【三维设计】2016-2017学年人教版高中数学选修2-1-模块综合检测

模块综合检测
(时间120分钟　满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“ x0∈R,2x0－3>1”的否定是(　　)
A． x0∈R,2x0－3≤1　　
　B． x∈R,2x－3>1
C． x∈R,2x－3≤1
D． x0∈R,2x0－3>1
解析：选C　由特称命题的否定的定义即知．
2．命题p：若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是(　　)
A．“p或q”是真命题
B．“p或q”是假命题
C．綈p为假命题
D．綈q为假命题
解析：选B　∵当a·b＞0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝综上可知，“p或q”是假命题，选B．
3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为(　　)
A．
B．－
C．8
D．－8
解析：选B　由y＝ax2得x2＝y，
∴＝－8，
∴a＝－．
4．下列说法中正确的是(　　)
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
解析：选D　否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D．
5．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选D　由已知可得2a－b＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n－1,2)．
又∵(2a－b)⊥b，∴－8＋2n－1＋4＝0．
∴2n＝5，n＝．∴|a|＝
＝．
6．下列结论中，正确的为(　　)
①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件；
②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件；
③“p或q”为真是“綈p”为假的必要不充分条件；
④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件．
A．①②
B．①③
C．②④
D．③④
解析：选B　p∧q为真 p真q真 p∨q为真，故①正确，由綈p为假 p为真 p∨q为真，故③正确．
7．双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选A　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，
故双曲线－＝1中，
m>0，n>0且m＋n＝c2＝1．①
又双曲线的离心率e＝＝
＝2，②
联立方程①②，解得故mn＝．
8．若直线y＝2x与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(　　)
A．(1，)
B．(，＋∞)
C．(1，
]
D．[，＋∞)
解析：选B　双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y＝x．由条件知，应有>2，
故e＝＝＝
>．
9．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2＝α．当α＝时，△F1PF2面积最大，则m＋n的值是(　　)
A．41
B．15
C．9
D．1
解析：选B　由S△F1PF2＝|F1F2|·yP＝3yP，
知P为短轴端点时，△F1PF2面积最大．
此时∠F1PF2＝，
得a＝＝2
，b＝＝，故m＋n＝15．
10．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A BD C的正弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选C　取BC中点O，连接AO，DO．建立如图所示坐标系，设BC＝1，
则A，B，
D．
∴＝，＝，＝．
由于＝为平面BCD的一个法向量，可进一步求出平面ABD的一个法向量n＝(1，－，1)，
∴cos〈n，〉＝，∴sin〈n，〉＝．
11．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1的离心率为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
解析：选B　因为椭圆＋＝1的离心率e1＝，
所以1－＝e＝，即＝，而在双曲线－＝1中，设离心率为e2，则e＝1＋＝1＋＝，
所以e2＝．
12．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：选A　由题意得解得|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，
又由已知可得＝2，所以c＝2a，即|F1F2|＝4a，
∴cos∠AF2F1＝
＝＝．故选A．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足OP―→·OA―→＝4，则动点P的轨迹方程是________．
解析：由·＝4得x×1＋y×2＝4，因此所求动点P的轨迹方程为x＋2y－4＝0．
答案：x＋2y－4＝0
14．命题“ x0∈R,2x－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵ x0∈R,2x－3ax0＋9＜0为假命题，
∴ x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题，
∴Δ＝9a2－4×2×9≤0，即a2≤8，
∴－2≤a≤2．
答案：[－2，2
]
15．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B．若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
解析：由题意，如图，在Rt△AOF中，∠AFO＝30°，
AO＝a，OF＝c，∴sin
30°＝＝＝．
∴e＝＝2．
答案：2
16．正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，则EF与平面CDD1C1所成角的正弦值为________．
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则E(2,0,1)，F(1,2,0)，
∴＝(－1,2，－1)．
又平面CDD1C1的一个法向量为＝(0,2,0)，cos〈，〉＝＝，故所求角的正弦值为．
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知命题p：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q： x∈R,4x2－4mx＋4m－3≥0．若(綈p)∧q为真，求m的取值范围．
解：p真时，m>2．
q真时，4x2－4mx＋4m－3≥0在R上恒成立．
Δ＝16m2－16(4m－3)≤0，解得1≤m≤3．
∵(綈p)∧q为真，∴p假，q真．
∴即1≤m≤2．
∴所求m的取值范围为[1,2]．
18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB＝1，AC＝AA1＝
，∠ABC＝60°．
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)求二面角A A1C B的正切值大小．
解：法一：(1)证明：∵三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，
∴AB⊥AA1．
在△ABC中，AB＝1，AC＝
，∠ABC＝60°．
由正弦定理得∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC，∴AB⊥平面ACC1A1．
又A1C 平面ACC1A1，∴AB⊥A1C．
(2)如图，作AD⊥A1C交A1C于D点，连接BD．
∵AB⊥A1C，AD∩AB＝A，
∴A1C⊥平面ABD，
∴BD⊥A1C，
∴∠ADB为二面角A A1C B的平面角．
在Rt△AA1C中，
AD＝＝＝．
在Rt△BAD中，tan∠ADB＝＝，
∴二面角A A1C B的正切值为．
法二：(1)证明：∵三棱柱ABC A1B1C1为直三棱柱，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AC．
在△ABC中，
AB＝1，AC＝
，∠ABC＝60°．
由正弦定理得∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝90°，
即AB⊥AC．如图，建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，A1(0,0，)，
∴＝(1,0,0)，＝(0，，－)．
∵·＝1×0＋0×＋0×(－
)＝0，
∴AB⊥A1C．
(2)取m＝＝(1,0,0)为平面AA1C1C的法向量．
由(1)知：＝(－1，，0)，设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(n·＝0，,n·＝0，))∴
∴x＝y，y＝z．令y＝1，则n＝(，1,1)，
∴cos
〈m，n〉＝
＝＝，
∴sin〈m，n〉＝
＝，
∴tan〈m，n〉＝．
∴二面角A A1C B的正切值为．
19．(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证：CM⊥EM；
(2)求CM与平面CDE所成角的大小．
解：(1)证明：分别以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AE＝a，则M(a，－a,0)，E(0，－2a，a)，D(2a,0,2a)，
所以＝(a，－a,0)，＝(a，a，－a)，
所以·＝a×a＋(－a)×a＋0×(－a)＝0，
所以CM⊥EM．
(2)
＝(0，－2a，a)，＝(2a,0,2a)，
设平面CDE的法向量n＝(x，y，z)，
则有即
令y＝1，则n＝(－2,1,2)，
cos〈，n〉＝eq
\f(·n,|
||n|)
＝＝－，
所以直线CM与平面CDE所成的角为45°．
20．(本小题满分12分)已知点P是圆O：x2＋y2＝9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足＝．
(1)求动点Q的轨迹方程；
(2)已知点E(1,1)，在动点Q的轨迹上是否存在不重合的两点M，N，使＝(＋)(O是坐标原点)，若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由．
解：(1)设P(x0，y0)，Q(x，y)，依题意，得点D的坐标为D(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，
又＝，
∴即
∵点P在圆O上，故x＋y＝9，
∴＋＝1，
∴动点Q的轨迹方程为＋＝1．
(2)假设椭圆＋＝1上存在不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)满足＝(＋)，则E(1,1)是线段MN的中点，且有
即
又M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆＋＝1上，
∴两式相减，得
＋＝0，
∴kMN＝＝－，
∴直线MN的方程为4x＋9y－13＝0，
∴椭圆上存在点M，N满足＝(＋)，此时直线MN的方程为4x＋9y－13＝0．
21．(本小题满分12分)如图，已知点E(m，0)为抛物线y2＝4x内的一个定点，过E作斜率分别为k1，k2的两条直线分别交抛物线于点A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点．
(1)若m＝1，k1k2＝－1，求△EMN面积的最小值；
(2)若k1＋k2＝1，求证：直线MN过定点．
解：(1)当m＝1时，E为抛物线y2＝4x的焦点．
∵k1k2＝－1，∴AB⊥CD．
由题意，知直线AB的方程为y＝k1(x－1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k1y2－4y－4k1＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝－4．
又线段AB的中点为M，
∴M．
同理点N(2k＋1，－2k1)．
∴S△EMN＝|EM|·|EN|＝
·＝2
≥2＝4，
当且仅当k＝，即k1＝±1时等号成立，
∴△EMN面积的最小值为4．
(2)证明：由题意，得直线AB的方程为y＝k1(x－m)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k1y2－4y－4k1m＝0，
∴y1＋y2＝，y1y2＝－4m．
又线段AB的中点为M，
∴M．
同理点N．
∴kMN＝＝＝k1k2，
∴直线MN：y－＝k1k2，
即y＝k1k2(x－m)＋2，
∴直线MN恒过定点(m,2)．
22．(本小题满分12分)如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A(2,0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且·＝0，|－|＝2|－|．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设P，Q为椭圆上异于A，B且不重合的两点，若∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，则是否存在实数λ，使得＝λ？若存在，求出λ的最大值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵·＝0，∴⊥，∠ACB＝90°．
又|－|＝2|－|，即||＝2||，
∴||＝||，
∴△AOC是等腰直角三角形．
∵A(2,0)，∴C(1,1)．
又点C在椭圆上，a＝2，
∴＋＝1，∴b2＝，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1．
(2)对于椭圆上两点P，Q，
∵∠PCQ的平分线总是垂直于x轴，
∴PC与CQ所在直线关于直线x＝1对称．
设kPC＝k(k≠0且k≠±1)，则kC
Q＝－k，
则直线PC的方程为
y－1＝k(x－1) y＝k(x－1)＋1，①
直线CQ的方程为
y－1＝－k(x－1) y＝－k(x－1)＋1，②
将①代入＋＝1，
得(1＋3k2)x2－6k(k－1)x＋3k2－6k－1＝0．③
∵C(1,1)在椭圆上，∴x＝1是方程③的一个根，
∴xP＝，
以－k替换k，得到xQ＝．
kPQ＝＝＝＝＝．
而kAB＝，∴kPQ＝kAB，∴PQ∥AB，
∴存在实数λ，使得＝λ．
又||＝
＝
＝＝≤，
当且仅当9k2＝，即k2＝，k＝±时取等号．
又||＝，∴λmax＝＝．