2025-2026学年人教A版数学选择性必修第一册 2.5.1 第1课时　直线与圆的位置关系 课时练习（含答案）

2.5.1　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的位置关系
一．选择题
1.若直线x-y+1=0与圆(x-a)2+y2=2有公共点,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-3,-1] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
2.若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点,则(　　)
A.E≠0,D=F=0 B.D≠0,E≠0,F=0
C.D≠0,E=F=0 D.F≠0,D=E=0
3.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,则直线x0x+y0y=R2与圆x2+y2=R2的位置关系是(　　)
A.相切 B.相交
C.相离 D.不确定
4.若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值为(　　)
A.0或4 B.0或3
C.-2或6 D.-1或
5.已知圆C:x2+y2-6x=0,过点P(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.(多选题)已知直线l:(1+a)x+y+1=0(a∈R)与圆C:x2+y2=1,下列结论正确的是(　　)
A.直线l必过定点
B.直线l与圆C可能相离
C.直线l与圆C可能相切
D.当a=1时,直线l被圆C截得的弦长为
7.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为(　　)
A. B. C. D.
8.直线x+7y-5=0截圆x2+y2=1所得的两段弧长之差的绝对值是(　　)
A. B. C.π D.
9.在圆x2+y2+2x+4y-3=0上,且到直线x+y+1=0的距离为的点共有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.(多选题)已知直线l:(m+2)x+(2m-1)y-3m-1=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=16交于A,B两点,则弦长|AB|可能的取值是(　　)
A.6 B.7 C.8 D.5
二．填空题
11.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=　　　　　.
12.由直线y=x+1上的一点向圆x2-6x+y2+8=0引切线,则切线长的最小值为　　　　　.
13.若过点A(4,0)的直线l与圆(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为　　　　　　　　　　.
14.已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过点A,B分别作直线l的垂线与x轴分别交于C,D两点,则|CD|=　　　　　.
三．解答题
15.已知圆C:x2+y2-6x-4y+4=0,直线l1被圆C所截得的弦的中点为P(5,3).
(1)求直线l1的方程;
(2)若直线l2:x+y+b=0与圆C相交,求实数b的取值范围.
16.已知圆O:x2+y2=r2(r>0)与直线x-y+2=0相切.
(1)求圆O的方程;
(2)过点的直线l被圆O所截得的弦长为2,求直线l的方程.
17.已知圆C:x2+y2=4.
(1)若圆C与直线l:x-my+3m-2=0相切,求m的值;
(2)已知点M(1,0),过点P作圆C的切线,切点为Q,再过P作圆C':(x-1)2+(y-1)2=12的切线,切点为R.若|PQ|=|PR|,求|MP|的最小值.
2.5.1　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的位置关系
一．选择题
1.C
由题意得圆(x-a)2+y2=2的圆心C(a,0)到直线x-y+1=0的距离d≤,即,整理得|a+1|≤2,解得-3≤a≤1,即a的取值范围为[-3,1].
2.A
由题意得圆心坐标为,即D2=4F,因为圆过原点,所以F=0,于是D=F=0.
又D2+E2-4F>0,所以E≠0.
3.B
因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,所以>R2,所以圆x2+y2=R2的圆心到直线x0x+y0y=R2的距离=R,所以直线与圆相交.故选B.
4.A
由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为2,所以圆心到直线的距离d=.又由点到直线的距离公式得d=,所以|a-2|=2,解得a=4或a=0.故选A.
5.B
圆的方程x2+y2-6x=0可化为(x-3)2+y2=9,所以圆心C的坐标为C(3,0),半径为3.显然点P在圆C内.当过点P的直线l和直线CP垂直时,直线l被圆C截得的弦的长度最短,此时弦的长度为2=2=2.故选B.
6.AC
对于A,由(1+a)x+y+1=0可得ax+x+y+1=0,由
所以直线l过定点(0,-1),A正确;对于B,因为直线l过定点(0,-1),而点(0,-1)在圆C:x2+y2=1上,所以直线l与圆C不可能相离,但可能相切,B错误,C正确;对于D,当a=1时,直线l的方程为2x+y+1=0.设圆心C到直线l的距离为d,则d=,所以直线l被圆C截得的弦长为2=2=2×,D错误,故选AC.
7.B
由于圆上的点(2,1)在第一象限,若圆心不在第一象限,则圆至少与一条坐标轴相交,不符合题意,所以圆心必在第一象限.
由题意可设圆心的坐标为(a,a)(a>0),则圆的半径为a,圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2.
由题意可得(2-a)2+(1-a)2=a2,
即a2-6a+5=0,解得a=1或a=5,
所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),
当圆心的坐标为(1,1)时,圆心到直线2x-y-3=0的距离d1=;
当圆心的坐标为(5,5)时,圆心到直线2x-y-3=0的距离d2=.
所以圆心到直线2x-y-3=0的距离为.
8.C
由点到直线的距离公式得圆心(0,0)到直线x+7y-5=0的距离d=.
又圆的半径r=1,∴直线x+7y-5=0被圆x2+y2=1截得的弦长为,∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°,∴被截得的两段弧长之比为3∶1,
∴两段弧长之差的绝对值是×2π-×2π=π.
9.C
由圆的方程x2+y2+2x+4y-3=0可得,圆心为(-1,-2),半径r=2,而圆心(-1,-2)到直线x+y+1=0的距离d=,故圆上有3个点满足题意.
10.BC
由(m+2)x+(2m-1)y-3m-1=0,得(x+2y-3)m+2x-y-1=0,
令解得故直线l恒过点M(1,1).
因为圆心C(2,1),半径r=4,所以|CM|=,
则2≤|AB|≤2r,即2≤|AB|≤8,故选BC.
二．填空题
11. 4±
由点到直线的距离公式得圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离为.
因为△ABC为等边三角形,
所以|AB|=|BC|=2,
所以+12=22,解得a=4±.
12.
易知直线与圆相离,当直线y=x+1上的点与圆心的距离最小时,由该点所引圆的切线长最小.由圆的一般方程得圆心坐标为(3,0),则圆心(3,0)到直线x-y+1=0的距离d==2,又圆的半径为1,故切线长的最小值为.
13.
由题意可得,圆心(2,0)到直线l的距离d≤1.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=4,圆心(2,0)到直线l的距离为2,不符合题意;当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,于是有≤1,解得-≤k≤.
故直线l的斜率的取值范围为.
14. 4
如图所示,∵直线AB的方程为x-y+6=0,
∴直线AB的斜率kAB=,
∴∠BPD=30°,
从而∠BDP=60°.
在Rt△BOD中,∵|OB|=2,∴|OD|=2.
取AB的中点H,连接OH,则OH⊥AB,
∴OH为直角梯形ABDC的中位线,
∴|OC|=|OD|,∴|CD|=2|OD|=2×2=4.
三．解答题
15.
解:(1)因为圆C的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=9,
所以圆心C(3,2).
由题意可知,l1⊥PC,且直线PC的斜率kPC=,
所以直线l1的斜率k1=-2,所以直线l1的方程为y-3=-2(x-5),即2x+y-13=0.
(2)因为圆C的半径r=3,所以要使直线l2与圆C相交,
则圆心C到直线l2的距离d=<3,
即|b+5|<3,解得-3-516.
解:(1)∵直线x-y+2=0与圆O:x2+y2=r2相切,∴圆心O(0,0)到直线x-y+2=0的距离等于圆的半径r,即=r,即r=2.
∴圆O的方程为x2+y2=4.
(2)当直线l的斜率不存在时,则直线l的方程为x=1,此时直线l被圆O所截得的弦长为2,符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-=k(x-1),即kx-y+-k=0.
由直线l被圆O所截得的弦长为2,圆O的半径r=2,得圆心O到直线l的距离d==1,即=1,解得k=-.
故直线l的方程为-x-y+=0,即x+y-2=0.
综上所述,直线l的方程为x+y-2=0或x=1.
17.
解:(1)圆C:x2+y2=4的圆心为C(0,0),半径为2,
因为圆C与直线l:x-my+3m-2=0相切,
所以圆心C到直线l的距离d==2,
解得m=0或m=.
(2)圆C:x2+y2=4的圆心为C(0,0),半径为2;
圆C':(x-1)2+(y-1)2=12的圆心为C'(1,1),半径为2.
设点P(x,y),由题意可得|PQ|=,
|PR|=.
因为|PQ|=|PR|,所以,整理得x+y+3=0.
因为点C(0,0)到直线x+y+3=0的距离为>1,所以直线x+y+3=0与圆C相离;
因为点C'(1,1)到直线x+y+3=0的距离为>2,所以直线x+y+3=0与圆C'相离.
所以点P的轨迹方程为x+y+3=0.因此|MP|的最小值即为点M到直线x+y+3=0的距离,
即|MP|min==2.