2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区公益中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区公益中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）剪纸是中国的民间艺术，剪纸方法很多，一种剪纸方法如图所示．
下面的四个图案，不能用上述方法剪出的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）已知命题：“三角形三边中垂线的交点一定不在三角形的外部．”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
3．（3分）在平面直角坐标系中，若点（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣3，y3）都在直线y＝﹣2x+b上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y2＞y3＞y1
4．（3分）已知△ABC，下列尺规作图的方法中，能确定∠BAD＝∠ABC的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）已知某山区的气温与海拔高度之间满足一次函数关系，某气象站测得该山区气温随海拔高度变化的部分数据如下表，根据表格中的数据，下列说法错误的是（　　）
海拔高度（x）/km 0 1 2 3 4 …
气温（y）/℃ 17 11 5 ﹣1 ﹣7 …
A．海拔每上升1km，气温下降6℃
B．y与x之间的函数关系式为y＝﹣6x+17
C．随着x的增大，y在不断地减小
D．当气温为﹣19℃时，海拔高度是7km
6．（3分）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，EF＝8，BC＝20，△EFM的周长是（　　）
A．26 B．28 C．30 D．32
7．（3分）已知关于x的不等式3x﹣m＜1的最大整数解为3，则m的取值范围是（　　）
A．8≤m＜11 B．8＜m＜11 C．8≤m≤11 D．8＜m≤11
8．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则一次函数y＝bx﹣k的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚．如图，某餐厅的机器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小华出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．若小米行进的时间为x（单位：S），小米和小华行进的路程y．y2（单位：cm）与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．小米的速度为10cm/s
B．小华提速后的速度为28cm/s
C．小米比小华先出发14s
D．小华比小米提前15s到达客人位置
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD，BE相交于点F，若AF＝4，，则AC＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题（本大题共有6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，1）与点B关于y轴对称，则点B的坐标是 　 　 ．
12．（3分）某村要修建一条水渠，如图，水渠从A村沿北偏东55°方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村，然后从C村到E村．若CE与AB方向一致，则∠ECB＝ 　 　 ．
13．（3分）等腰三角形有一内角为80°，则这个等腰三角形底角的度数为 　 　 ．
14．（3分）学校某社团为了勤工俭学，每天固定购入100份某品牌报纸，每份进价0.8元，然后以每份1.5元的价格出售．如果报纸卖不完可退回报社，退回的报纸只按进价的60%退款给该社团．某一天该社团卖出的报纸为x份，所获得的利润为y元，则y与x的关系式为　 　 ．
15．（3分）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千OA静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步（即CD的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索OA的长度为 　 　 尺．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（5，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等腰直角△APQ，∠PAQ＝90°，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为 　 　 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17．（8分）解一元一次不等式（组）：
（1）3x﹣5＜2（2+3x）；
（2）解不等式组．
18．（8分）风筝起源于东周春秋时期，距今已有两千多年的历史．2006年5月20日，风筝制作技艺列入国家第一批非物质文化遗产名录．图1是制作风筝的简易结构图，图2是风筝的骨架示意图．在制作骨架的过程中，要保证OA＝OB，AB⊥CD，请证明△ADC≌△BDC．
19．（8分）如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．
（1）若△ABP≌△ABC，△ABP的顶点P在第四象限内，且不与C重合，请画出△ABP的图形，并求出点P的坐标是　 　 ．
（2）求△ABC边AC上高的长．
20．（8分）已知y关于x的一次函数y＝kx﹣3k+1的图象为直线l．
（1）若函数图象过坐标原点，求k的值．
（2）证明：无论k为何值，直线l总经过点（3，1）．
（3）当m≤x≤m+3时，函数最大值与最小值的差为6，求l的解析式．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E，F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）若CD＝4，DB＝5，求AF的长．
22．（10分）宁陵酥梨产自河南省宁陵，最大可达1千克以上．成熟后的酥梨酥脆多汁、香甜味美、金黄发亮，是畅销海内外的佳品珍果．某水果商购进酥梨产品进行销售，酥梨鲜果以5元/千克的成本价购进，并以8元/千克的价格出售．梨膏以30元/千克的成本价购进，并以35元/千克的价格出售．请结合题意回答下列问题：
（1）该商店购进酥梨鲜果和梨膏共200千克，花费4000元，则购进酥梨鲜果和梨膏各多少千克？
（2）该水果商店两天售完所有酥梨鲜果和梨膏后，决定再购进共300千克的酥梨鲜果和梨膏（所购进梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的2倍），则当该水果商店购进多少千克酥梨鲜果时，才能使利润w最大？最大利润是多少？
23．（10分）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点C的坐标是（3，0）．
（1）求直线BC的函数表达式．
（2）若直线AB上有一点P，且S△PBC＝2S△ABC，求点P的坐标．
24．（12分）【探索发现】
（1）如图1，在△ABC中，D为线段BC的中点，延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．证明：△ABD≌△ECD．
【初步应用】
（2）如图2，AD是△ABC边BC上的中线，E是AC上一点，BE交AD于F，若EF＝EA，BF＝8，CE＝5，求EF的长度．
【拓展提升】
（3）如图3，在△ABC中，D是BC的中点，∠A＝45°，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，若BE＝2，EF＝4，求CF的长．
2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区公益中学八年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B D B D C A D
二、填空题（本大题共有6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点A（3，1）与点B关于y轴对称，则点B的坐标是 　（﹣3，1）　 ．
12．（3分）某村要修建一条水渠，如图，水渠从A村沿北偏东55°方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村，然后从C村到E村．若CE与AB方向一致，则∠ECB＝ 　95°　 ．
13．（3分）等腰三角形有一内角为80°，则这个等腰三角形底角的度数为 　50° 或 80°　 ．
14．（3分）学校某社团为了勤工俭学，每天固定购入100份某品牌报纸，每份进价0.8元，然后以每份1.5元的价格出售．如果报纸卖不完可退回报社，退回的报纸只按进价的60%退款给该社团．某一天该社团卖出的报纸为x份，所获得的利润为y元，则y与x的关系式为y＝1.02x﹣32　 ．
15．（3分）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文为：如图，秋千OA静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步（即CD的长为10尺），秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索OA的长度为 　14.5　 尺．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（5，0），点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在PA的右上方作等腰直角△APQ，∠PAQ＝90°，连接QB，在点P运动的过程中，线段QB长度的最小值为 　1　 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17．（8分）解一元一次不等式（组）：
（1）3x﹣5＜2（2+3x）；
（2）解不等式组．
【解答】解：（1）原不等式去括号可得：
3x﹣5＜4+6x，
3x﹣6x＜4+5，
﹣3x＜9，
解得x＞﹣3，
∴原不等式的解集为x＞﹣3；
（2），
由①得x≤1；
由②得x＞﹣2，
∴原不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
18．（8分）风筝起源于东周春秋时期，距今已有两千多年的历史．2006年5月20日，风筝制作技艺列入国家第一批非物质文化遗产名录．图1是制作风筝的简易结构图，图2是风筝的骨架示意图．在制作骨架的过程中，要保证OA＝OB，AB⊥CD，请证明△ADC≌△BDC．
【解答】证明：∵OA＝OB，AB⊥CD，
∴CD垂直平分AB，
∴AC＝BC，DA＝DB，
在△ADC和△BDC中，
，
∴△ADC≌△BDC（SSS）．
19．（8分）如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A（3，3），B（﹣3，﹣3），C（1，﹣3）．
（1）若△ABP≌△ABC，△ABP的顶点P在第四象限内，且不与C重合，请画出△ABP的图形，并求出点P的坐标是　（3，﹣1）　 ．
（2）求△ABC边AC上高的长．
【解答】解：（1）如图，△ABP即为所求，点P的坐标是（3，﹣1）；
故答案为：（3，﹣1）；
（2），
设AC边上的高为h，则，
解得，
∴△ABC边AC上的高为．
20．（8分）已知y关于x的一次函数y＝kx﹣3k+1的图象为直线l．
（1）若函数图象过坐标原点，求k的值．
（2）证明：无论k为何值，直线l总经过点（3，1）．
（3）当m≤x≤m+3时，函数最大值与最小值的差为6，求l的解析式．
【解答】（1）解：由条件可知﹣3k+1＝0，
解得；
（2）证明：∵y＝kx﹣3k+1＝（x﹣3）k+1，
∴当x＝3时，y＝1，
∴无论k为何值，直线l总经过点（3，1）；
（3）解：y＝kx﹣3k+1，
当k＞0时，y随x增大而增大，
则当m≤x≤m+3时，x＝m，y＝km﹣3k+1为最小值，
x＝m+3，y＝k（m+3）﹣3k+1＝km+1为最大值，
由条件可知（km+1）﹣（km﹣3k+1）＝3k＝6，
解得：k＝2，
此时，l的解析式为y＝2x﹣5；
当k＜0时，y随x增大而减小，
则当m≤x≤m+3时，x＝m，y＝km﹣3k+1为最大值，
x＝m+3，y＝k（m+3）﹣3k+1＝km+1为最小值，
由条件可知（km﹣3k+1）﹣（km+1）＝﹣3k＝6，
解得：k＝﹣2，
此时，l的解析式为y＝﹣2x+7；
综上，l的解析式为y＝2x﹣5或y＝﹣2x+7．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E，F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）若CD＝4，DB＝5，求AF的长．
【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，△CDF和△EDB是直角三角形，
在Rt△CDF和Rt△EDB中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），
∴CF＝EB；
（2）解：由（1）可知DE＝DC＝4，
∴，
∴BC＝CD+BD＝9，
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE．
设AF为x，则AB＝AE+BE＝x+3+3．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，即（x+3）2+81＝（x+3+3）2，
解得：x＝9，
∴AF＝9．
22．（10分）宁陵酥梨产自河南省宁陵，最大可达1千克以上．成熟后的酥梨酥脆多汁、香甜味美、金黄发亮，是畅销海内外的佳品珍果．某水果商购进酥梨产品进行销售，酥梨鲜果以5元/千克的成本价购进，并以8元/千克的价格出售．梨膏以30元/千克的成本价购进，并以35元/千克的价格出售．请结合题意回答下列问题：
（1）该商店购进酥梨鲜果和梨膏共200千克，花费4000元，则购进酥梨鲜果和梨膏各多少千克？
（2）该水果商店两天售完所有酥梨鲜果和梨膏后，决定再购进共300千克的酥梨鲜果和梨膏（所购进梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的2倍），则当该水果商店购进多少千克酥梨鲜果时，才能使利润w最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设购进酥梨鲜果x千克，梨膏y千克，
根据题意得：，
解得：．
答：购进酥梨鲜果80千克，梨膏120千克；
（2）设购进m千克酥梨鲜果，则购进梨膏（300﹣m）千克，全部售出后获得的利润为w元，
根据题意得：w＝（8﹣5）m+（35﹣30）（300﹣m），
即w＝﹣2m+1500，
∵购进梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的2倍，
∴300﹣m≤2m，
解得：m≥100，
∵﹣2＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝100时，w取得最大值，最大值为﹣2×100+1500＝1300（元）．
答：当该水果商店购进100千克酥梨鲜果时，利润w最大，最大利润是1300元．
23．（10分）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数y＝2x﹣1的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，点C的坐标是（3，0）．
（1）求直线BC的函数表达式．
（2）若直线AB上有一点P，且S△PBC＝2S△ABC，求点P的坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣1，
∴B（0，﹣1），
又C（3，0），
设直线BC的函数表达式为：y＝kx﹣1，
由条件可得3k﹣1＝0，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为：；
（2）当y＝0时，2x﹣1＝0，
∴，
∴，
设AB上有一点P（x，2x﹣1），使得S△PBC＝2S△ABC，
如图，
∴①S△PAC＝3S△ABC，得，
∴，
解得yP＝﹣3，则点P（﹣1，﹣3）；
②，得，
解得，则点P1（1，1）；
综上所述，点P（﹣1，﹣3）或P（1，1）．
24．（12分）【探索发现】
（1）如图1，在△ABC中，D为线段BC的中点，延长AD到点E，使AD＝DE，连接CE．证明：△ABD≌△ECD．
【初步应用】
（2）如图2，AD是△ABC边BC上的中线，E是AC上一点，BE交AD于F，若EF＝EA，BF＝8，CE＝5，求EF的长度．
【拓展提升】
（3）如图3，在△ABC中，D是BC的中点，∠A＝45°，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，若BE＝2，EF＝4，求CF的长．
【解答】（1）证明：∵D为线段BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS）；
（2）解：延长AD到G，使DG＝AD，连接BG，
∵AD是△ABC的中线
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，
，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴BG＝AC＝CE+AE＝5+AE，∠DAC＝∠G，
∵EF＝AE，
∴∠DAC＝∠AFE，
∴∠G＝∠AFE＝∠BFG，
∴BG＝BF＝8，
∴BG＝5+AE＝8，
∴AF＝3，
∴EF＝3；
（3）解：延长FD至点G，使得DG＝DF，连接BG，EG，作EH⊥BG于H，
在△CDF和△BDG中，
，
∴△CDF≌△BDG（SAS），
∴BG＝CF，∠C＝∠DBG，
∴GH∥AC，
∵∠A＝45°，
∴∠HBE＝∠A＝45°，
∵BE＝2，
∴EH＝BH，
∵DE⊥FG，DF＝DG，
∴EF＝EG＝4，
∵EH2+HG2＝EG2，
∴HG，
∴BG＝HG﹣BH，
∴CF．
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