山东省日照市北京路中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试卷（含答案）

初三数学过程性诊断评价
考试时间120分钟 满分120分
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1. 如图是4000多年前龙山文化中的蛋壳黑陶高柄杯. 它的器壁非常薄，口沿最薄处在0.2—0.5毫米之间. “黑如漆、明如镜、薄如纸、声如磬”这12个字点透了它的精髓所在. 以下关于该蛋壳黑陶高柄杯的说法正确的是（ ）
A. 主视图与俯视图相同 B. 主视图与左视图相同
C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同
2. 已知，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，二次函数与反比例函数的图象大致是（ ）
4. 关于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 点在它的图象上
B. 它的图象在第二、四象限
C. 当时，随的增大而增大
D. 当时，
5. 如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为，压力表示数与的函数图象如图2所示，（单位：）与检测物的质量（单位：）的函数关系式为。则下列说法不正确的是（ ）
A. 当时，的阻值为
B. 在一定范围内，随的增大而减小
C. 当托盘上货物的质量为时，
D. 因为压力表量程为，所以该模型可测量检测物的最大质量是
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11. 在平面直角坐标系中，已知，，以原点为位似中心，按位似比把缩小，则点对应点的坐标为__________
12. 如图，有一幅不完整的正多边形图案，小明量得图中一边与对角线的夹角，那么这个正多边形的中心角的正切值是______
13. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于，，作射线交于点，则长为__________。
14. 如图，在边长为10的菱形 中，对角线 ， 相交与点 ，点 在 延长线上， 与 相交与点 ．若 ，，则菱形 的面积为．
15. 如图，在平面直角坐标系中， 原点，，点 为平面内一动点，，连接 ，点 是线段 上的一点，且满足 ．则线段 的最大值为．
16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 在 轴正半轴上，顶点 在 轴负半轴上，边 上有一点 在反比例函数 的图象上，连结 并延长交 轴于点 ，连接 ．若 的面积是8，则 的值为．
三、解答题：本题共7小题，共72分．
17.（8分）计算：（1） ；
（2）
18.（8分）在 中， 平分 ，按以下步骤进行尺规作图
①以 为圆心，任意长为半径画弧，交 于点 ，交 于点 ；
②以点 为圆心，以 长为半径画弧交 于点 ；
③以点 为圆心，以 长为半径画弧交前弧于点 ；
④作射线CQ交AB于点D．
请根据上述尺规作图过程，
（1）证明：；
（2）已知，，求的值．
19.（10分）设函数，函数（，，b是常数，，）．
（1）若函数和函数的图象交于点，点，
①求函数，的表达式；
②当时，比较与的大小（直接写出结果）．
（2）若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，
点D恰好落在函数的图象上，求n的值．
20.（10分）臂架泵车（如图1）是一种用于建筑工程中混凝土输送和浇筑的特种工程车辆，集
混凝土泵送、臂架伸展和移动功能于一体，广泛应用于高层建筑、桥梁、隧道等施工场景．图
2是其输送原理平面图，进料口A到建筑楼的水平距离为24米，到地面的垂直距离为2米，AB，
BC，CD，DE为输送臂，可绕A，B，C，D旋转，已知输送臂AB垂直地面且米，
米，米，，．
（1）的长约为________；（直接写出答案）
（2）求出料口到地面的距离．（参考数据：，，，）
21.（10分）如图，AB是的直径，点C，E在上，，点F在线段AB的延
长线上，且.
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若，，求BC的长．
22．（13分）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角
拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点
和，用以下方式定义两点间距离：．
【数学理解】
（1）已知点，则__________；
（2）函数的图象如图①所示，B是图象上一点，，则点B的坐标
是____________；
（3）函数的图象如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点C，使；
（4）函数的图象如图③所示，D是图象上一点，求的最小值及对
应的点D的坐标；
【问题解决】
（5）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，
再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短（要求：建立适当的平面直角
坐标系，画出示意图并简要说明理由）？
23．（13分）已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．
【问题发现】（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且于G，则______ ；
如图2，当四边形是矩形时，且于，，，则；
【拓展研究】（2）老师上课时提出这样的问题：如图2，若四边形是平行四边形，且时，求证：；
小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：。
发现与显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？
老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？
同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程；
【解决问题】（3）如图3，若，，，于，请直接写出的值。
参考答案
一、选择题
1. 答案：B
解析：
蛋壳黑陶高柄杯为轴对称图形，主视图与左视图相同（均显示对称的轮廓），俯视图为圆形，与其他视图不同。
关键点：轴对称几何体的三视图特性。
2. 答案：A
解析：
由 ，设 ， ，则 。
技巧：赋值法简化比例计算。
3. 答案：D
解析：
若 ，二次函数 开口向上，与 轴交于负半轴；反比例函数 在一、三象限。
若 ，二次函数开口向下，与 轴交于正半轴；反比例函数在二、四象限。
　 验证：选项 D 符合 时的情形。
4. 答案：D
解析：
A：代入 ， ，正确。
B： ，图象在二、四象限。
C： ， 时 随 增大而增大。
D：当 ， ， 时 。
　 易错点：反比例函数增减性需分象限讨论。
5. 答案：A
解析：
B： （SAS相似条件）。
C： （AA相似）。
D： （AA相似）。
A：比例式 无法直接推出相似。
　 结论：A 是错误选项。
10. 答案：D
解析：
A：由图 2， 时 。
B：图象显示 随 增大而减小。
C： 时， ，对应 。
D：当 ， ，此时 ，但 定义域为 ，故最大质量可测。
二、填空题
11. 答案： 或
解析：位似比为 ，点 对应 坐标为 或其相反数。
12. 答案：
解析：正多边形中心角 ，正切值为 。
13. 答案：
解析：由尺规作图得 平分 ，利用角平分线定理及余弦定义求解。
14. 答案：
解析：设 ，则 ，通过相似三角形和比例关系解得菱形面积。
15. 答案：
解析：点 轨迹为阿氏圆，利用 及比例关系求最大值。
16. 答案：
解析：设 坐标为 ，通过相似三角形和面积关系解得 。
三、解答题
17. 答案：
（1） 。
（2） 。
关键步骤：逐项化简，注意绝对值、零指数幂和三角函数值。
18. 解析：
（1）由尺规作图得 ，从而 ，推出 。
（2）利用角平分线定理： 。
19. 解析：
（1）① 由点 、 解得 ， 。
② 当 ， 。
（2）平移后点 在 上，代入得 。
20. 解析：
（1） 米。
（2）利用三角函数逐段计算：料口高度 米。
21. 解析：
（1）连接 ，证明 。
（2）由 ，设 ， ，利用勾股定理求 。
22. 解析：
（1） 。
（2）设 ，由 得 。
（3）反证法：假设存在 使 ，无实数解。
（4）最小距离 ，点 。
（5）建立坐标系，利用曼哈顿距离性质设计最短路径。
23. 解析：
（1）① 正方形中 ；② 矩形中 。
（2）构造相似三角形：过 作 ，证明 。
（3）由菱形性质及勾股定理得 。