湘教版九年级数学下册2.7正多边形与圆测试卷（解析版）

湘教版九年级数学下册2.7
正多边形与圆测试卷
　
一．选择题（共10小题）
1．已知⊙O的半径为r，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为a，b，c，则a：b：c的值为（　　）
A．1：2：3
B．3：2：1
C．1：：
D．：：1
2．如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，已知正三角形的边长为10，则该餐盘的面积是（　　）
A．50π﹣50
B．50π﹣25
C．25π+50
D．50π
3．如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，圆O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）
A．3、
B．、π
C．3、
D．3、2π
4．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，连接对角线AC，BD，CE，DF，EA，FB，这些对角线相交得到正六边形HUKML，则得到的正六边形HUKML的面积为（　　）
A．18
B．36
C．
D．
5．边长为a的正六边形的内切圆的半径为（　　）
A．a
B．a
C．2a
D．a
6．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（　　）
A．△OAB是等边三角形
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．OC平分弦AB
D．∠BAC=30°
7．如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（　　）
A．
B．2
C．
D．3
8．如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（　　）
A．5
B．6
C．8
D．10
9．平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的起始位置如图1所示，边AB在x轴上，现将正六边形沿x轴正方向无滑动滚动，第一次滚动后，边BC落在x轴上（如图2）；第二次滚动后，边CD落在x轴上，如此继续下去．则第2016次滚动后，落在x轴上的是（　　）
A．边DE
B．边EF
C．边FA
D．边AB
10．如图，在三个同样大小的正方形中，分别画1个内切圆，面积为S1；画4个半径相同，相邻两个相互外切且和正方形都内切的圆，面积为S4；同样的要求画9个圆，面积为S9，则S1，S4，S9的大小关系为（　　）
A．S1最大
B．S4最大
C．S9最大
D．一样大
　
二．填空题（共4小题）
11．如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为　　．
12．如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为　　．
13．已知正六边形的边长为6，那么边心距等于　　．
14．如图，平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A，B，C，D，E，F中，会过点（2015，2）的是点　　．
　
三．解答题（共6小题）
15．如图，将边长为2的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动．
（1）该正六边形的每一个内角的度数是　　，每一个外角的度数为　　；
（2）求它的对角线A1A5、A2A4、A1A3的长；
（3）直接写出点A1从图1滚动到图2的位置时，顶点A1所经过的路径长．
16．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？
17．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于　　．
18．已知圆内接正三角形的边心距为2cm，求它的边长．
19．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在上．
（1）求∠AED的度数；
（2）若⊙O的半径为2，则的长为多少？
（3）连接OD，OE，当∠DOE=90°时，AE恰好是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
20．如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
　
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题）
1．（2016 兰州模拟）已知⊙O的半径为r，其内接正六边形，正四边形，正三角形的边长分别为a，b，c，则a：b：c的值为（　　）
A．1：2：3
B．3：2：1
C．1：：
D．：：1
【分析】根据题意画出图形，再由正多边形的性质及直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图1所示，
在正三角形ABC中，连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB cos30°=r，
故a=BC=2BD=r；
如图2所示，
在正方形ABCD中，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE=r，
故b=BC=r；
如图3所示，
在正六边形ABCDEF中，连接OA、OB，过O作OG⊥AB，则△OAB是等边三角形，
故AG=OA cos60°=r，
c=AB=2AG=r，
∴圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比r：r：r=：：1．
故选：C．
【点评】本题考查的是圆内接正三角形、正方形及正六边形的性质；根据题意画出图形，作出辅助线构造出直角三角形是解答此题的关键．
　
2．（2016 临沭县一模）如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，已知正三角形的边长为10，则该餐盘的面积是（　　）
A．50π﹣50
B．50π﹣25
C．25π+50
D．50π
【分析】由扇形面积减去三角形面积求出弓形面积，三个弓形与一个等边三角形面积之和即为餐盘面积．
【解答】解：该餐盘的面积为3（﹣×102）+×102=50π﹣50，
故选A
【点评】此题考查了正多边形和圆，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
　
3．（2016 东昌府区一模）如图，正六边形ABCDEF内接于圆O，圆O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　）
A．3、
B．、π
C．3、
D．3、2π
【分析】连接OC，OD，由正六边形ABCDEF可求出∠COD=60°，进而可求出∠COM=30°，根据30°角的锐角三角函数值即可求出边心距OM的长，再由弧长公式即可求出弧BC的长．
【解答】解：连接OC，OD，
∵正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，
∴∠COD=60°，
∵OC=OD，OM⊥CD，
∴∠COM=30°，
∵OC=6，
∴OM=6cos30°=3，
∴==2π
故选D．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及弧长公式的运用，熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．
　
4．（2016 孝义市一模）如图，正六边形ABCDEF的边长为6，连接对角线AC，BD，CE，DF，EA，FB，这些对角线相交得到正六边形HUKML，则得到的正六边形HUKML的面积为（　　）
A．18
B．36
C．
D．
【分析】由正六边形的性质得出△ACE的面积=正六边形的面积=27，△ALM的面积+△CHI的面积+△EKJ的面积=△ACE的面积=9，即可得出结果．
【解答】解：由正六边形的性质得：△ACE的面积=正六边形的面积=×6××6×6×sin60°=27，
△ALM的面积+△CHI的面积+△EKJ的面积=△ACE的面积=9，
∴正六边形HUKML的面积=27﹣9=18；
故答案为：A．
【点评】本题考查了正六边形的性质；利用正六边形可分成6个全等的等边三角形，由正六边形的性质得出三角形和正六边形的面积关系是解决问题的关键．
　
5．（2016 西青区一模）边长为a的正六边形的内切圆的半径为（　　）
A．a
B．a
C．2a
D．a
【分析】首先求出正多边形的内切圆的半径，即为每个边长为a的正三角形的高，从而构造直角三角形即可解．
【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵六边形ABCDEF是边长为a的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=a，
∴OG=OA sin60°=a，
∴边长为a的正六边形的内切圆的半径为a，
故选A．
【点评】本题涉及到正多边形、等边三角形及特殊角的三角函数值，作出图形，理解定义是解答此题的关键．
　
6．（2016 长沙模拟）如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（　　）
A．△OAB是等边三角形
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C．OC平分弦AB
D．∠BAC=30°
【分析】由OA=AB得出△0AB为等边三角形，再根据OC⊥AB可得出OC平分弧AB，得出弧AC等于弧BC，根据圆周角定理得出∠AOC=∠BOC=30°，再进行选择即可．
【解答】解：∵OA=AB=OB，
∴△OAB是等边三角形，选项A正确，
∴∠AOB=60°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC=30°，AC=BC，弧AC=弧BC，
∴=12，∠BAC=∠BOC=15°，
∴选项B、C正确，选项D错误，
故选D．
【点评】本题考查了正多边形的性质、垂径定理、圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，要熟练应用．
　
7．（2016 开平区一模）如图，由7个形状，大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点，已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是（　　）
A．
B．2
C．
D．3
【分析】延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E，根据S△ABC=S△AEC﹣S△BEC即可求解．
【解答】解：延长AB，然后作出过点C与格点所在的直线，一定交于格点E．
正六边形的边长为1，则半径是1，则CE=4，
中间间隔一个顶点的两个顶点之间的距离是：，则△BCE的边EC上的高是：，
△ACE边EC上的高是：，
则S△ABC=S△AEC﹣S△BEC=×4×（﹣）=2．
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形的计算，正确理解S△ABC=S△AEC﹣S△BEC是关键．
　
8．（2016 定州市一模）如图，在一张正六边形纸片中剪下两个全等的直角三角形（阴影部分），拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2，则纸片的剩余部分拼成的五边形的面积为（　　）
A．5
B．6
C．8
D．10
【分析】由题意得出拼成的四边形的面积是正六边形面积的六分之一，求出正六边形的面积，即可得出结果．
【解答】解：根据题意得：正六边形的面积=6×2=12，
故纸片的剩余部分拼成的五边形的面积=12﹣2=10；
故选：D．
【点评】本题主要考查的是正多边形的性质、三角形面积的计算；熟记正六边形的性质是解决问题的关键．
　
9．（2016 曲靖模拟）平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的起始位置如图1所示，边AB在x轴上，现将正六边形沿x轴正方向无滑动滚动，第一次滚动后，边BC落在x轴上（如图2）；第二次滚动后，边CD落在x轴上，如此继续下去．则第2016次滚动后，落在x轴上的是（　　）
A．边DE
B．边EF
C．边FA
D．边AB
【分析】由正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；易得第2016次滚动后，与第六次滚动后的结果一样，继而求得答案．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF一共有6条边，即6次一循环；
∴2016÷6=336，
∵第一次滚动后，边BC落在x轴上（如图2）；第二次滚动后，边CD落在x轴上，如此继续下去，第六次滚动后，边AB落在x轴上，
∴第2016次滚动后，落在x轴上的是：边AB．
故选D．
【点评】此题属于规律题，考查了正多边形与圆的知识．注意得到6次一循环，第2016次滚动后，与第六次滚动后的结果一样是关键．
　
10．（2016 聊城模拟）如图，在三个同样大小的正方形中，分别画1个内切圆，面积为S1；画4个半径相同，相邻两个相互外切且和正方形都内切的圆，面积为S4；同样的要求画9个圆，面积为S9，则S1，S4，S9的大小关系为（　　）
A．S1最大
B．S4最大
C．S9最大
D．一样大
【分析】先设出正方形的边长为a，得出三个图形中每个圆的半径：图甲中圆的半径为a，图乙中每个圆的半径为a，图丙中每个圆的半径为a，根据圆的面积公式：S=πr2代入计算求出S1，S4，S9的值，并进行比较．
【解答】解：设正方形的边长为a，则图甲中圆的半径为a，图乙中每个圆的半径为a，图丙中每个圆的半径为a，
∴S1=π×=πa2，
S4=4π×=πa2，
S9=9π×=πa2，
∴S1=S2=S3，
故选D．
【点评】本题考查了正方形和它的内切圆，熟练掌握圆的切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，所以正方形的内切圆直径等于正方形的边长，本题分三个步骤：①设边长，②求圆半径，③比较大小．
　
二．填空题（共4小题）
11．（2016 巴中）如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细）．则所得扇形AFB（阴影部分）的面积为　18　．
【分析】由正六边形的性质得出的长=12，由扇形的面积=弧长×半径，即可得出结果．
【解答】解：∵正六边形ABCDEF的边长为3，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA=3，
∴的长=3×6﹣3﹣3═12，
∴扇形AFB（阴影部分）的面积=×12×3=18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．
　
12．（2016 临清市二模）如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为　6﹣2　．
【分析】如图，连接OB，OF，根据题意得：△BFO是等边三角形，△CDE是等腰直角三角形，求得△ABC的高和底即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：如图，连接OB，OF，
根据题意得：△BFO是等边三角形，△CDE是等腰直角三角形，
∴BF=OB=2，
∴△BFO的高为；，CD=2（2﹣）=4﹣2，
∴BC=（2﹣4+2）=﹣1，
∴阴影部分的面积=4S△ABC=4×（） =6﹣2．
故答案为：6﹣2．
【点评】本题考查了正多边形和圆，三角形的面积，解题的关键是知道阴影部分的面积等于4个三角形的面积．
　
13．（2016 黄浦区三模）已知正六边形的边长为6，那么边心距等于　　．
【分析】已知正六边形的边长为6，欲求边心距，可通过边心距、边长的一半和内接圆半径构造直角三角形，通过解直角三角形求出边心距．
【解答】解：如图，在Rt△AOG中，OA=6，∠AOG=30°，
∴OG=OA cos
30°=6×=3．
【点评】此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题．解答时要注意以下问题：
①熟悉正六边形和正三角形的性质；
②作出半径和边心距，构造出直角三角形，利用解直角三角形的知识解答．
　
14．（2016 河南模拟）如图，平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A，B，C，D，E，F中，会过点（2015，2）的是点　D　．
【分析】先连接A′D，过点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，由正六边形的性质得出A′的坐标，再根据每6个单位长度正好等于正六边形滚动一周即可得出结论．
【解答】解：如图所示：
当滚动到A′D⊥x轴时，E、F、A的对应点分别是E′、F′、A′，
连接A′D，点F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A′F′G=30°，
∴A′G=A′F′=，同理可得HD=，
∴A′D=2，
∵D（2，0）
∴A′（2，2），OD=2，
∵正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，
∴从点（2，2）开始到点（2015，2）正好滚动2013个单位长度，
∵=335…3，
∴恰好滚动335周多3个，
∴会过点（2015，2）的是点D．
故答案为：D．
【点评】本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质；根据题意作出辅助线，利用正六边形的性质求出A′点的坐标是解答此题的关键．
　
三．解答题（共6小题）
15．（2016 柘城县校级一模）如图，将边长为2的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动．
（1）该正六边形的每一个内角的度数是　120°　，每一个外角的度数为　60°　；
（2）求它的对角线A1A5、A2A4、A1A3的长；
（3）直接写出点A1从图1滚动到图2的位置时，顶点A1所经过的路径长．
【分析】（1）利用正六边形的外角和等于360度，求出外角的度数即可解决问题．
（2）作A2M⊥A1A3于M，由正六边形和等腰三角形的性质A1M=A3M，∠1=30°，A2M=A1A2=1，由勾股定理得出A1M，即可得出结果；
（3）由（2）得出A6C=A1A6=1，A1C=，A1A5=A1A3=2，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，以2，2，4，2，2为半径，圆心角都为60°的五条弧，然后根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵正六边形的外角和为360度，
∴每个外角的度数为360°÷6=60°，
∵正六边形的每个外角与内角互补，
∴每个内角为180°﹣60°=120°．
故答案为：120°，60°；
（2）作A2M⊥A1A3于M，如图1所示：
根据正六边形的性质得：对角线A1A5=A2A4=A1A3，A1A2=A3A2，∠A1A2A3=120°，
∴A1M=A3M，∠1=30°，
∴A2M=A1A2=1，
由勾股定理得：A1M==，
∴A1A5=A2A4=A1A3=2；
（3）连A1A5，A1A4，A1A3，作A6C⊥A1A5，如图2所示，
由（2）得：A6C=A1
A6=1，A1C=，
∴A1A5=A1A3=2，
当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径分别是以A6，A5，A4，A3，A2为圆心，
以2，2，4，2，2为半径，圆心角都为60°的五条弧，
∴顶点A1所经过的路径的长=++++
==π，
【点评】本题考查了多边形内角和与外角和定理、弧长公式、正六边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．
　
16．（2016 江西模拟）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和是多少？
【分析】过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，由正六边形的性质可求出BD的长，而点P到AF与CD的距离之和，P到EF、BC的距离之和均为BD的长，据此得出结论．
【解答】解：过P作AB的垂线，分别交AB、DE于H、K，连接BD，作CG⊥BD于G
∵六边形ABCDEF是正六边形
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离之和，及P到EF、BC的距离之和均为HK的长，
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BD∥HK，且BD=HK，
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=2×2×=6，
∴点P到各边距离之和=3BD=3×6=18．
【点评】本题主要考查的是正多边形及锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，利用数形结合思想求解是解答此题的关键．
　
17．（2015 镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于　　．
【分析】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长
FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；
（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论．
【解答】（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求，
（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOD=3=135°，
∵OA=5，
∴的长=，
设这个圆锥底面圆的半径为R，
∴2πR=，
∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．
故答案为：．
【点评】本题考查了尺规作图，圆内接八边形的性质，弧长的计算，圆的周长公式的应用，会求八边形的内角的度数是解题的关键．
　
18．（2015秋 延庆县期末）已知圆内接正三角形的边心距为2cm，求它的边长．
【分析】如图，作辅助线；求出∠AOC=60°，借助直角三角形的边角关系求出AC的长，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OA、OB；
∵AB为⊙O的内接正三角形的一边，OC⊥AB于点C；
∴∠AOB==120°；
∵OA=OB，
∴∠AOC=∠AOB=60°，AC=BC；
∵tan60°=，而OC=2，
∴AC=2，AB=4（cm）．
【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
　
19．（2015秋 连云港期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在上．
（1）求∠AED的度数；
（2）若⊙O的半径为2，则的长为多少？
（3）连接OD，OE，当∠DOE=90°时，AE恰好是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．
【分析】（1）连接BD，根据圆的内接四边形的性质得出∠BAD的度数，由AB=AD，可证得△ABD是等边三角形，求得∠ABD=60°，再利用圆的内接四边形的性质，即可求得∠E的度数；
（2）连接OA，由圆周角定理求出∠AOD的度数，由弧长公式即可得出的长；
（3）首先连接OA，由∠ABD=60°，利用圆周角定理，即可求得∠AOD的度数，继而求得∠AOE的度数，即可得出结果．
【解答】解：（1）连接BD，如图1所示：
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ABD=180°，
∴∠AED=120°；
（2）∵∠AOD=2∠ABD=120°，
∴的长==；
（3）连接OA，如图2所示：
∵∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
∵∠DOE=90°，
∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°，
∴n==12．
【点评】此题考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理以及等边三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
　
20．（2014 江西模拟）如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．
（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；
（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．
【分析】（1）利用已知得出正八边形，它的内角都为135°，再利用正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，得出∠2+∠3=180°，进而得出答案；
（2）根据题意得出△PAH≌△QCB≌△MDE，则PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，故四边形PQMN是正方形，进而求出PQ的长即可得出答案．
【解答】解：（1）连接BF，则有BF∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH是正八边形，
∴它的内角都为135°．
又∵HA=HG，
∴∠1=22.5°，
从而∠2=135°﹣∠1=112.5°．
由于正八边形ABCDEFGH关于直线BF对称，
∴
即∠2+∠3=180°，故BF∥AG．
（2）根据题设可知∠PHA=∠PAH=45°，
∴∠P=90°，同理可得∠Q=∠M=90°，
∴四边形PQMN是矩形．
又∵∠PHA=∠PAH=∠QBC=∠QCB=∠MDE=∠MED=45°，AH=BC=DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE，
∴PA=QB=QC=MD．即PQ=QM，
故四边形PQMN是正方形．
在Rt△PAB中，∵∠PAH=45°，AB=2，
∴，
∴．
故．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆以及全等三角形的判定与性质等知识，得出PQ的长是解题关键．
　
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