湘教版九年级数学下册2.5直线与圆的位置关系测试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 湘教版九年级数学下册2.5直线与圆的位置关系测试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 296.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-10-18 22:48:49 | ||
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文档简介
湘教版九年级数学下册2.5
直线与圆的位置关系测试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
2．在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
3．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB=60°，延长OB至C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是（ ）
A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离
B．当BC等于2时，l与⊙O相切
C．当BC等于1时，l与⊙O相交
D．当BC不为1时，l与⊙O不相切
4．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
5．如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（ ）
A．40°或80°
B．50°或100°
C．50°或110°
D．60°或120°
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
7．在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上三者都有可能
8．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P（x，0），且与x轴正方向夹角为45°，若AB与⊙O有公共点，则x值的范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1
B．﹣
C．
D．0
9．如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1
B．﹣≤x≤
C．0≤x≤
D．x＞
10．圆心为P（m，n），半径为1的圆与平面直角坐标系的两坐标轴都相交，则m+n的值可能是（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣
D．3
二．填空题（共4小题）
11．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：
（1）当d=3时，m= ；
（2）当m=2时，d的取值范围是 ．
12．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ．
13．如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC=2，AB=6，点P射线BD上一动点，以CP为直径作⊙O，点P运动时，若⊙O与线段AB有公共点，则BP最大值为 ．
14．如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．
三．解答题（共6小题）
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．
16．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=2，AC=，求AB的长．
17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．
18．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．
（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°
（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
20．已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，
（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；
（2）求FG的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016 梧州）已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【分析】由直线和圆的位置关系：r＞d，可知：直线和圆相交．
【解答】解：半径r=5，圆心到直线的距离d=3，
∵5＞3，即r＞d，
∴直线和圆相交，
故选C．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l和⊙O相交 d＜r；②直线l和⊙O相切 d=r；③直线l和⊙O相离 d＞r．
2．（2016 湘西州）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4＜2.5，
即d＜r，
∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；
故选A．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．
3．（2016 河北区二模）如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB=60°，延长OB至C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是（ ）
A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离
B．当BC等于2时，l与⊙O相切
C．当BC等于1时，l与⊙O相交
D．当BC不为1时，l与⊙O不相切
【分析】根据圆心到直线的距离大于半径，直线与圆相离，圆心到直线的距离小于半径，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，可得答案．
【解答】解：A、∵BC=0.5，∴OC=OB+CB=1.5；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC=0.5＜1，∴l与⊙O相交，故A错误；
B、∵BC=2，∴OC=OB+CB=3；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC=1.5＞1，∴l与⊙O相离，故B错误；
C、∵BC=1，∴OC=OB+CB=2；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC=1，∴l与⊙O相切，故C错误；
D、∵BC≠1，∴OC=OB+CB≠2；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC≠1，∴l与⊙O不相切，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，利用了直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离大于半径，直线与圆相离；圆心到直线的距离小于半径，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切．
4．（2016 永春县模拟）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【分析】根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．
【解答】解：过O作OG垂于G，连接OC，
∵OC=，只有C、O、G三点在一条直线上OE最小，
连接OM，
∴OM=，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，
作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB==5，
∵AC BC=AB CF，
∴CF=，
∴OG=﹣=，
∴MG==，
∴MN=2MG=，
故选C．
【点评】本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，过O作OG垂于E，得出C、O、G三点在一条直线上OE最小是解题的关键．
5．（2016 五指山校级模拟）如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（ ）
A．40°或80°
B．50°或100°
C．50°或110°
D．60°或120°
【分析】当BA′与⊙O相切时，可连接圆心与切点，通过构建的直角三角形，求出∠A′BO的度数，然后再根据BA′的不同位置分类讨论．
【解答】解：如图；
①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB=90°；
Rt△OPB中，OB=2OP，
∴∠A′BO=30°；
∴∠ABA′=50°；
②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时；
同①，可求得∠A′BO=30°；
此时∠ABA′=80°+30°=110°；
故旋转角α的度数为50°或110°，
故选C．
【点评】此题主要考查的是切线的性质，以及解直角三角形的应用；需注意切线的位置有两种情况，不要漏解．
6．（2016 凉山州模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，再和⊙C的半径比较即可得出结果．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB==5（cm），
由三角形面积公式得：×3×4=×5×CD，
解得：CD=2.4cm，
即C到AB的距离大于⊙C的半径长，
∴⊙C和AB的位置关系是相离，
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．
7．（2016 萧山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上三者都有可能
【分析】设直线经过的点为A，若点A在圆内则直线和圆一定相交；若点在圆上或圆外则直线和圆有可能相交或相切或相离，所以先要计算OA的长和半径2比较大小再做选择．
【解答】解：设直线经过的点为A，
∵点A的坐标为（sin45°，cos30°），
∴OA==，
∵圆的半径为2，
∴OA＜2，
∴点A在圆内，
∴直线和圆一定相交，
故选A．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有特殊角的锐角三角函数值、勾股定理的运用，判定点A和圆的位置关系是解题关键．
8．（2016 南充模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P（x，0），且与x轴正方向夹角为45°，若AB与⊙O有公共点，则x值的范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1
B．﹣
C．
D．0
【分析】作OH⊥AB于H，如图，则OP=|x|，∠OPH=45°，利用等腰直角三角形的性质得OH=|x|，根据题意可判断直线AB与圆相交或相切，所以|x|≤1，然后解绝对值不等式即可．
【解答】解：作OH⊥AB于H，如图，
∵OP=|x|，∠OPH=45°，
∴OH=|x|，
∵AB与⊙O有公共点，
∴OH≤1，
即|x|≤1，
∴﹣≤x≤．
故选B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d=r；直线l和⊙O相离 d＞r．解决本题的关键是用P点的横坐标表示点O到直线AB的距离．
9．（2016 平南县二模）如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1
B．﹣≤x≤
C．0≤x≤
D．x＞
【分析】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的P的取值，再结合图象可得出P的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：∵半径为1的圆，∠AOB=45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，
∴当P′C与圆相切时，切点为C，
∴OC⊥P′C，
CO=1，∠P′OC=45°，OP′=，
∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0≤x≤，
同理点P在点O左侧时，0
∴0≤x≤．
故选C．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键．
10．（2016 六合区一模）圆心为P（m，n），半径为1的圆与平面直角坐标系的两坐标轴都相交，则m+n的值可能是（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣
D．3
【分析】由已知条件得到OB=|m|，PB=|n|，由PA=1，得到|m|＜1，|n|＜1，当m，n同号，则|m+n|＜2，当m，n异号，则|m+n|＜1，于是得到结论．
【解答】解：如图，∵P（m，n），
∴OB=|m|，PB=|n|，
∵PA=1，
∴|m|＜1，|n|＜1，
∵|2|=2，|﹣2|=2，|﹣|=，|3|=3，
当m，n同号，则|m+n|＜2，故m+n不可能A，B，D，
当m，n异号，则|m+n|＜1，故m+n不可能A，B，D，
故选C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形的性质，绝对值的意义，正确的理解题意是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
11．（2016 永州）如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：
（1）当d=3时，m= 1 ；
（2）当m=2时，d的取值范围是 1＜d＜3 ．
【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案．
【解答】解：（1）当d=3时，
∵3＞2，即d＞r，
∴直线与圆相离，则m=1，
故答案为：1；
（2）当d=3时，m=1；
当d=1时，m=3；
∴当1＜d＜3时，m=2，
故答案为：1＜d＜3．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系．
12．（2016 曲靖模拟）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 （，2）或（﹣，2） ．
【分析】当⊙P与x轴相切时，点P的纵坐标是2或﹣2，把点P的坐标坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标．
【解答】解：依题意，可设P（x，2）或P（x，﹣2）．
①当P的坐标是（x，2）时，将其代入y=x2﹣1，得
2=x2﹣1，
解得x=±，
此时P（，2）或（﹣，2）；
②当P的坐标是（x，﹣2）时，将其代入y=x2﹣1，得
﹣2=x2﹣1，即﹣1=x2
无解．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（，2）或（﹣，2）；
故答案是：（，2）或（﹣，2）．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标特征．解题时，为了防止漏解或错解，一定要分类讨论．
13．（2016 苏州一模）如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC=2，AB=6，点P射线BD上一动点，以CP为直径作⊙O，点P运动时，若⊙O与线段AB有公共点，则BP最大值为 ．
【分析】首先判断当AB与⊙O相切时，PB的值最大，设AB与⊙O相切于E，连接OE，则OE⊥AB，过点C作CF⊥PB于F，由CA⊥AB，DB⊥AB，得到AC∥OE∥PB，四边形ABPC是矩形，证得CF=AB=6，在直角三角形PCF中，由勾股定理列方程求解．
【解答】解：当AB与⊙O相切时，PB的值最大，
如图，设AB与⊙O相切于E，连接OE，则OE⊥AB，
过点C作CF⊥PB于F，
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴AC∥OE∥PB，
四边形ABPC是矩形，
∴CF=AB=6，
∵CO=OP，
∴AE=BE，
设PB=x，则PC=2OE=2+x，PF=x﹣2，
∴（x+2）2=（x﹣2）2+62，
解得；x=，
∴BP最大值为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，梯形的中位线，勾股定理矩形的判定和性质，解题的关键是知道当PB取最大值时，AB与圆相切．
14．（2016 无锡）如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．
【分析】当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，即CF=1.5cm，又因为∠EFC=∠O=90°，所以△EFC∽△DCO，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0≤t≤4．
【解答】解：当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，
此时，CF=1.5，
∵AC=2t，BD=t，
∴OC=8﹣2t，OD=6﹣t，
∵点E是OC的中点，
∴CE=OC=4﹣t，
∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO
∴△EFC∽△DCO
∴=
∴EF===
由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，
∴（4﹣t）2=+，
解得：t=或t=，
∵0≤t≤4，
∴t=．
故答案为：
【点评】本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的能力．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．
【分析】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；
（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）连接OE，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠ODE=90°，
∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．
16．（2016 漳州）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=2，AC=，求AB的长．
【分析】（1）连接OC，由C为的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论；
（2）连接CE，由勾股定理得到CD==，根据切割线定理得到CD2=AD DE，根据勾股定理得到CE==，由圆周角定理得到∠ACB=90°，即可得到结论．
【解答】解：（1）相切，连接OC，
∵C为的中点，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠ACO，
∴∠2=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）方法1：连接CE，
∵AD=2，AC=，
∵∠ADC=90°，
∴CD==，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2=AD DE，
∴DE=1，
∴CE==，
∵C为的中点，
∴BC=CE=，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB==3．
方法2：∵∠DCA=∠B，
易得△ADC∽△ACB，
∴=，
∴AB=3．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，切割线定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
17．（2016 泰州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．
【分析】（1）结论：AB是⊙O切线，连接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要证明∠ADF=∠DCF即可解决问题．
（2）只要证明△PCF∽△PAC，得=，设PF=a．则PC=2a，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）AB是⊙O切线．
理由：连接DE、CF．
∵CD是直径，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DEC+∠ACE=180°，
∴DE∥AC，
∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，
∵∠DFC=90°，
∴∠FCD+∠CDF=90°，
∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，
∴∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AD，
∴AB是⊙O切线．
（2）∵∠CPF=∠CPA，∠PCF=∠PAC，
∴△PCF∽△PAC，
∴=，
∴PC2=PF PA，设PF=a．则PC=2a，
∴4a2=a（a+5），
∴a=，
∴PC=2a=．
【点评】本题考查切线的判定、相似三角形的判定和性质、圆的有关性质等知识，解题的关键是添加辅助线，记住直径所对的圆周角是直角，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．
18．（2016 随州）如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．
（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90°，即可证明BD是⊙O的切线；
（2）过点D作DG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5，由两角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDG=sinA=，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的长，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵OB=OA，DE=DB，
∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，
∴∠OBA+∠ABD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）如图，过点D作DG⊥BE于G，
∵DE=DB，
∴EG=BE=5，
∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，
∴∠GDE=∠A，
∴△ACE∽△DGE，
∴sin∠EDG=sinA==，即CE=13，
在Rt△ECG中，
∵DG==12，
∵CD=15，DE=13，
∴DE=2，
∵△ACE∽△DGE，
∴=，
∴AC= DG=，
∴⊙O的直径2OA=4AC=．
【点评】此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
19．（2016 怀化）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°
（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据题意作出图形，如图所示；
（2）BC与⊙P相切，理由为：过P作PD⊥BC，交BC于点P，利用角平分线定理得到PD=PA，而PA为圆P的半径，即可得证．
【解答】解：（1）如图所示，⊙P为所求的圆；
（2）BC与⊙P相切，理由为：
过P作PD⊥BC，交BC于点P，
∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，
∴PD=PA，
∵PA为⊙P的半径．
∴BC与⊙P相切．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及作图﹣复杂作图，证明切线的方法有两种：一种是连接证明垂直；一种是作垂线，证明垂线段等于半径．
20．（2016 本溪二模）已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，
（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；
（2）求FG的长．
【分析】（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．
（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FG长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，
∴∠B=∠C=∠ODB=60°，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，
∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，
∴DF是圆O的切线；
（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，
∴BD=OB=OD=6，
∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，
∵在Rt△CFD中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=CD=×6=3，
∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，
∵FG⊥AB，
∴∠FGA=90°，
∵∠FAG=60°，
∴FG=AFsin60°=．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、垂径定理等知识，判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
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直线与圆的位置关系测试卷
一．选择题（共10小题）
1．已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
2．在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
3．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB=60°，延长OB至C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是（ ）
A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离
B．当BC等于2时，l与⊙O相切
C．当BC等于1时，l与⊙O相交
D．当BC不为1时，l与⊙O不相切
4．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
5．如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（ ）
A．40°或80°
B．50°或100°
C．50°或110°
D．60°或120°
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
7．在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上三者都有可能
8．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P（x，0），且与x轴正方向夹角为45°，若AB与⊙O有公共点，则x值的范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1
B．﹣
C．
D．0
9．如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1
B．﹣≤x≤
C．0≤x≤
D．x＞
10．圆心为P（m，n），半径为1的圆与平面直角坐标系的两坐标轴都相交，则m+n的值可能是（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣
D．3
二．填空题（共4小题）
11．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：
（1）当d=3时，m= ；
（2）当m=2时，d的取值范围是 ．
12．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 ．
13．如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC=2，AB=6，点P射线BD上一动点，以CP为直径作⊙O，点P运动时，若⊙O与线段AB有公共点，则BP最大值为 ．
14．如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．
三．解答题（共6小题）
15．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．
16．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=2，AC=，求AB的长．
17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．
18．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．
（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°
（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
20．已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，
（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；
（2）求FG的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2016 梧州）已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【分析】由直线和圆的位置关系：r＞d，可知：直线和圆相交．
【解答】解：半径r=5，圆心到直线的距离d=3，
∵5＞3，即r＞d，
∴直线和圆相交，
故选C．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，①直线l和⊙O相交 d＜r；②直线l和⊙O相切 d=r；③直线l和⊙O相离 d＞r．
2．（2016 湘西州）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，
∴AB==5，
∵△ABC的面积=AC×BC=AB×CD，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4＜2.5，
即d＜r，
∴以2.5为半径的⊙C与直线AB的关系是相交；
故选A．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点是勾股定理，三角形的面积公式；解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．
3．（2016 河北区二模）如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB=60°，延长OB至C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是（ ）
A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离
B．当BC等于2时，l与⊙O相切
C．当BC等于1时，l与⊙O相交
D．当BC不为1时，l与⊙O不相切
【分析】根据圆心到直线的距离大于半径，直线与圆相离，圆心到直线的距离小于半径，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，可得答案．
【解答】解：A、∵BC=0.5，∴OC=OB+CB=1.5；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC=0.5＜1，∴l与⊙O相交，故A错误；
B、∵BC=2，∴OC=OB+CB=3；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC=1.5＞1，∴l与⊙O相离，故B错误；
C、∵BC=1，∴OC=OB+CB=2；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC=1，∴l与⊙O相切，故C错误；
D、∵BC≠1，∴OC=OB+CB≠2；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC≠1，∴l与⊙O不相切，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，利用了直线与圆的位置关系：圆心到直线的距离大于半径，直线与圆相离；圆心到直线的距离小于半径，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切．
4．（2016 永春县模拟）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=3．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【分析】根据题意有C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，根据勾股定理求得AB，根据三角形面积求得CF，然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．
【解答】解：过O作OG垂于G，连接OC，
∵OC=，只有C、O、G三点在一条直线上OE最小，
连接OM，
∴OM=，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，
作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB==5，
∵AC BC=AB CF，
∴CF=，
∴OG=﹣=，
∴MG==，
∴MN=2MG=，
故选C．
【点评】本题考查了垂线段最短，垂径定理，勾股定理，过O作OG垂于E，得出C、O、G三点在一条直线上OE最小是解题的关键．
5．（2016 五指山校级模拟）如图，∠ABC=80°，O为射线BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，要使射线BA与⊙O相切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转（ ）
A．40°或80°
B．50°或100°
C．50°或110°
D．60°或120°
【分析】当BA′与⊙O相切时，可连接圆心与切点，通过构建的直角三角形，求出∠A′BO的度数，然后再根据BA′的不同位置分类讨论．
【解答】解：如图；
①当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC上方时，设切点为P，连接OP，则∠OPB=90°；
Rt△OPB中，OB=2OP，
∴∠A′BO=30°；
∴∠ABA′=50°；
②当BA′与⊙O相切，且BA′位于BC下方时；
同①，可求得∠A′BO=30°；
此时∠ABA′=80°+30°=110°；
故旋转角α的度数为50°或110°，
故选C．
【点评】此题主要考查的是切线的性质，以及解直角三角形的应用；需注意切线的位置有两种情况，不要漏解．
6．（2016 凉山州模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以点C为圆心2cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，再和⊙C的半径比较即可得出结果．
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB==5（cm），
由三角形面积公式得：×3×4=×5×CD，
解得：CD=2.4cm，
即C到AB的距离大于⊙C的半径长，
∴⊙C和AB的位置关系是相离，
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离．
7．（2016 萧山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上三者都有可能
【分析】设直线经过的点为A，若点A在圆内则直线和圆一定相交；若点在圆上或圆外则直线和圆有可能相交或相切或相离，所以先要计算OA的长和半径2比较大小再做选择．
【解答】解：设直线经过的点为A，
∵点A的坐标为（sin45°，cos30°），
∴OA==，
∵圆的半径为2，
∴OA＜2，
∴点A在圆内，
∴直线和圆一定相交，
故选A．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有特殊角的锐角三角函数值、勾股定理的运用，判定点A和圆的位置关系是解题关键．
8．（2016 南充模拟）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径是1，直线AB与x轴交于点P（x，0），且与x轴正方向夹角为45°，若AB与⊙O有公共点，则x值的范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1
B．﹣
C．
D．0
【分析】作OH⊥AB于H，如图，则OP=|x|，∠OPH=45°，利用等腰直角三角形的性质得OH=|x|，根据题意可判断直线AB与圆相交或相切，所以|x|≤1，然后解绝对值不等式即可．
【解答】解：作OH⊥AB于H，如图，
∵OP=|x|，∠OPH=45°，
∴OH=|x|，
∵AB与⊙O有公共点，
∴OH≤1，
即|x|≤1，
∴﹣≤x≤．
故选B．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d=r；直线l和⊙O相离 d＞r．解决本题的关键是用P点的横坐标表示点O到直线AB的距离．
9．（2016 平南县二模）如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1≤x≤1
B．﹣≤x≤
C．0≤x≤
D．x＞
【分析】首先作出圆的切线，求出直线与圆相切时的P的取值，再结合图象可得出P的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：∵半径为1的圆，∠AOB=45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，
∴当P′C与圆相切时，切点为C，
∴OC⊥P′C，
CO=1，∠P′OC=45°，OP′=，
∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0≤x≤，
同理点P在点O左侧时，0
∴0≤x≤．
故选C．
【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，作出切线找出直线与圆有交点的分界点是解决问题的关键．
10．（2016 六合区一模）圆心为P（m，n），半径为1的圆与平面直角坐标系的两坐标轴都相交，则m+n的值可能是（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣
D．3
【分析】由已知条件得到OB=|m|，PB=|n|，由PA=1，得到|m|＜1，|n|＜1，当m，n同号，则|m+n|＜2，当m，n异号，则|m+n|＜1，于是得到结论．
【解答】解：如图，∵P（m，n），
∴OB=|m|，PB=|n|，
∵PA=1，
∴|m|＜1，|n|＜1，
∵|2|=2，|﹣2|=2，|﹣|=，|3|=3，
当m，n同号，则|m+n|＜2，故m+n不可能A，B，D，
当m，n异号，则|m+n|＜1，故m+n不可能A，B，D，
故选C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形的性质，绝对值的意义，正确的理解题意是解题的关键．
二．填空题（共4小题）
11．（2016 永州）如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM=d．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如d=0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m=4，由此可知：
（1）当d=3时，m= 1 ；
（2）当m=2时，d的取值范围是 1＜d＜3 ．
【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案．
【解答】解：（1）当d=3时，
∵3＞2，即d＞r，
∴直线与圆相离，则m=1，
故答案为：1；
（2）当d=3时，m=1；
当d=1时，m=3；
∴当1＜d＜3时，m=2，
故答案为：1＜d＜3．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系．
12．（2016 曲靖模拟）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y=x2﹣1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为 （，2）或（﹣，2） ．
【分析】当⊙P与x轴相切时，点P的纵坐标是2或﹣2，把点P的坐标坐标代入函数解析式，即可求得相应的横坐标．
【解答】解：依题意，可设P（x，2）或P（x，﹣2）．
①当P的坐标是（x，2）时，将其代入y=x2﹣1，得
2=x2﹣1，
解得x=±，
此时P（，2）或（﹣，2）；
②当P的坐标是（x，﹣2）时，将其代入y=x2﹣1，得
﹣2=x2﹣1，即﹣1=x2
无解．
综上所述，符合条件的点P的坐标是（，2）或（﹣，2）；
故答案是：（，2）或（﹣，2）．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，二次函数图象上点的坐标特征．解题时，为了防止漏解或错解，一定要分类讨论．
13．（2016 苏州一模）如图，CA⊥AB，DB⊥AB，已知AC=2，AB=6，点P射线BD上一动点，以CP为直径作⊙O，点P运动时，若⊙O与线段AB有公共点，则BP最大值为 ．
【分析】首先判断当AB与⊙O相切时，PB的值最大，设AB与⊙O相切于E，连接OE，则OE⊥AB，过点C作CF⊥PB于F，由CA⊥AB，DB⊥AB，得到AC∥OE∥PB，四边形ABPC是矩形，证得CF=AB=6，在直角三角形PCF中，由勾股定理列方程求解．
【解答】解：当AB与⊙O相切时，PB的值最大，
如图，设AB与⊙O相切于E，连接OE，则OE⊥AB，
过点C作CF⊥PB于F，
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴AC∥OE∥PB，
四边形ABPC是矩形，
∴CF=AB=6，
∵CO=OP，
∴AE=BE，
设PB=x，则PC=2OE=2+x，PF=x﹣2，
∴（x+2）2=（x﹣2）2+62，
解得；x=，
∴BP最大值为：，
故答案为：．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，梯形的中位线，勾股定理矩形的判定和性质，解题的关键是知道当PB取最大值时，AB与圆相切．
14．（2016 无锡）如图，△AOB中，∠O=90°，AO=8cm，BO=6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了 s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．
【分析】当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，即CF=1.5cm，又因为∠EFC=∠O=90°，所以△EFC∽△DCO，利用对应边的比相等即可求出EF的长度，再利用勾股定理列出方程即可求出t的值，要注意t的取值范围为0≤t≤4．
【解答】解：当以点C为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切时，
此时，CF=1.5，
∵AC=2t，BD=t，
∴OC=8﹣2t，OD=6﹣t，
∵点E是OC的中点，
∴CE=OC=4﹣t，
∵∠EFC=∠O=90°，∠FCE=∠DCO
∴△EFC∽△DCO
∴=
∴EF===
由勾股定理可知：CE2=CF2+EF2，
∴（4﹣t）2=+，
解得：t=或t=，
∵0≤t≤4，
∴t=．
故答案为：
【点评】本题考查圆的切线性质，主要涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质等知识，题目综合程度较高，很好地考查学生综合运用知识的能力．
三．解答题（共6小题）
15．（2016 三明）如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．
【分析】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；
（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，在直角三角形OCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．
【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，
∵OD=OA，
∴∠A=∠ODA，
∵EF是BD的垂直平分线，
∴EB=ED，
∴∠B=∠EDB，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ODA+∠EDB=90°，
∴∠ODE=180°﹣90°=90°，
∴直线DE与⊙O相切；
（2）连接OE，
设DE=x，则EB=ED=x，CE=8﹣x，
∵∠C=∠ODE=90°，
∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，
∴42+（8﹣x）2=22+x2，
解得：x=4.75，
则DE=4.75．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．
16．（2016 漳州）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=2，AC=，求AB的长．
【分析】（1）连接OC，由C为的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论；
（2）连接CE，由勾股定理得到CD==，根据切割线定理得到CD2=AD DE，根据勾股定理得到CE==，由圆周角定理得到∠ACB=90°，即可得到结论．
【解答】解：（1）相切，连接OC，
∵C为的中点，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠ACO，
∴∠2=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；
（2）方法1：连接CE，
∵AD=2，AC=，
∵∠ADC=90°，
∴CD==，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2=AD DE，
∴DE=1，
∴CE==，
∵C为的中点，
∴BC=CE=，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB==3．
方法2：∵∠DCA=∠B，
易得△ADC∽△ACB，
∴=，
∴AB=3．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，切割线定理，熟练掌握各定理是解题的关键．
17．（2016 泰州）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．
（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．
【分析】（1）结论：AB是⊙O切线，连接DE，CF，由∠FCD+∠CDF=90°，只要证明∠ADF=∠DCF即可解决问题．
（2）只要证明△PCF∽△PAC，得=，设PF=a．则PC=2a，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）AB是⊙O切线．
理由：连接DE、CF．
∵CD是直径，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DEC+∠ACE=180°，
∴DE∥AC，
∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，
∵∠DFC=90°，
∴∠FCD+∠CDF=90°，
∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，
∴∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADC=90°，
∴CD⊥AD，
∴AB是⊙O切线．
（2）∵∠CPF=∠CPA，∠PCF=∠PAC，
∴△PCF∽△PAC，
∴=，
∴PC2=PF PA，设PF=a．则PC=2a，
∴4a2=a（a+5），
∴a=，
∴PC=2a=．
【点评】本题考查切线的判定、相似三角形的判定和性质、圆的有关性质等知识，解题的关键是添加辅助线，记住直径所对的圆周角是直角，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．
18．（2016 随州）如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．
（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=15，BE=10，tanA=，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBD=90°，即可证明BD是⊙O的切线；
（2）过点D作DG⊥BE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5，由两角相等的三角形相似，△ACE∽△DGE，利用相似三角形对应角相等得到sin∠EDG=sinA=，在Rt△EDG中，利用勾股定理求出DG的长，根据三角形相似得到比例式，代入数据即可得到结果．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵OB=OA，DE=DB，
∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠ABD，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°，
∴∠OBA+∠ABD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）如图，过点D作DG⊥BE于G，
∵DE=DB，
∴EG=BE=5，
∵∠ACE=∠DGE=90°，∠AEC=∠GED，
∴∠GDE=∠A，
∴△ACE∽△DGE，
∴sin∠EDG=sinA==，即CE=13，
在Rt△ECG中，
∵DG==12，
∵CD=15，DE=13，
∴DE=2，
∵△ACE∽△DGE，
∴=，
∴AC= DG=，
∴⊙O的直径2OA=4AC=．
【点评】此题考查了切线的判定，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
19．（2016 怀化）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°
（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
【分析】（1）根据题意作出图形，如图所示；
（2）BC与⊙P相切，理由为：过P作PD⊥BC，交BC于点P，利用角平分线定理得到PD=PA，而PA为圆P的半径，即可得证．
【解答】解：（1）如图所示，⊙P为所求的圆；
（2）BC与⊙P相切，理由为：
过P作PD⊥BC，交BC于点P，
∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，
∴PD=PA，
∵PA为⊙P的半径．
∴BC与⊙P相切．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及作图﹣复杂作图，证明切线的方法有两种：一种是连接证明垂直；一种是作垂线，证明垂线段等于半径．
20．（2016 本溪二模）已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连接GD，
（1）求证：DF与⊙O的位置关系并证明；
（2）求FG的长．
【分析】（1）连接OD，证∠ODF=90°即可．
（2）利用△ADF是30°的直角三角形可求得AF长，同理可利用△FHC中的60°的三角函数值可求得FG长．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵以等边三角形ABC的边AB为直径的半圆与BC边交于点D，
∴∠B=∠C=∠ODB=60°，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，即OD⊥DF，
∵OD是以边AB为直径的半圆的半径，
∴DF是圆O的切线；
（2）∵OB=OD=AB=6，且∠B=60°，
∴BD=OB=OD=6，
∴CD=BC﹣BD=AB﹣BD=12﹣6=6，
∵在Rt△CFD中，∠C=60°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=CD=×6=3，
∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9，
∵FG⊥AB，
∴∠FGA=90°，
∵∠FAG=60°，
∴FG=AFsin60°=．
【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系、等边三角形的性质、垂径定理等知识，判断直线和圆的位置关系，一般要猜想是相切，那么证直线和半径的夹角为90°即可；注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应的线段长．
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