福建省厦门市厦门一中2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省厦门市厦门一中2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 74.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-04 15:23:18 | ||
图片预览
文档简介
厦门一中2学年第一学期高二年数学第二次阶段性练习
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
考试结束后，考生只须将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列求导运算正确的是
A. B.
C. D.
2. 若数列为等差数列，且，，则
A. B.
C. D.
3. 圆与圆的公切线共有
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
4. 已知，满足，则直线过定点
A. B.
C. D.
5. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A. B.
C. D.
6. 数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 不充分也不必要条件
7. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值为
A.5 B.6 C.7 D.4
8. 已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为
A.1 B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点。若，，，则下列说法正确的是
A. B. ，
C. D.
10. 已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的是
A. 数列是等差数列
B. 数列是等比数列
C. 数列的通项公式为
D.
11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线与轴交于，两点，与轴交于，两点，点是上一个动点，则
A. 点和均在上
B. 点纵坐标的最大值为
C. 的最大值与最小值之和为3
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知双曲线的一条渐近线为，则的值为。
13. 已知直线与圆交于两个不同的点，，点在圆上运动，则的面积的最大值为______。
14.2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言描述为：将数字，，，，按顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为。例如时，操作可知，则______。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）设函数，曲线在点处的切线方程为。
（1）求，的值；
（2）求的单调区间。
16.（本小题满分15分）已知数列，满足，且。
（1）证明：数列与均为等比数列；
（2）求数列的前25项和。（其中表示不超过的最大整数，如）。
17.（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，
（1）证明：平面；
（2）求到直线的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值。
18.（本小题满分17分）已知等差数列的公差，它的部分项依次组成的数列，，，，，恰为等比数列，其中，，。
（1）求等比数列，，，，，的公比；
（2）求数列的前项和；
（3）若，，，，，有，，，，，，求证：对任意实数，均有。
19.（本小题满分17分）已知曲线，，两曲线的离心率均为，其中，，分别是的左、右顶点。
（1）分别求，的方程。
（2）已知是上一点，，分别交直线和于，两点，以为直径的圆记为圆。
（i） 判断圆是否过定点。若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由。
（ii） 是上一点，当圆的面积最小时，过点作圆的两条切线，切点为，，求面积的取值范围。
参考答案
一、单选题
1. 答案：D
解析：
A选项：常数的导数为0，故 错误。
B选项： ，而非 。
C选项： ，仅当底数为变量时需用指数函数求导法则。
D选项：正确， 是基本导数公式。
2. 答案：C
解析：
由等差数列性质，公差 。
- 。
- 。
3. 答案：A
解析：
圆 ：圆心 ，半径 ；圆 ：圆心 ，半径 。
圆心距 。
因 且 ，两圆相交，有 4条 公切线。
4. 答案：A
解析：
由 ，直线方程可改写为 。
整理得 ，即 。
令系数为零，解得 ， ，故定点为 。
5. 答案：B
解析：
设椭圆半长轴为 ，焦距为 。
由 ，设 ，则 ，勾股定理得 。
由椭圆定义 ，故离心率 。
6. 答案：C
解析：
递增数列要求 对所有 成立，而题目条件为 （如 满足条件但不递增）。
故为 必要不充分条件。
7. 答案：D
解析：
抛物线 （由 推导得 ）。
焦点 ，设 ，则 。
最小化 即求 到 和 的距离和，利用几何对称性得最小值为 （当 在 连线上时）。
8. 答案：D
解析：
设正四面体棱长为 ，外接球半径 。
平面 过 和 （ ），分割体积比 的最大值为 （通过几何对称性分析）。
二、多项选择题
9. 答案：ABD
解析：
A选项： （向量分解正确）。
B选项：夹角计算得 （验证点积与模长）。
D选项： （直接计算点积）。
C选项错误， 。
10. 答案：BCD
解析：
由递推式 得 ，解得 。
- 是等比数列（B正确）。
- （裂项相消后求和）。
11. 答案：ACD
解析：
A选项：代入验证点 和 满足方程。
B选项： （极值分析）。
C选项： （几何对称性）。
D选项： （利用椭圆性质）。
三、填空题
12. 答案：1
解析：双曲线渐近线 ，由题意 ，故 。
13. 答案：
解析：
圆心到直线距离 ，弦长 。
面积最大时 为切线点，高为 ，故 。
14. 答案：25
解析：约瑟夫问题递推公式 ， 。计算得 。
四、解答题
15. 答案与解析：
（1）由切线条件 和 ，解得 ， 。
（2）求导 ，单调增区间 ，其余区间递减。
16. 答案与解析：
（1）递推式相加/减得 公比 ， 公比 。
（2）通项 ，项和 （奇数项取整）。
17. 答案与解析：
（1）利用面面垂直和线线垂直证明 平面 。
（2）距离公式计算得 到 的距离为 。
（3）二面角余弦值通过向量法求得 。
18. 答案与解析：
（1）等比数列公比 （由 成等比推导）。
（2）数列 和 。
（3）数学归纳法证明 。
19. 答案与解析：
（1）由离心率得 ， 。
（2）（i）圆 过定点 ；（ii）面积最小时 面积范围为 。
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
考试结束后，考生只须将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列求导运算正确的是
A. B.
C. D.
2. 若数列为等差数列，且，，则
A. B.
C. D.
3. 圆与圆的公切线共有
A.4条 B.3条 C.2条 D.1条
4. 已知，满足，则直线过定点
A. B.
C. D.
5. 已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A. B.
C. D.
6. 数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 不充分也不必要条件
7. 过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值为
A.5 B.6 C.7 D.4
8. 已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为
A.1 B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点。若，，，则下列说法正确的是
A. B. ，
C. D.
10. 已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的是
A. 数列是等差数列
B. 数列是等比数列
C. 数列的通项公式为
D.
11. 数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线与轴交于，两点，与轴交于，两点，点是上一个动点，则
A. 点和均在上
B. 点纵坐标的最大值为
C. 的最大值与最小值之和为3
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知双曲线的一条渐近线为，则的值为。
13. 已知直线与圆交于两个不同的点，，点在圆上运动，则的面积的最大值为______。
14.2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言描述为：将数字，，，，按顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为。例如时，操作可知，则______。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）设函数，曲线在点处的切线方程为。
（1）求，的值；
（2）求的单调区间。
16.（本小题满分15分）已知数列，满足，且。
（1）证明：数列与均为等比数列；
（2）求数列的前25项和。（其中表示不超过的最大整数，如）。
17.（本小题满分15分）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，
（1）证明：平面；
（2）求到直线的距离；
（3）求平面与平面夹角的余弦值。
18.（本小题满分17分）已知等差数列的公差，它的部分项依次组成的数列，，，，，恰为等比数列，其中，，。
（1）求等比数列，，，，，的公比；
（2）求数列的前项和；
（3）若，，，，，有，，，，，，求证：对任意实数，均有。
19.（本小题满分17分）已知曲线，，两曲线的离心率均为，其中，，分别是的左、右顶点。
（1）分别求，的方程。
（2）已知是上一点，，分别交直线和于，两点，以为直径的圆记为圆。
（i） 判断圆是否过定点。若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由。
（ii） 是上一点，当圆的面积最小时，过点作圆的两条切线，切点为，，求面积的取值范围。
参考答案
一、单选题
1. 答案：D
解析：
A选项：常数的导数为0，故 错误。
B选项： ，而非 。
C选项： ，仅当底数为变量时需用指数函数求导法则。
D选项：正确， 是基本导数公式。
2. 答案：C
解析：
由等差数列性质，公差 。
- 。
- 。
3. 答案：A
解析：
圆 ：圆心 ，半径 ；圆 ：圆心 ，半径 。
圆心距 。
因 且 ，两圆相交，有 4条 公切线。
4. 答案：A
解析：
由 ，直线方程可改写为 。
整理得 ，即 。
令系数为零，解得 ， ，故定点为 。
5. 答案：B
解析：
设椭圆半长轴为 ，焦距为 。
由 ，设 ，则 ，勾股定理得 。
由椭圆定义 ，故离心率 。
6. 答案：C
解析：
递增数列要求 对所有 成立，而题目条件为 （如 满足条件但不递增）。
故为 必要不充分条件。
7. 答案：D
解析：
抛物线 （由 推导得 ）。
焦点 ，设 ，则 。
最小化 即求 到 和 的距离和，利用几何对称性得最小值为 （当 在 连线上时）。
8. 答案：D
解析：
设正四面体棱长为 ，外接球半径 。
平面 过 和 （ ），分割体积比 的最大值为 （通过几何对称性分析）。
二、多项选择题
9. 答案：ABD
解析：
A选项： （向量分解正确）。
B选项：夹角计算得 （验证点积与模长）。
D选项： （直接计算点积）。
C选项错误， 。
10. 答案：BCD
解析：
由递推式 得 ，解得 。
- 是等比数列（B正确）。
- （裂项相消后求和）。
11. 答案：ACD
解析：
A选项：代入验证点 和 满足方程。
B选项： （极值分析）。
C选项： （几何对称性）。
D选项： （利用椭圆性质）。
三、填空题
12. 答案：1
解析：双曲线渐近线 ，由题意 ，故 。
13. 答案：
解析：
圆心到直线距离 ，弦长 。
面积最大时 为切线点，高为 ，故 。
14. 答案：25
解析：约瑟夫问题递推公式 ， 。计算得 。
四、解答题
15. 答案与解析：
（1）由切线条件 和 ，解得 ， 。
（2）求导 ，单调增区间 ，其余区间递减。
16. 答案与解析：
（1）递推式相加/减得 公比 ， 公比 。
（2）通项 ，项和 （奇数项取整）。
17. 答案与解析：
（1）利用面面垂直和线线垂直证明 平面 。
（2）距离公式计算得 到 的距离为 。
（3）二面角余弦值通过向量法求得 。
18. 答案与解析：
（1）等比数列公比 （由 成等比推导）。
（2）数列 和 。
（3）数学归纳法证明 。
19. 答案与解析：
（1）由离心率得 ， 。
（2）（i）圆 过定点 ；（ii）面积最小时 面积范围为 。
同课章节目录