充分条件与必要条件的应用
[典例]　已知p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0；q：实数x满足x2－x－6≤0.若綈p是綈q的必要条件，求实数a的取值范围．
[解]　由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a所以p：3a由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为綈q 綈p，所以p q，所以A B，
所以 －≤a<0，
所以a的取值范围是.
[一题多变]
1．[变条件]本例中条件“a<0”改为“a>0”，若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围．
解：由x2－4ax＋3a2<0且a>0得a所以p：a由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
所以q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．
因为綈p 綈q，所以q p，所以B A，
所以
2．[变条件]将“q：实数x满足x2－x－6≤0”改为“q：实数x满足x2＋3x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．
解：由x2－4ax＋3a2<0且a<0得3a所以p：3a由x2＋3x≤0得－3≤x≤0，
所以q：－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．
因为綈q 綈p，所以p q，所以A B，
所以 －1≤a<0.
所以a的取值范围是[－1,0)．
充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．　　
　　
充要条件的证明
[典例]　试证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
[证明]　(1)必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b2－4ac>0，x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0.
(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
充要条件的证明思路
(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q p，“必要性”是p q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反．
(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．　　　　
[活学活用]
已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
证明：(1)必要性：由<，得－<0，即<0，
又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.
(2)充分性：由xy>0及x>y，
得>，即<.
综上所述，<的充要条件是xy>0.
层级一　学业水平达标
1．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选D　当数列{an}的首项a1＜0时，若q＞1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1＜0时，要使数列{an}为递增数列，则0＜q＜1，所以“q＞1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.
2．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么(　　)
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
解析：选A　因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙
丙，如图．
综上，有丙 甲，但甲丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．
3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A．a＝－b　　　　　　
　B．a∥b
C．a＝2b
D．a∥b且|a|＝|b|
解析：选C　对于A，当a＝－b时，≠；对于B，注意当a∥b时，与可能不相等；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b，且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b.　
4．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A　φ＝0时，函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos
x是偶函数，
而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋kπ(k∈Z)．
故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．
5．使|x|＝x成立的一个必要不充分条件是(　　)
A．x≥0
B．x2≥－x
C．log2(x＋1)>0
D．2x<1
解析：选B　∵|x|＝x x≥0，
∴选项A是充要条件．选项C，D均不符合题意．
对于选项B，∵由x2≥－x得x(x＋1)≥0，
∴x≥0或x≤－1.
故选项B是使|x|＝x成立的必要不充分条件．
6．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________________条件．
解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A /
B.
又因否命题为真，所以逆命题为真，即B A，
所以A是B的必要不充分条件．
答案：必要不充分
7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p q，但，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.
答案：(－∞，1)
8．下列命题：
①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；
②b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c<0解集为R的充要条件；
③“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的充分不必要条件；
④“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要不充分条件．
其中真命题的序号为______________．
解析：①x>2且y>3时，x＋y>5成立，反之不一定，如x＝0，y＝6.所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件；
②不等式解集为R的充要条件是a<0且b2－4ac<0，故②为假命题；
③当a＝2时，两直线平行，反之，若两直线平行，则＝，∴a＝2.因此，“a＝2”是“两直线平行”的充要条件；
④lg
x＋lg
y＝lg(xy)＝0，∴xy＝1且x>0，y>0.
所以“lg
x＋lg
y＝0”成立，xy＝1必成立，反之不然．
因此“xy＝1”是“lg
x＋lg
y＝0”的必要不充分条件．
综上可知，真命题是④.
答案：④
9．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；
(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2.
解：(1)∵|x|＝|y|x＝y，但x＝y |x|＝|y|，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，
∴p是q的既不充分也不必要条件．
(3)∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形，
四边形是矩形 四边形的对角线互相平分，
∴p是q的必要不充分条件．
(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝，
所以c2＝(a2＋b2)r2；
反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则＝r成立，
说明x2＋y2＝r2的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，
即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，
故p是q的充要条件．
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
证明：(1)充分性：当q＝－1时，a1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
当n＝1时，上式也成立．
于是＝＝p，即数列{an}为等比数列．
(2)必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
∵p≠0且p≠1，
∴＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p＝，∴q＝－1.
即数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
层级二　应试能力达标
1．“0b”的(　　)
A．充分不必要条件　　　
　B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A　当0b成立，所以是充分条件；当a>b时，有a2．已知直线l，m，平面α，且m α，则(　　)
A．“l⊥α”是“l⊥m”的必要条件
B．“l⊥m”是“l⊥α”的必要条件
C．l∥m l∥α
D．l∥α l∥m
解析：选B　很明显l⊥α l⊥m，l⊥m
l⊥α，l∥m
l∥α，l∥αl∥m，故选B.
3．下列说法正确的是(　　)
A．“x>0”是“x>1”的必要条件
B．已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件
C．“a4>b4”是“a>b”的必要条件
D．在△ABC中，“a>b”不是“A>B”的充分条件
解析：选A　A中，当x>1时，有x>0，所以A正确；B中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以B不正确；C中，当a>b时，a4>b4不一定成立，所以C不正确；D中，当a>b时，有A>B，所以“a>b”是“A>B”的充分条件，所以D不正确．故选A.
4．设p：≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B　∵q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，
∴解得0≤a≤.故选B.
5．已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R)，则该方程有两个正根的充要条件是________．
解析：方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0有两个实根的充要条件是
即
设此时方程的两根分别为x1，x2，则方程有两个正根的充要条件是 1答案：(1,2]∪[10，＋∞)
6．已知“－1解析：当方程x2＋y2＋kx＋y＋k2＝0表示圆时，
k2＋3－4k2>0，解得－1所以－1即实数m的取值范围是(－1,1]．
答案：(－1,1]
7．已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分条件，求正实数a的取值范围．
解：不等式x2－8x－20>0的解集为
A＝{x|x>10或x<－2}；
不等式x2－2x＋1－a2>0的解集为
B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}．
依题意p q，所以A B.
于是有解得0所以正实数a的取值范围是(0,3]．
8．求二次函数y＝－x2＋mx－1的图象与两端点为A(0,3)，B(3,0)的线段AB有两个不同的交点的充要条件．
解：线段AB的方程为x＋y＝3，由题意得方程组在[0,3]上有两组实数解，将①代入②，得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)，此方程有两个不同的实数根，令f(x)＝x2－(m＋1)x＋4，则二次函数f(x)在x∈[0,3]上有两个实根，
故有：解得3故m的取值范围是.
　
　预习课本P14～17，思考并完成以下问题
1．课本提到的简单的逻辑联结词有哪些？
　
2．命题p∧q、p∨q以及綈p的真假是如何确定的？
　
　
　
1．逻辑联结词，“且”“或”“非”
符号
含义
读法
p∧q
用联结词“且”把命题p和命题q联结起来的一个新命题
p且q
p∨q
用联结词“或”把命题p和命题q联结起来的一个新命题
p或q
綈p
对一个命题p全盘否定的一个新命题
非p或p的否定
2．“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
綈p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
[点睛]　(1)“或”含义的理解
对“或”的理解，可联想集合中“并集”的概念，“x∈A∪B”是指“x∈A”“x∈B”中至少有一个是成立的，即“x∈A，且x B”，也可以“x A，且x∈B”，也可以“x∈A，且x∈B”．逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活用语中的“或”的含义，生活用语中的“或”表示“不兼有”，而数学中的“或”则表示“可兼有但不必兼有”．
(2)命题“p∧q”“p∨q”“綈p”真假的记忆
①对于“p∧q”，简称为“一假即假”，即p，q中只要有一个为假，则“p∧q”为假；
②对于“p∨q”，简称为“一真即真”，即p，q中只要有一个为真，则“p∨q”为真．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当p是真命题时，“p∧q”为真命题(　　)
(2)当p是真命题时，“p∨q”为真命题(　　)
(3)若綈p为假命题，则p为真命题(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是(　　)
A．“p∧q”形式的命题　　
　B．“p∨q”形式的命题
C．“綈p”形式的命题
D．以上说法都不对
答案：A
3．命题“2
016≥2
015”使用的逻辑联结词是________．
答案：或
4．“p∨q”为真是“p∧q”为真的________条件．(填“充分”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”)
答案：必要不充分
用逻辑联结词联结新命题
[典例]　分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
[解]　(1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
綈p：梯形没有一组对边平行．
(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
綈p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．
用“或”“且”“非”联结两个简单命题时，要正确理解这三个联结词的意义，通常情况下，可以直接使用逻辑联结词联结，有时为了通顺也可以适当添加词语或省略联结词．如甲是运动员兼教练员，就省略了“且”．　　　　　　
[活学活用]
指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题．
(1)方程2x2＋1＝0没有实数根；
(2)12能被3或4整除．
解：(1)是“綈p”形式，其中p：方程2x2＋1＝0有实根．
(2)是“p或q”形式，其中p：12能被3整除；q：12能被4整除.
含有逻辑联结词的命题的真假判断
[典例]　(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y：命题q：若x>y，则x2>y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是(　　)
A．①③　　　　　　
　B．①④
C．②③
D．②④
(2)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．
则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q
B．綈p∧綈q
C．綈p∧q
D．p∧綈q
[解析]　(1)由不等式的性质可知，命题p是真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③綈q为真命题，则p∧(綈q)为真命题，④綈p为假命题，则(綈p)∨q为假命题，所以选C.
(2)依题意，命题p是真命题．由x>2
x>1，而x>1
x>2，因为此“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故命题q是假命题，则綈q是真命题，p∧綈q是真命题，选D.
[答案]　(1)C　(2)D
1．命题结构的两种类型及判断方法
(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．
(2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．
2．判断命题真假的三个步骤
(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“綈p”；
(2)对命题p和q的真假作出判断；
(3)由“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断方法给出结论．　　　　
　　[活学活用]
分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．
(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；
(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；
(3)A (A∪B)．
解：(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．
(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．
(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：A (A∪B)，因为p真，则“綈p”假，所以该命题是假命题.
根据含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围
[典例]　已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
[解]　p：解得m>2.
q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，
解得1∵p或q为真，p且q为假．
∴p为真，q为假，或p为假，q为真，
即或
解得m≥3或1故m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
[一题多变]
1．[变条件]本例中将“p∨q为真，p∧q为假”改为“p∧q为真”，求实数m的取值范围．
解：∵“p∧q”为真命题，
∴p为真且q为真．
p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根
m>2.
q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根
Δ＝16(m－2)2－16<0 1∴实数m的取值范围为(2,3)．
2．[变条件]本例中将“q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根”改为“q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0有两个不等的实数根”，求实数m的取值范围．
解：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根 m>2.
q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0有两个不等的实根
Δ＝16(m－2)2－16>0
m>3或m<1.
∵p∨q为真命题．p∧q为假命题，
∴p，q为一真一假．
①当p为真q为假时，
则解得，2②当p为假q为真时，
则解得m<1.
综上所述，实数m的取值范围是(－∞，1)∪(2,3]．
解决此类问题的方法，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p与p，綈q与q不能同真同假的特点，先求綈p，綈q中参数的范围．
　　　　
层级一　学业水平达标
1．“xy≠0”是指(　　)
A．x≠0且y≠0　　　　　
　B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0
D．x，y不都是0
解析：选A　xy≠0是指x，y均不能为0，故选A.
2．若命题“p且q”为假，且綈p为假，则(　　)
A．p或q为假
B．q假
C．q真
D．p假
解析：选B　綈p为假，则p为真，而p∧q为假，得q为假．
3．已知全集U＝R，A U，B U，如果命题p：∈(A∪B)，则命题“綈p”是(　　)
A. A
B.∈( UA)∩( UB)
C.∈ UB
D. (A∩B)
解析：选B　由p：∈(A∪B)，可知綈p： (A∪B)，即∈ U(A∪B)，而 U(A∪B)＝( UA)∩( UB)，故选B.
4．给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A　q 綈p等价于p 綈q，綈pq等价于綈qp，故p是綈q的充分而不必要条件．
5．设a，b，c
是非零向量，已知命题p：若
a·b＝0，b·c＝0，则
a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是(　　)
A．p∨q
B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q)
D．p∨(綈q)
解析：选A　对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；对于命题q：a∥b，b∥c说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．则p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题，綈q是假命题，所以(綈p)∧(綈q)是假命题，p∨(綈q)是假命题，故选A.
6．命题“若a解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，命题的否定是“若p，则綈q”．
答案：若a≥b，则2a≥2b　若a7．已知p：x2－x≥6，q：x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________．
解析：因为“p∧q”为假，“綈q”为假，所以q为真，p为假．
故即
因此，x的值可以是－1,0,1,2.
答案：{－1,0,1,2}
8．已知条件p：(x＋1)2>4，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
解析：由綈p是綈q的充分不必要条件，可知綈p 綈q，但綈q
綈p.由一个命题与它的逆否命题等价，可知q p但p
q．又p：x>1或x<－3，可知{x|x>a}?{x|x<－3或x>1}，所以a≥1.
答案：[1，＋∞)
9．指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题，若是含逻辑联结词的命题，写出构成它的简单命题．
(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(2)若x∈{x|x<1或x>2}，则x是不等式(x－1)·(x－2)>0的解．
解：(1)“p且q”形式的命题，其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形，q：两个角是45°的三角形是直角三角形．
(2)“p或q”形式的命题，其中p：若x∈{x|x<1}，则x是不等式(x－1)(x－2)>0的解，q：若x∈{x|x>2}，则x是不等式(x－1)(x－2)>0的解．
10．命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为 ，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的取值范围：
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．
解：甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，
即a>或a<－1，①
乙命题为真时，2a2－a>1，即a>1或a<－.②
(1)甲、乙至少有一个是真命题，即为a<－或a>，
∴甲、乙至少有一个是真命题时，a的取值范围是
∪.
(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围是
∪.
层级二　应试能力达标
1．已知p：x＋1>2，q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(　　)
A．充分不必要条件　　　
　B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A　设集合A＝{x|x＋1≤2}＝{x|x≤1}，B＝{x|5x－6≤x2}＝{x|x≤2或x≥3}，由于A?B，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
2．已知p：函数y＝sinx的最小正周期是π，q：函数y＝tan
x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是(　　)
A．p为真
B．綈q为假
C．p∧q为假
D．p∨q为真
解析：选C　很明显p和q均是假命题，所以綈q为真，p∧q为假，p∨q为假，故选C.
3．已知命题p：所有的有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．(綈p)∨q
B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q)
D．(綈p)∨(綈q)
解析：选D　由题意，得p是真命题，q是假命题，所以(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)是真命题，故选D.
4．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)
A．(綈p)∨(綈q)
B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧(綈q)
D．p∨q
解析：选A　綈p：甲没有降落在指定范围；綈q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p或綈q发生．
5．已知p：若数列{an}的前n项和Sn＝n2＋m，则数列{an}是等差数列，当綈p是假命题时，则实数m的值为________．
解析：由于綈p是假命题，所以p是真命题．
由Sn＝n2＋m，得an＝所以1＋m＝2×1－1，解得m＝0.
答案：0
6．已知p：点M(1,2)在不等式x－y＋m<0表示的区域内，q：直线2x－y＋m＝0与直线mx＋y－1＝0相交，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围为________．
解析：当p是真命题时，有1－2＋m<0，即m<1；
当q是真命题时，有2＋m≠0，，即m≠－2.
又p∧q为真命题，所以p是真命题且q是真命题，
所以m<1且m≠－2，
所以实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(－2,1)．
答案：(－∞，－2)∪(－2,1)
7．已知p：－11，綈q是綈p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：由－1所以綈p：x≤或x≥4，
设集合A＝；
由x＋a>1，得x＋a<0，解得x<－a，
所以綈q：x≥－a，
设集合B＝{x|x≥－a}．
又綈q是綈p的充分不必要条件，所以B?A，
所以－a≥4，解得a≤－4，
所以实数a的取值范围是(－∞，－4]．
8．已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解．若p∧q是假命题，綈p也是假命题．求实数a的取值范围．
解：∵p∧q是假命题，綈p是假命题，
∴命题p是真命题，命题q是假命题．
∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
∴
∴|x1－x2|＝＝，
∴当m＝[－1,1]时，|x1－x2|max＝3.
由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立，可得a2－5a－3≥3，
∴a≥6或a≤－1，
∴当命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.①
命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，
①当a>0时，显然有解；
②当a＝0时，2x－1>0有解；
③当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，
∴Δ＝4＋4a>0，
∴－1从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时，a>－1.
又∵命题q是假命题，∴a≤－1.②
由①②得，所求a的取值范围为(－∞，－1]．
　
预习课本P21～25，思考并完成以下问题
1．全称量词、全称命题的定义是什么？
　
　
　
2．存在量词、特称命题的定义是什么？
　
　
　
　
3．全称命题与特称命题的否定分别是什么命题？
　
　
　
　
1．全称量词与全称命题
全称量词
所有的、任意一个、一切、每一个、任给
符号

全称命题
含有全称量词的命题
形式
“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
2．存在量词与特称命题
存在量词
存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示

特称命题
含有存在量词的命题
形式
“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“ x0∈M，p(x0)”
3．全称命题与特称命题的否定
(1)全称命题p： x∈M，p(x)的否定綈p： x0∈M，綈p(x0)；全称命题的否定是特称命题．
(2)特称命题p： x0∈M，p(x0)的否定綈p： x∈M，綈p(x)；特称命题的否定是全称命题．
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在全称命题和特称命题中，量词都可以省略(　　)
(2)“有的等差数列也是等比数列”是特称命题(　　)
(3)“三角形内角和是180°”是全称命题(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
2．下列全称命题为真命题的是(　　)
A．所有的质数是奇数
B． x∈R，x2＋1≥1
C．对每一个无理数x，x2也是无理数
D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是5
答案：B
3．命题p： x0∈R，x＋2x0＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为綈p：______________.
答案：特称命题　假　 x∈R，x2＋2x＋5≥0
全称命题与特称命题
[典例]　判断下列语句是全称命题，还是特称命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)有的向量方向不定；
(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；
(4)矩形的对角线不相等；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
[解]　(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．
(2)含有存在量词“有的”，故是特称命题．
(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．
(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．
判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．　
[活学活用]
用全称量词或存在量词表示下列语句：
(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；
(2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数；
(3)等式sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β对有些角α，β成立；
(4)方程3x－2y＝10有整数解．
解：(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立．
(2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数．
(3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β成立．
(4)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立.
全称命题、特称命题的真假判断
[典例]　(1)(全国卷Ⅰ)不等式组的解集记为D.有下面四个命题：
p1： (x，y)∈D，x＋2y≥－2；
p2： (x，y)∈D，x＋2y≥2；
p3： (x，y)∈D，x＋2y≤3；
p4： (x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中真命题是(　　)
A．p2，p3　　　　　　
　B．p1，p4
C．p1，p2
D．p1，p3
(2)若命题“ x0∈R，使x＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－1,3]
B．[1,4]
C．(1,4)
D．(－∞，－1)∪[3，＋∞)
[解析]　(1)画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z＝x＋2y经过可行域内的点A(2，－1)时，取得最小值0，故x＋2y≥0，因此p1，p2是真命题，选C.
(2)由题意知 x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，
∴Δ＝(a－1)2－4≤0，
解得－1≤a≤3.故选A.
[答案]　(1)C　(2)A
(1)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可．
(2)要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．　　　　　
　[活学活用]
判断下列命题的真假．
(1)p：所有的单位向量都相等；
(2)p：任一等比数列{an}的公比q≠0；
(3)p： x0∈R，x＋2x0＋3≤0.
解：(1)p是全称命题，是假命题．
若两个单位向量e1，e2方向不相同，虽然有|e1|＝|e2|＝1，但e1≠e2.
(2)p是全称命题，是真命题．
根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项an≠0，所以其公比q＝≠0(n＝1,2,3，…)．
(3)p是特称命题，是假命题．
因为对于綈p： x∈R，x2＋2x＋3>0是真命题，这是因为x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2>0恒成立.
全称命题与特称命题的否定
[典例]　(1)设命题p： n∈N，n2>2n，则綈p为(　　)
A． n∈N，n2>2n
B． n∈N，n2≤2n
C． n∈N，n2≤2n
D． n∈N，n2＝2n
(2)(浙江高考)命题“ x∈R， n∈N
，使得n≥x2”的否定形式是(　　)
A． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
B． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
C． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
D． x∈R， n∈N
，使得n＜x2
[解析]　(1)因为“ x∈M，p(x)”的否定是“ x∈M，綈p(x)”，所以命题“ n∈N，n2>2n”的否定是“ n∈N，n2≤2n”，故选C.
(2)由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“ x∈R， n∈N
，使得n≥x2”的否定形式为“ x∈R， n∈N
，使得n＜x2”．
[答案]　(1)C　(2)D
(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，
同时否定结论．
(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．　　　　　　
[活学活用]
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出这些命题的否定．
(1)有一个奇数不能被3整除；
(2) x∈Z，x2与3的和不等于0；
(3)有些三角形的三个内角都为60°；
(4)每个三角形至少有两个锐角；
(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
解：(1)是特称命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．
(2)是全称命题，否定为： x0∈Z，x与3的和等于0.
(3)是特称命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.
(4)是全称命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．
(5)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线.
利用全称命题与特称命题求参数
[典例]　若命题“ x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．
[解]　法一：由题意， x∈[－1，＋∞)，
令f(x)＝x2－2ax＋2≥a恒成立，
所以f(x)＝(x－a)2＋2－a2≥a可转化为 x∈[－1，＋∞)，f(x)min≥a恒成立，
而 x∈[－1，＋∞)，
f(x)min＝
由f(x)的最小值f(x)min≥a，知a∈[－3,1]．
法二：x2－2ax＋2≥a，
即x2－2ax＋2－a≥0，
令f(x)＝x2－2ax＋2－a，
所以全称命题转化为 x∈[－1，＋∞)，
f(x)≥0恒成立，所以Δ≤0或
即－2≤a≤1或－3≤a<－2.所以－3≤a≤1.
综上，所求实数a的取值范围是[－3,1]．
利用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[活学活用]
已知p：“ x∈[1,2]，x2－a≥0”，q：“ x0∈R，使x＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
解：p为真时：x2－a≥0，即a≤x2.
∵x∈[1,2]时，上式恒成立，而x2∈[1,4]，∴a≤1.
q为真时：Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，
即a≥1或a≤－2.
∵p且q为真命题，∴p，q均为真命题．
∴a＝1或a≤－2.
即实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．
层级一　学业水平达标
1．下列命题中的假命题是(　　)
A． x∈R,2x－1>0
B． x∈N
，(x－1)2>0
C． x0∈R，lg
x0<1
D． x0∈R，tan
x0＝2
解析：选B　当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题．
2．下列四个命题中的真命题为(　　)
A．若sin
A＝sin
B，则A＝B
B． x∈R，都有x2＋1>0
C．若lg
x2＝0，则x＝1
D． x0∈Z，使1<4x0<3
解析：选B　A中，若sin
A＝sin
B，不一定有A＝B，故A为假命题，B显然是真命题；C中，若lg
x2＝0，则x2＝1，解得x＝±1，故C为假命题；D中，解1<4x<3得3．有下列四个命题：
① x∈R,2x2－3x＋4>0；
② x∈{1，－1,0},2x＋1>0；
③ x0∈N，使x≤x0；
④ x0∈N
，使x0为29的约数．
其中真命题的个数为(　　)
A．1　　　　　　　　
　B．2
C．3
D．4
解析：选C　对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题；对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题；对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题；对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题．
4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：选B　A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．
5．(浙江高考)命题“ n∈N
，f(n)∈N
且f(n)≤n”的否定形式是(　　)
A． n∈N
，f(n) N
且f(n)>n
B． n∈N
，f(n) N
或f(n)>n
C． n0∈N
，f(n0) N
且f(n0)>n0
D． n0∈N
，f(n0) N
或f(n0)>n0
解析：选D　写全称命题的否定时，要把量词 改为 ，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．
6．命题“ x∈R,3x2－2x＋1>0”的否定是________．
解析：“ x∈M，p(x)”的否定为“ x0∈M，綈p(x0)”．
∴其否定为 x0∈R,3x－2x0＋1≤0.
答案： x0∈R,3x－2x0＋1≤0
7．下列命题中，是全称命题的是________；是特称命题的是________．(填序号)
①正方形的四条边相等；
②有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是特称命题．
答案：①②③　④
8．(山东高考)若“ x∈，tan
x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．
解析：由题意，原命题等价于tan
x≤m在区间上恒成立，即y＝tan
x在上的最大值小于或等于m，又y＝tan
x在上的最大值为1，所以m≥1，即m的最小值为1.
答案：1
9．用“ ”“ ”写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)二次函数的图象是抛物线；
(2)在直角坐标系中，直线是一次函数的图象；
(3)有些四边形存在外接圆；
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0无解．
解：(1) f(x)∈{二次函数}，f(x)的图象不是抛物线．它是假命题．
(2)在直角坐标系中， l∈{直线}，l不是一次函数的图象．它是真命题．
(3) x∈{四边形}，x不存在外接圆．它是假命题．
(4) a，b∈R，方程ax＋b＝0至少有一解．它是假命题．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
解：法一：由题意知，x2＋2ax＋2－a>0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0，或4＋4a＋2－a>0.
整理得a>－3或a>－2.
即a>－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：綈p： x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a>0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即
解得a≤－3.
故命题p中，a>－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
层级二　应试能力达标
1．已知命题p： x∈R,2x2＋2x＋<0；命题q： x0∈R，sin
x0－cos
x0＝.则下列判断正确的是(　　)
A．p是真命题　　　　　
　B．q是假命题
C．綈p是假命题
D．綈q是假命题
解析：选D　p：2x2＋2x＋＝2＝2x＋2≥0，
∴p为假命题，綈p为真命题．
q：sin
x0－cos
x0＝sin
，
∴x0＝π时成立．
故q为真，而綈q为假命题．
2．下列命题中是假命题的是(　　)
A． m∈R，使f(x)＝(m－1)xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减
B． a>0，函数f(x)＝(ln
x)2＋ln
x－a有零点
C． α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos
α＋sin
β
D． φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
解析：选D　∵f(x)为幂函数，∴m－1＝1，∴m＝2，∴f(x)＝x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，故A中的命题为真命题；
∵y＝(ln
x)2＋ln
x的值域为，∴ a>0，方程(ln
x)2＋ln
x－a＝0有解，即函数f(x)有零点，故B中的命题为真命题；
当α＝，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos
α＋sin
β成立，故C中的命题为真命题；
当φ＝时，f(x)＝sin＝cos
2x为偶函数，故D中的命题为假命题．
3．若命题p： x∈R，sin2x＋cos2x＝1，命题q： a∈R，数列{an}是等差数列，则綈(p∧q)是(　　)
A． x∈R，sin2x＋cos2
x≠1或 a∈R，数列{an}不是等差数列
B． x∈R，sin2x＋cos2x≠1且 a∈R，数列{an}不是等差数列
C． x0∈R，sin2x0＋cos2x0≠1或 a0∈R，数列{a0n}不是等差数列
D． x0∈R，sin2x0＋cos2x0≠1且 a0∈R，数列{a0n}不是等差数列
解析：选C　綈(p∧q)＝(綈p)∨(綈q)，故选C.
4．命题p： x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是(　　)
A． x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
B． x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0
C． x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
D． x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0
解析：选C　根据全称命题的否定是特称命题，知綈p： x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0.故选C.
5．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．
答案： x∈R，x2＋2(a－1)x＋2a＋6≠0
6．已知命题p： c>0，y＝(3－c)x在R上为减函数，命题q： x∈R，x2＋2c－3>0.若p∧q为真命题，则实数c的取值范围为________．
解析：由于p∧q为真命题，
所以p，q都是真命题，所以解得2故实数c的取值范围为(2,3)．
答案：(2,3)
7．已知命题p： a∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin的周期不大于4π.
(1)写出綈p；
(2)当綈p是假命题时，求实数b的最大值．
解：(1)綈p： a0∈(0，b](b∈R且b>0)，函数f(x)＝sin的周期大于4π.
(2)由于綈p是假命题，所以p是真命题，
所以 a∈(0，b]，≤4π恒成立，解得a≤2，
所以b≤2，所以实数b的最大值是2.
8．已知f(t)＝log2t，t∈[，8]，若命题“对于f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立”为真命题．求实数x的取值范围．
解：易知f(t)∈.
由题意，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，则g(m)>0对 m∈恒成立．
所以即
解得x>2或x<－1.
故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
解析：选D　命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”．
2．已知命题①若a>b，则<，②若－2≤x≤0，则(x＋2)(x－3)≤0，则下列说法正确的是(　　)
A．①的逆命题为真
B．②的逆命题为真
C．①的逆否命题为真
D．②的逆否命题为真
解析：选D　①的逆命题为<则，a>b，若a＝－2，b＝3，则不成立．故A错；②的逆命题为若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤0是假命题，故B错；①为假命题，其逆否命题也为假命题，故C错；②为真命题，其逆否命题也为真命题，D正确．
3．已知命题p： x∈R,2x<3x；命题q： x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∧q　　　　　　　
　B．綈p∧q
C．p∧綈q
D．綈p∧綈q
解析：选B　容易判断当x≤0时2x>3x，命题p为假命题，分别作出函数y＝x3，y＝1－x2的图象，易知命题q为真命题．根据真值表易判断綈p∧q为真命题．
4．全称命题“ x∈R，x2＋5x＝4”的否定是(　　)
A． x0∈R，x＋5x0＝4
B． x∈R，x2＋5x≠4
C． x0∈R，x＋5x0≠4
D．以上都不正确
解析：选C　全称命题的否定为特称命题．
5．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件　
　B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A　要区分向量平行与向量相等，相反向量等基本概念，向量平行不一定向量相等，向量相等或相反必平行．
6．下列命题中，真命题是(　　)
A．命题“若|a|>b，则a>b”
B．命题“若“a＝b，则|a|＝|b|”的逆命题
C．命题“当x＝2时，x2－5x＋6＝0”的否命题
D．命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”
解析：选D　原命题可以改写成“若角的终边相同，则它们的同名三角函数值相等”，是真命题，故选D.
7．已知命题p：若实数x，y满足x3＋y3＝0，则x，y互为相反数；命题q：若a>b>0，则<.下列命题p∧q，p∨q，綈p，綈q中，真命题的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B　易知命题p，q都是真命题，则p∧q，p∨q都是真命题，綈p，綈q是假命题．
8．“a<0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C　方程ax2＋1＝0至少有一个负根等价于x2＝－，故a<0，故选C.
9．已知命题p：若不等式x2＋x＋m>0恒成立，则m>；命题q：在△ABC中，A>B是sin
A>sin
B的充要条件，
则(　　)
A．p假q真
B．“p且q”为真
C．“p或q”为假
D．綈p假綈q真
解析：选B　易判断出命题p为真命题，命题q为真命题，所以綈p为假，綈q为假．结合各选项知B正确．
10．下列关于函数f(x)＝x2与函数g(x)＝2x的描述，正确的是(　　)
A． a0∈R，当x>a0时，总有f(x)B． x∈R，f(x)C． x<0，f(x)≠g(x)
D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)内有且只有一个实数解
解析：选A　在同一坐标系内作出两函数的大致图象，两交点为(2,4)，(4,16)．
当x>4时，
由图象知f(x)其余三命题均错误．
11．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B　若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数；若h(x)为偶函数，则f(x)，g(x)不一定均为偶函数．可举反例说明，如f(x)＝x，g(x)＝x2－x＋2，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋2为偶函数．
12．有下列命题：
①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；
②“矩形的对角线相等”的否命题；
③“若m≥1，则mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集是R”的逆命题；
④“若a＋7是无理数，则a是无理数”的逆否命题．
其中正确的是(　　)
A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①④
解析：选D　①的逆命题为“若x>0且y>0，则x＋y>0”为真，故否命题为真；
②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题；
③的逆命题为，若mx2－2(m＋1)x＋m＋3>0的解集为R，则m≥1.
∵当m＝0时，解集不是R，
∴应有
即m>1.∴③是假命题；
④原命题为真，逆否命题也为真．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．命题“若a A，则b∈B”的逆否命题是________．
解析：逆否命题既否定其条件又否定其结论，然后交换其顺序．
答案：若b B，则a∈A
14．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的为________．
解析：p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，綈p为真命题．
答案：p∨q，綈p
15．已知p：－40，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：p：a－4由綈p是綈q的充分条件可知，
q是p的充分条件，即q p，
∴解得－1≤a≤6.
答案：[－1,6]
16．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的取值范围是________．
解析：由x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}，
得x<1或x≥2.
∵此命题是假命题，
∴1≤x<2.
答案：[1,2)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)能被6整除的数一定是偶数；
(2)当＋|b＋2|＝0时，a＝1，b＝－2；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x2时，y＝1，x＝1.
解：(1)若一个数能被6整除，则这个数为偶数，是真命题．
(2)若＋|b＋2|＝0，则a＝1且b＝－2，真命题．
(3)已知x，y为正整数，若y＝x2，则y＝1且x＝1，假命题．
18．(本小题满分12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．
(1)对数函数都是单调函数；
(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；
(3) x∈{x|x>0}，x＋≥2；
(4) x0∈Z，log2x0>2.
解：(1)本题隐含了全称量词“所有的”，可表述为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．
(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题．
(3)命题中含有全称量词“ ”，是全称命题，真命题；
(4)命题中含有存在量词“ ”，是特称命题，真命题．
19．(本小题满分12分)已知c>0，设命题p：y＝cx为减函数，命题q：函数f(x)＝x＋>在x∈上恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．
解：由p∨q真，p∧q假，知p与q为一真一假，对p，q进行分类讨论即可．
若p真，由y＝cx为减函数，得0当x∈时，由不等式x＋≥2(x＝1时取等号)知，f(x)＝x＋在上的最小值为2.
若q真，则<2，即c>.
若p真q假，则0若p假q真，则c≥1，c>，所以c≥1.
综上可得，c∈∪[1，＋∞)．
20．(本小题满分12分)已知命题：“ x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题．
(1)求实数m的取值集合B；
(2)设不等式(x－3a)(x－a－2)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：(1)命题：“ x∈{x|－1≤x≤1}，都有不等式x2－x－m<0成立”是真命题，得x2－x－m<0在－1≤x≤1时恒成立，
∴m>(x2－x)max，得m>2，
即B＝{m|m>2}．
(2)不等式(x－3a)(x－a－2)<0，
①当3a>2＋a，即a>1时，解集A＝{x|2＋a②当3a＝2＋a，即a＝1时，解集A＝ ，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立；③当3a<2＋a，即a<1时，解集A＝{x|3a∴3a≥2，此时a∈.
综上①②③可得a∈.
21．(本小题满分12分)设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明：充分性：因为∠A＝90°，
所以a2＝b2＋c2.
于是方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0，
所以x2＋2ax＋(a＋c)(a－c)＝0.
所以[x＋(a＋c)][x＋(a－c)]＝0.
所以该方程有两根x1＝－(a＋c)，x2＝－(a－c)，
同样另一方程x2＋2cx－b2＝0也可化为x2＋2cx－(a2－c2)＝0，即[x＋(c＋a)][x＋(c－a)]＝0，
所以该方程有两根x3＝－(a＋c)，x4＝－(c－a)．
可以发现，x1＝x3，
所以方程有公共根．
必要性：设x是方程的公共根，
则
由①＋②，得x＝－(a＋c)，x＝0(舍去)．
代入①并整理，可得a2＝b2＋c2.
所以∠A＝90°.
所以结论成立．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|(a∈R，且a≠－2)．
(1)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)与h(x)的解析式；
(2)命题p：函数f(x)在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数；命题q：函数g(x)是减函数．如果命题p，q有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝g(x)＋h(x)，　①
g(－x)＝－g(x)，h(－x)＝h(x)，
所以f(－x)＝－g(x)＋h(x)，　
②
(①－②)÷2得g(x)＝(a＋1)x，
(①＋②)÷2得h(x)＝x2＋lg|a＋2|.
(2)因为函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋lg|a＋2|在区间[(a＋1)2，＋∞)上是增函数，所以(a＋1)2≥－，
解得a≥－1或a≤－且a≠－2.
又由函数g(x)＝(a＋1)x是减函数，
得a<－1且a≠－2.
所以命题p为真的条件是：
a≥－1或a≤－且a≠－2；
命题p为假的条件是：－命题q为真的条件是：a<－1且a≠－2；
命题q为假的条件是：a≥－1或a＝－2；
所以命题p，q有且只有一个是真命题时，实数a的取值范围是.
　
2．1．1&2．1．2　曲线与方程　求曲线的方程
预习课本P34～36，思考并完成以下问题
1．曲线的方程、方程的曲线的定义分别是什么？
　
　
　
　
　
　
　
2．求曲线方程的一般步骤是什么？
　
　
　
　
　
　
　
　　　　
1．曲线的方程、方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C(看做点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
①曲线上点的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．
2．求曲线的方程的步骤
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)过点P(x0，y0)斜率为k的直线的方程是＝k(　　)
(2)若点P(x0，y0)在曲线C上，则有f(x0，y0)＝0(　　)
(3)以A(0,1)，B(1,0)，C(－1,0)为顶点的△ABC的BC边上中线的方程是x＝0(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
2．下列各组方程中表示相同曲线的是(　　)
A．x2＋y＝0与xy＝0　　　B．＝0与x2－y2＝0
C．y＝x与y＝
D．x－y＝0与y＝lg
10x
答案：D
3．动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
答案：B
4．若点P(2，－3)在曲线x2－ky2＝1上，则实数k＝________．
答案：
曲线的方程与方程的曲线的概念
　　[典例]　分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．
[解]　(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．
(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5．因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5．
(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0．
这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．这就是我们判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．　　　　
　　[活学活用]
命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是(　　)
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
解析：选B　“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，但“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确．
曲线与方程的判定问题
[典例]　下列方程分别表示什么曲线：
(1)(x＋y－1)＝0；
(2)2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0．
[解]　(1)由方程(x＋y－1)＝0可得
或
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1．
故方程表示一条射线x＋y－1＝0(x≥1)和一条直线x＝1．
(2)对方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0．
∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴解得
从而方程表示的图形是一个点(1，－1)．
判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断．特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线．另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．　　
　　[活学活用]
已知方程x2＋(y－1)2＝10．
(1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；
(2)若点M在此方程表示的曲线上，求m的值．
解：(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10，
∴点P在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，
点Q不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上．
(2)因为x＝，y＝－m适合方程x2＋(y－1)2＝10，
即2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－．所以m的值为2或－．
求曲线的方程
[典例]　已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程．
[解]　[法一　直接法]
如图所示，连接QC，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°．
设Q(x，y)，由题意，得
|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，
即x2＋y2＋x2＋(y－3)2＝9，
所以OP的中点Q的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
[法二　定义法]
如图所示，因为Q是OP的中点，
所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上．
故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．
[法三　代入法]
设P(x1，y1)，Q(x，y)，
由题意得即
又因为x＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋42＝9，
即x2＋2＝(去掉原点)．
直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法，对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围，一定要慎重分析和高度重视．
　　　　　　
[活学活用]
过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
解：法一：设点M的坐标为(x，y)．
∵M为线段AB的中点．
∴A点坐标是(2x,0)，B点坐标是(0,2y)．
∵l1，l2均过点P(2,4)，且l1⊥l2，
∴PA⊥PB，当x≠1时，kPA·kPB＝－1．
而kPA＝＝，kPB＝＝，
∴·＝－1，
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
当x＝1时，A，B点的坐标分别为(2,0)，(0,4)，
∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x＋2y－5＝0，
综上所述，点M的轨迹