12.4.3角平分线 教学设计 （表格式）华东师大版（2024）数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 12.4.3角平分线 教学设计 （表格式）华东师大版（2024）数学八年级上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 268.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-01 11:12:05 | ||
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文档简介
教 学 设 计
课题名称 《角平分线》
一、本节（课）教学内容分析
本节课主要内容为角平分线的性质定理与判定定理，以及三角形三条角平分线交于一点（内心）的性质。教学内容从消防应急救援的实际情境出发，引导学生通过观察、测量、猜想、证明等数学活动，理解角平分线性质及其判定定理，并进一步拓展到三角形内心的概念与应用。课程设计注重数学与生活实际的联系，强调几何知识的直观感知与逻辑推理相结合，培养学生的空间观念、逻辑思维能力和数学建模意识。
二、学习者情况分析：
授课对象为初二年级学生，已具备基本的几何图形认知能力和简单的逻辑推理能力，能够进行简单的几何作图与测量。学生对生活中的几何问题有一定兴趣，但将实际问题抽象为数学模型的能力尚待加强。部分学生对几何证明的理解和书写仍存在困难，需要通过直观操作、情境引导和逐步推理来辅助理解。本节课通过消防情境激发兴趣，结合动手操作与AI互动，帮助学生建立几何直观，提升数学表达能力。
三、教学目标（核心素养目标）
1. 理解角平分线的性质定理和判定定理，能运用其进行简单的几何证明与计算。 2. 掌握三角形三条角平分线交于一点（内心）的性质，理解内心到三边距离相等的结论。 3. 通过观察、测量、猜想、证明等数学活动，发展学生的几何直观和逻辑推理能力。 4. 培养学生从实际问题中抽象出数学模型，并运用数学知识解决实际问题的能力。
四、教学策略及数智赋教方法：
教学策略： 情境导入法：以消防应急救援为情境，激发学生兴趣。 探究式学习：通过动手操作、小组合作、猜想验证等方式，引导学生主动建构知识。 问题链驱动：设计层层递进的问题串，引导学生深入思考，突破难点。 联系生活实际：将数学知识与消防救援，隐患排查，设施选址等现实问题结合，增强应用意识。 数智赋教： AI情境模拟：利用AI消防员角色引入问题，增强课堂互动性与趣味性。 多媒体辅助教学：通过视频、图像等多媒体资源，丰富教学形式，提升课堂效率。
五、教学重点和难点
教学重点 1.角平分线的性质定理及其证明。 这是本节内容的核心知识，是后续学习与应用的基石。 2.角平分线的判定定理及其证明。 作为性质定理的逆定理，它完善了学生对角平分线的认识，是解决“点是否在角平分线上”这类问题的关键依据。
教学难点 1.角平分线判定定理的证明思路的理解与掌握。 学生需要构造全等三角形，并理解如何从“距离相等”的条件推导出“点在平分线上”的结论，这一逆向思维和证明构造具有一定难度。 2.将角平分线的性质与判定定理灵活运用于复杂的几何图形和实际问题中。 特别是在三角形背景下，学生需要识别并综合运用多个几何知识点解决问题。
六、课堂教学过程结构设计
教学环节 教学步骤 教师活动 学生活动 设计意图
一、 课前启学 维度1： “启” 环节1：情景引入 播放消防救援任务视频：消防救援大队接到报警，某小区一栋居民楼突发火灾，火势沿楼道蔓延，3楼1人被困！现场勘查发现，起火点位于两条楼道的夹角处，楼道墙壁可看作角的两边，被困人员甲在夹角内部，且消防员测量发现被困人员甲到两条楼道墙壁的距离相等。 AI消防员：请同学们思考：1.消防员要快速到达起火点，需找到一条路线到两条楼道墙壁距离相等，这条救援路线是什么？ 为什么被困人员甲到两条楼道墙壁距离相等，就能判断他在这条救援路线上呢？ 3.这条“救援路线”还有哪些特性能帮助消防救援？今天我们就结合消防的实际场景，探索角平分线的奥秘！ 观看视频并思考相关问题 以消防救援任务视频和问题串引入。 1. 激发兴趣，明确目标： 通过真实、紧迫的消防情境，瞬间抓住学生注意力，让学生感受到数学在生活中的巨大价值，明确本节课的学习目标。 2. 提出问题，引发思考： 三个递进的问题串，自然地引出了“角平分线”并为后续的性质与判定定理的学习埋下伏笔，启动学生的思维。
二、 课中探学 维度2： “探” 环节2：角平分线的性质定理 课堂活动：用∠AOB模拟楼道夹角，角平分线OC模拟救援路线，在OC上任取一点P模拟消防员位置。过点P作PD⊥OA,PE⊥OB模拟消防队员到墙壁的距离，比较PD,PE长度，你有什么发现？在OC上多取几个点试试。 猜想：角平分线上的点到角两边距离相等 证明：角平分线上的点到角两边距离相等 已知：OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PE⊥OB，PD⊥OA 。 求证：PD=PE 归纳小结： 文字语言：角平分线上的点到角的两边距离相等 符号语言： ∵OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PE⊥OB，PD⊥OA ∴PD=PE 定理应用应具备的条件：（1）角的平分线（2）点在该平分线上（3）垂直距离 作用：是证明两条垂线段相等的常用方法之一，也是几何作图问题的重要依据。 AI消防员：消防员在开辟救援通道时，会优先选择楼道夹角的角平分线作为主通道，因为这条通道上的任意位置到两侧墙壁的距离相等，能最大程度避免被两侧燃烧物波及，便于快速推进救援,这就解释了角平分线为什么是救援路线的原因，那么为什么被困人员甲到两条墙壁距离相等，就能初步判断他在“救援路线”上呢？也就是反过来说角的内部到角两边距离相等的点会落在角平分线上吗？ 环节3：角平分线的判定定理 猜想：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 已知： PD ⊥ OA ，PE⊥ OB ，垂足分别是 D、E ， PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 归纳小结： 文字语言：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线上 应用应具备的条件： 位置关系： 点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 作用：常用于证明两个角相等，或证明一条射线是一个角的角平分线。 AI消防员：因为被困人员甲到楼道墙壁的距离相等，我们可以知道甲在救援路线上即夹角的角平分线上。同时在消防排查时，也可通过测量杂物堆放点到两侧墙面的距离，判断是否在角平分线上，若在角平分线上，杂物会堵塞潜在的应急通道，需及时清理，防止阻碍搜救被困人员。 根据要求测量，折叠，猜想。 根据要求回答命题的条件跟结论，思考命题证明步四步骤， 书写角平分线性质定理的证明过程 根据要求回答命题的条件跟结论，思考命题证明步四步骤，师生共同回答证明过程。 通过动手操作（测量、折叠）进行猜想，并完成证明。1.直观感知，形成猜想： 让学生通过亲手操作，从具体实例中发现规律，形成“角平分线上的点到角两边距离相等”的直观猜想，符合学生的认知规律。 2. 逻辑验证，培养素养： 引导学生将猜想通过严谨的几何证明进行验证，培养学生的逻辑推理能力和数学表达的严谨性。 由情境问题自然引出猜想，并进行证明。 承上启下，自然过渡： 利用情境中“判断被困人员位置”的问题，自然地从性质定理过渡到其逆命题——判定定理，使学生理解两个定理的内在联系与区别。 2. 强化逆向思维： 判定定理的证明是对性质定理的逆向应用，有助于培养学生逆向思考问题的能力，完善知识结构。
维度3： “思” 联系：两个定理互为逆定理 课堂训练 如图（1），OM是∠AOC 的平分线，点 P在 OM 上，PD⊥OA，PE⊥OC，垂足分别是D、E，PD = 4，则PE = ______ 变式：如图（2），PD⊥OA，PE⊥OC,若PD=PE,∠POC=30°，则∠AOC=______° （1） （2） 2.如图，在Rt△ABC中∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D， (1)AD=3，BC=10，则= (2)AB=3，BC=10，则 独立完成习题训练 巩固双基，及时反馈： 通过层次递进的练习题，及时巩固性质定理与判定定理，帮助学生掌握基本应用，教师也能通过练习情况了解学生的掌握程度。 2. 举一反三，提升能力： 变式训练改变了问题的情境和角度，促使学生灵活运用新知，防止思维固化，提升解决问题的能力。
维度4： “创” 环节4：三角形的三条角平分线交于一点。 AI消防员：长远考虑，消防部门计划在某三角形居民小区内设置一个应急救援中转站，要求中转站到小区三条道路（三角形三边）的距离相等，方便快速响应小区内任意位置的警情。这个中转站应该选在什么位置？ 思考：1：三角形的三条角平分线会交于一点吗？ 2：如果会，那这个交点到三角形三边的距离相等吗？ 猜想：三角形的三条角平分线交于一点 联想上节课三角形三边的垂直平分线交于一点的方法 证明推导：三角形的三条角平分线交于一点 结论：三角形的三条角平分线交于一点（内心）并且这一点到三条边的距离相等 思路推导，课下书写证明过程（练习册P87，10） AI消防员：消防设置的应急救援中转站，正是三角形小区内角平分线的交点,这里到三条道路的距离相等，能让消防车以最短距离到达小区内任意位置，提升救援效率，比如在陈埭镇某三角形工业园区，就是按这个原理设置的消防中转站，成功将救援响应时间缩短了3分钟。有效减少了人员伤亡和财产损失。 课堂总结： 1：角平分线上的点到角的两边距离相等 2：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 3：三角形的三条角平分线交于一点（内心） 并且这一点到三条边的距离相等 根据引导思考问题串，联想上节课三角形三边的垂直平分线交于一点的证明方法 师生共同推导，结合推导思路，学生课下书写具体证明过程。 通过“设置消防中转站”的新情境进行探究。 1. 知识整合与迁移： 将角平分线的性质从单个角拓展到三角形中，引导学生将新旧知识（三角形中的重要点）联系起来，构建更完整的知识体系。 2. 深化数学建模思想： 将“找中转站”的实际问题转化为“找三角形内心”的数学问题，让学生再次体验用数学解决实际问题的完整过程，提升应用能力和创新意识。
三、 课后延学 维度5： “评” 作业； 1.基础题：练习册P85-87 A,B组 2.实践题：观察村庄，学校的楼道夹角、消防通道，尝试用今天所学知识分析其设计是否合理（结合角平分线性质）。 3. 拓展题：晋江某直角三角形社区，三边长度分别为60米、80米、100米，求内角平分线交点到三边的距离（提示：结合三角形面积公式） 课后巩固： 如图，在△ABC中，三条角平分线相交于点O，AB=3,AC=4,BC=5,则 变式：如图，在△ABC中，三条角平分线相交于点O，OP⊥AC，△ABC的周长为12，OP=2, 1. 面向全体，因材施教： 分层作业满足了不同层次学生的学习需求。基础题保障全体学生掌握核心知识；实践题连接生活，培养应用意识；拓展题挑战学有余力的学生，发展其综合解题能力。 2. 延伸课堂，持续探究： 将学习从课堂延伸至课外，鼓励学生观察生活，
七、板书设计：
角平分线 1.角平分线的性质定理 ∵OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PE⊥OB，PD⊥OA ∴PD=PE 角平分线的判定定理 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线上
八、教学反思（课后进行反思）：
情境创设的有效性： 本节课以“消防救援”为主线贯穿始终，消防救援的抽象模型不够形象，如果能用建筑立体图到平面图会更好帮助学生理解救援的实际情况。 2.重难点的突破情况： 从课堂练习和反应来看，学生是在三角形内心的应用中，对“距离相等”这一核心性质有了初步的了解，在练习中对性质定理与判定定理应用不够熟练，需要再增加适当的训练。 在三角形三条角平分线的证明中类比上节课三角形三条垂直平分线交于一点的方法有点生疏。 3.待改进之处与优化： 课堂时间的分配可以增加学生独立思考时间。增加三角形三条角平分线交于一点的练习。
课题名称 《角平分线》
一、本节（课）教学内容分析
本节课主要内容为角平分线的性质定理与判定定理，以及三角形三条角平分线交于一点（内心）的性质。教学内容从消防应急救援的实际情境出发，引导学生通过观察、测量、猜想、证明等数学活动，理解角平分线性质及其判定定理，并进一步拓展到三角形内心的概念与应用。课程设计注重数学与生活实际的联系，强调几何知识的直观感知与逻辑推理相结合，培养学生的空间观念、逻辑思维能力和数学建模意识。
二、学习者情况分析：
授课对象为初二年级学生，已具备基本的几何图形认知能力和简单的逻辑推理能力，能够进行简单的几何作图与测量。学生对生活中的几何问题有一定兴趣，但将实际问题抽象为数学模型的能力尚待加强。部分学生对几何证明的理解和书写仍存在困难，需要通过直观操作、情境引导和逐步推理来辅助理解。本节课通过消防情境激发兴趣，结合动手操作与AI互动，帮助学生建立几何直观，提升数学表达能力。
三、教学目标（核心素养目标）
1. 理解角平分线的性质定理和判定定理，能运用其进行简单的几何证明与计算。 2. 掌握三角形三条角平分线交于一点（内心）的性质，理解内心到三边距离相等的结论。 3. 通过观察、测量、猜想、证明等数学活动，发展学生的几何直观和逻辑推理能力。 4. 培养学生从实际问题中抽象出数学模型，并运用数学知识解决实际问题的能力。
四、教学策略及数智赋教方法：
教学策略： 情境导入法：以消防应急救援为情境，激发学生兴趣。 探究式学习：通过动手操作、小组合作、猜想验证等方式，引导学生主动建构知识。 问题链驱动：设计层层递进的问题串，引导学生深入思考，突破难点。 联系生活实际：将数学知识与消防救援，隐患排查，设施选址等现实问题结合，增强应用意识。 数智赋教： AI情境模拟：利用AI消防员角色引入问题，增强课堂互动性与趣味性。 多媒体辅助教学：通过视频、图像等多媒体资源，丰富教学形式，提升课堂效率。
五、教学重点和难点
教学重点 1.角平分线的性质定理及其证明。 这是本节内容的核心知识，是后续学习与应用的基石。 2.角平分线的判定定理及其证明。 作为性质定理的逆定理，它完善了学生对角平分线的认识，是解决“点是否在角平分线上”这类问题的关键依据。
教学难点 1.角平分线判定定理的证明思路的理解与掌握。 学生需要构造全等三角形，并理解如何从“距离相等”的条件推导出“点在平分线上”的结论，这一逆向思维和证明构造具有一定难度。 2.将角平分线的性质与判定定理灵活运用于复杂的几何图形和实际问题中。 特别是在三角形背景下，学生需要识别并综合运用多个几何知识点解决问题。
六、课堂教学过程结构设计
教学环节 教学步骤 教师活动 学生活动 设计意图
一、 课前启学 维度1： “启” 环节1：情景引入 播放消防救援任务视频：消防救援大队接到报警，某小区一栋居民楼突发火灾，火势沿楼道蔓延，3楼1人被困！现场勘查发现，起火点位于两条楼道的夹角处，楼道墙壁可看作角的两边，被困人员甲在夹角内部，且消防员测量发现被困人员甲到两条楼道墙壁的距离相等。 AI消防员：请同学们思考：1.消防员要快速到达起火点，需找到一条路线到两条楼道墙壁距离相等，这条救援路线是什么？ 为什么被困人员甲到两条楼道墙壁距离相等，就能判断他在这条救援路线上呢？ 3.这条“救援路线”还有哪些特性能帮助消防救援？今天我们就结合消防的实际场景，探索角平分线的奥秘！ 观看视频并思考相关问题 以消防救援任务视频和问题串引入。 1. 激发兴趣，明确目标： 通过真实、紧迫的消防情境，瞬间抓住学生注意力，让学生感受到数学在生活中的巨大价值，明确本节课的学习目标。 2. 提出问题，引发思考： 三个递进的问题串，自然地引出了“角平分线”并为后续的性质与判定定理的学习埋下伏笔，启动学生的思维。
二、 课中探学 维度2： “探” 环节2：角平分线的性质定理 课堂活动：用∠AOB模拟楼道夹角，角平分线OC模拟救援路线，在OC上任取一点P模拟消防员位置。过点P作PD⊥OA,PE⊥OB模拟消防队员到墙壁的距离，比较PD,PE长度，你有什么发现？在OC上多取几个点试试。 猜想：角平分线上的点到角两边距离相等 证明：角平分线上的点到角两边距离相等 已知：OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PE⊥OB，PD⊥OA 。 求证：PD=PE 归纳小结： 文字语言：角平分线上的点到角的两边距离相等 符号语言： ∵OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PE⊥OB，PD⊥OA ∴PD=PE 定理应用应具备的条件：（1）角的平分线（2）点在该平分线上（3）垂直距离 作用：是证明两条垂线段相等的常用方法之一，也是几何作图问题的重要依据。 AI消防员：消防员在开辟救援通道时，会优先选择楼道夹角的角平分线作为主通道，因为这条通道上的任意位置到两侧墙壁的距离相等，能最大程度避免被两侧燃烧物波及，便于快速推进救援,这就解释了角平分线为什么是救援路线的原因，那么为什么被困人员甲到两条墙壁距离相等，就能初步判断他在“救援路线”上呢？也就是反过来说角的内部到角两边距离相等的点会落在角平分线上吗？ 环节3：角平分线的判定定理 猜想：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 证明：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 已知： PD ⊥ OA ，PE⊥ OB ，垂足分别是 D、E ， PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 归纳小结： 文字语言：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线上 应用应具备的条件： 位置关系： 点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 作用：常用于证明两个角相等，或证明一条射线是一个角的角平分线。 AI消防员：因为被困人员甲到楼道墙壁的距离相等，我们可以知道甲在救援路线上即夹角的角平分线上。同时在消防排查时，也可通过测量杂物堆放点到两侧墙面的距离，判断是否在角平分线上，若在角平分线上，杂物会堵塞潜在的应急通道，需及时清理，防止阻碍搜救被困人员。 根据要求测量，折叠，猜想。 根据要求回答命题的条件跟结论，思考命题证明步四步骤， 书写角平分线性质定理的证明过程 根据要求回答命题的条件跟结论，思考命题证明步四步骤，师生共同回答证明过程。 通过动手操作（测量、折叠）进行猜想，并完成证明。1.直观感知，形成猜想： 让学生通过亲手操作，从具体实例中发现规律，形成“角平分线上的点到角两边距离相等”的直观猜想，符合学生的认知规律。 2. 逻辑验证，培养素养： 引导学生将猜想通过严谨的几何证明进行验证，培养学生的逻辑推理能力和数学表达的严谨性。 由情境问题自然引出猜想，并进行证明。 承上启下，自然过渡： 利用情境中“判断被困人员位置”的问题，自然地从性质定理过渡到其逆命题——判定定理，使学生理解两个定理的内在联系与区别。 2. 强化逆向思维： 判定定理的证明是对性质定理的逆向应用，有助于培养学生逆向思考问题的能力，完善知识结构。
维度3： “思” 联系：两个定理互为逆定理 课堂训练 如图（1），OM是∠AOC 的平分线，点 P在 OM 上，PD⊥OA，PE⊥OC，垂足分别是D、E，PD = 4，则PE = ______ 变式：如图（2），PD⊥OA，PE⊥OC,若PD=PE,∠POC=30°，则∠AOC=______° （1） （2） 2.如图，在Rt△ABC中∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D， (1)AD=3，BC=10，则= (2)AB=3，BC=10，则 独立完成习题训练 巩固双基，及时反馈： 通过层次递进的练习题，及时巩固性质定理与判定定理，帮助学生掌握基本应用，教师也能通过练习情况了解学生的掌握程度。 2. 举一反三，提升能力： 变式训练改变了问题的情境和角度，促使学生灵活运用新知，防止思维固化，提升解决问题的能力。
维度4： “创” 环节4：三角形的三条角平分线交于一点。 AI消防员：长远考虑，消防部门计划在某三角形居民小区内设置一个应急救援中转站，要求中转站到小区三条道路（三角形三边）的距离相等，方便快速响应小区内任意位置的警情。这个中转站应该选在什么位置？ 思考：1：三角形的三条角平分线会交于一点吗？ 2：如果会，那这个交点到三角形三边的距离相等吗？ 猜想：三角形的三条角平分线交于一点 联想上节课三角形三边的垂直平分线交于一点的方法 证明推导：三角形的三条角平分线交于一点 结论：三角形的三条角平分线交于一点（内心）并且这一点到三条边的距离相等 思路推导，课下书写证明过程（练习册P87，10） AI消防员：消防设置的应急救援中转站，正是三角形小区内角平分线的交点,这里到三条道路的距离相等，能让消防车以最短距离到达小区内任意位置，提升救援效率，比如在陈埭镇某三角形工业园区，就是按这个原理设置的消防中转站，成功将救援响应时间缩短了3分钟。有效减少了人员伤亡和财产损失。 课堂总结： 1：角平分线上的点到角的两边距离相等 2：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 3：三角形的三条角平分线交于一点（内心） 并且这一点到三条边的距离相等 根据引导思考问题串，联想上节课三角形三边的垂直平分线交于一点的证明方法 师生共同推导，结合推导思路，学生课下书写具体证明过程。 通过“设置消防中转站”的新情境进行探究。 1. 知识整合与迁移： 将角平分线的性质从单个角拓展到三角形中，引导学生将新旧知识（三角形中的重要点）联系起来，构建更完整的知识体系。 2. 深化数学建模思想： 将“找中转站”的实际问题转化为“找三角形内心”的数学问题，让学生再次体验用数学解决实际问题的完整过程，提升应用能力和创新意识。
三、 课后延学 维度5： “评” 作业； 1.基础题：练习册P85-87 A,B组 2.实践题：观察村庄，学校的楼道夹角、消防通道，尝试用今天所学知识分析其设计是否合理（结合角平分线性质）。 3. 拓展题：晋江某直角三角形社区，三边长度分别为60米、80米、100米，求内角平分线交点到三边的距离（提示：结合三角形面积公式） 课后巩固： 如图，在△ABC中，三条角平分线相交于点O，AB=3,AC=4,BC=5,则 变式：如图，在△ABC中，三条角平分线相交于点O，OP⊥AC，△ABC的周长为12，OP=2, 1. 面向全体，因材施教： 分层作业满足了不同层次学生的学习需求。基础题保障全体学生掌握核心知识；实践题连接生活，培养应用意识；拓展题挑战学有余力的学生，发展其综合解题能力。 2. 延伸课堂，持续探究： 将学习从课堂延伸至课外，鼓励学生观察生活，
七、板书设计：
角平分线 1.角平分线的性质定理 ∵OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PE⊥OB，PD⊥OA ∴PD=PE 角平分线的判定定理 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线上
八、教学反思（课后进行反思）：
情境创设的有效性： 本节课以“消防救援”为主线贯穿始终，消防救援的抽象模型不够形象，如果能用建筑立体图到平面图会更好帮助学生理解救援的实际情况。 2.重难点的突破情况： 从课堂练习和反应来看，学生是在三角形内心的应用中，对“距离相等”这一核心性质有了初步的了解，在练习中对性质定理与判定定理应用不够熟练，需要再增加适当的训练。 在三角形三条角平分线的证明中类比上节课三角形三条垂直平分线交于一点的方法有点生疏。 3.待改进之处与优化： 课堂时间的分配可以增加学生独立思考时间。增加三角形三条角平分线交于一点的练习。