河南省实验中学2025-2026学年上学期12月月考高一数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省实验中学2025-2026学年上学期12月月考高一数学试卷（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 63.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-04 15:24:38 | ||
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文档简介
河南省实验中学2025—2026学年上期第二次月考
高一数学
（时间：120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）
1. 已知，，点在函数的图象上，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
2. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数的图象大致为（ ）
5. “幂函数在上是减函数”是“”的一个（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充要条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 设，则关于方程的根与方程的根的叙述正确的是（ ）
A. 有两个相同的根 B. 有三个相同的根 C. 有四个相同的根 D. 所有根全部相同
7. 已知函数，，曲线和恰有一个交点，则（ ）
A.1 B..
D.0
8. 已知函数，若函数有四个不同零点从小到大依次为，，，且不等式恒成立，则实数的最小值（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若终边上一点的坐标为，则
B. 若角为锐角，则是第一象限角
C. 若，且，则
D. 若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为
10. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的表达式可改写为
D. 若，其中，则的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数（且）的图象经过定点，且点在角的终边上，则______.
13. 已知，是关于的方程的两根，则。
14. 定义在上的奇函数满足：任意，，且，，若，则不等式的解集为。
四、解答题（本题共5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.（13分）已知（，且）。
（1）用定义判断的奇偶性；
（2）若在区间内的最大值为2，求。
16.（15分）已知函数。
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在上的值域；
（3）求在上的解集。
17.（15分）两社区和相距，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关。口袋公园对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为；对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为对社区和社区的噪音影响度之和。记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度为。统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为。
（1）将表示成的函数；
（2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小？若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由.
18.（17分）设函数。
（1）已知是偶函数，求整数的值；
（2）若，使得成立，求实数的取值范围；
（3）设函数，若方程在有唯一实数解，求实数的取值范围.
19.（17分）对于定义域为的函数，，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当定义域是时，的值域也是。则称是该函数的“保值区间”。
（1）求证：是函数的一个“保值区间”；
（2）求证：函数不存在“保值区间”；
（3）已知函数有“保值区间”，当取得最大值时，求的值
《河南省实验中学学年上期第二次月考》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C B A B C C BC BCD
题号 11
答案 BC
12. 13. 14.
15.（1）由函数，则，解得，故函数的定义域为，关于原点对称. 由，所以函数为偶函数.
（2）由函数，且函数在上单调递减，则当时，函数在上单调递增，故在上的最大值为，
由题意可得，解得，符合题意；
当时，函数在上单调递减，故在上的最大值为，
由题意可得，解得，不符合题意.
综上所述，.
16.（1）由，
解得，.
所以函数的单调递增区间为，.
（2）令，，则.
因为在上单调递增，在上单调递减，
且，，
所以，即，
所以函数在上的值域为；
（3）令，，则。
由，即，
解得或，
即或，
解得或。
所以在上的解集为。
17.（1）
（2）存在，当该点到社区的距离时，袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小。
【详解】（1）由为直径可得，所以
由题意可知，
又当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为，
即时，，代入得，
所以，
即关于的函数为
（2）口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小，即的取值最小，
由（1）知
令，则可得
，当且仅当时，等号成立；
且，所以，
即，此时，即，解得。
因此，半圆弧上存在一点，且该点到社区的距离满足时，建在此处的口袋公园对
社区和社区的总噪音影响度最小。
18.（1） （2） （3）。
【详解】（1）因为函数是偶函数，
整理得对恒成立
故，故。
（2）存在，使得成立，
即，
则在上能成立，
即，
设，则，，
则的对称轴方程为直线，
在单调递减，故，即。
（3）由题意得，
设，又函数在上单调递增，则，
若方程在有唯一实数解，即
在上有唯一实数解，
即有唯一实数解
在上连续且单调递减，在上连续且单调递增，
又时，；时，，
所以的取值范围为．
19.（1）函数在上单调递增，又，，
因此函数在上的值域为，
所以是函数的一个“保值区间”．
（2）假设存在保值区间，函数中则或
，
则函数在上单调递增，
若是的“保值区间”，则，
即，是方程的两个不等的同号实根，
方程，而方程无解，
所以函数不存在“保值区间”．
（3）函数中，则或；
函数在上单调递增，
而是函数的“保值区间”，所以．
则，是方程的两个不等的同号实根，
方程，
所以解得或又，
所以，
当且仅当时取等号，所以当取得最大值时．
高一数学
（时间：120分钟
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）
1. 已知，，点在函数的图象上，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
2. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知函数的图象大致为（ ）
5. “幂函数在上是减函数”是“”的一个（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充要条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 设，则关于方程的根与方程的根的叙述正确的是（ ）
A. 有两个相同的根 B. 有三个相同的根 C. 有四个相同的根 D. 所有根全部相同
7. 已知函数，，曲线和恰有一个交点，则（ ）
A.1 B..
D.0
8. 已知函数，若函数有四个不同零点从小到大依次为，，，且不等式恒成立，则实数的最小值（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若终边上一点的坐标为，则
B. 若角为锐角，则是第一象限角
C. 若，且，则
D. 若圆心角为的扇形的弧长为2，则该扇形的面积为
10. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的表达式可改写为
D. 若，其中，则的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知函数（且）的图象经过定点，且点在角的终边上，则______.
13. 已知，是关于的方程的两根，则。
14. 定义在上的奇函数满足：任意，，且，，若，则不等式的解集为。
四、解答题（本题共5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15.（13分）已知（，且）。
（1）用定义判断的奇偶性；
（2）若在区间内的最大值为2，求。
16.（15分）已知函数。
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在上的值域；
（3）求在上的解集。
17.（15分）两社区和相距，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关。口袋公园对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为；对社区的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为对社区和社区的噪音影响度之和。记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度为。统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为。
（1）将表示成的函数；
（2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小？若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由.
18.（17分）设函数。
（1）已知是偶函数，求整数的值；
（2）若，使得成立，求实数的取值范围；
（3）设函数，若方程在有唯一实数解，求实数的取值范围.
19.（17分）对于定义域为的函数，，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当定义域是时，的值域也是。则称是该函数的“保值区间”。
（1）求证：是函数的一个“保值区间”；
（2）求证：函数不存在“保值区间”；
（3）已知函数有“保值区间”，当取得最大值时，求的值
《河南省实验中学学年上期第二次月考》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C B A B C C BC BCD
题号 11
答案 BC
12. 13. 14.
15.（1）由函数，则，解得，故函数的定义域为，关于原点对称. 由，所以函数为偶函数.
（2）由函数，且函数在上单调递减，则当时，函数在上单调递增，故在上的最大值为，
由题意可得，解得，符合题意；
当时，函数在上单调递减，故在上的最大值为，
由题意可得，解得，不符合题意.
综上所述，.
16.（1）由，
解得，.
所以函数的单调递增区间为，.
（2）令，，则.
因为在上单调递增，在上单调递减，
且，，
所以，即，
所以函数在上的值域为；
（3）令，，则。
由，即，
解得或，
即或，
解得或。
所以在上的解集为。
17.（1）
（2）存在，当该点到社区的距离时，袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小。
【详解】（1）由为直径可得，所以
由题意可知，
又当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为，
即时，，代入得，
所以，
即关于的函数为
（2）口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小，即的取值最小，
由（1）知
令，则可得
，当且仅当时，等号成立；
且，所以，
即，此时，即，解得。
因此，半圆弧上存在一点，且该点到社区的距离满足时，建在此处的口袋公园对
社区和社区的总噪音影响度最小。
18.（1） （2） （3）。
【详解】（1）因为函数是偶函数，
整理得对恒成立
故，故。
（2）存在，使得成立，
即，
则在上能成立，
即，
设，则，，
则的对称轴方程为直线，
在单调递减，故，即。
（3）由题意得，
设，又函数在上单调递增，则，
若方程在有唯一实数解，即
在上有唯一实数解，
即有唯一实数解
在上连续且单调递减，在上连续且单调递增，
又时，；时，，
所以的取值范围为．
19.（1）函数在上单调递增，又，，
因此函数在上的值域为，
所以是函数的一个“保值区间”．
（2）假设存在保值区间，函数中则或
，
则函数在上单调递增，
若是的“保值区间”，则，
即，是方程的两个不等的同号实根，
方程，而方程无解，
所以函数不存在“保值区间”．
（3）函数中，则或；
函数在上单调递增，
而是函数的“保值区间”，所以．
则，是方程的两个不等的同号实根，
方程，
所以解得或又，
所以，
当且仅当时取等号，所以当取得最大值时．
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