2025-2026学年人教A版数学必修第一册数学单元检测：第5章 三角函数（含解析）

第五章 三角函数
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.角α的终边上有一点P(a,a)(a≠0),则sin α的值是 (　　)
A. B.-
C.1 D.或-
2.若cos θ>0,sin θ<0,则角θ的终边所在的象限是(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.在直径为20 cm的圆中,圆心角为165°时,所对应的弧长为(　　)
A. cm B. cm C. cm D. cm
4.等于(　　)
A.2cos α B.2cos α
C.2sin α D.sin α
5.(2024·上海卷,14)下列函数中,f(x)的最小正周期是2π的是(　　)
A.f(x)=sin x+cos x B.f(x)=sin xcos x
C.f(x)=sin2x+cos2x D.f(x)=sin2x-cos2x
6.已知β∈,tan(α+β)=,sin β=,则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的式为(　　)
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
8.已知函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的式可能为(　　)
A.sin(x) B.cos(x) C.sin(x) D.cos(x)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=tan,则对该函数性质的描述正确的是(　　)
A.f(x)的定义域为
B.f(x)的最小正周期为2
C.f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
D.f(x)的图象没有对称轴
10.对于函数f(x)=下列说法中错误的是(　　)
A.该函数的值域是[-1,1]
B.当且仅当x=2kπ+(k∈Z)时,函数取得最大值1
C.当且仅当x=2kπ-(k∈Z)时,函数取得最小值-1
D.当且仅当2kπ+π11.已知函数f(x)=sin xsin的定义域为[m,n](mA. B. C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.=　　　　　.
13.设函数f(x)=2cos2x+sin 2x+a,已知当x∈[0,]时,f(x)的最小值为-2,则a=　　　　　,f(x)的最大值为　　　　　(第一空2分,第二空3分).
14.已知函数f(x)=,g(x)=ax-2(a>0).若 x1∈R, x2∈[1,2],f(x1)=g(x2),则a的取值范围是　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知角α的终边在直线y=3x上.求:
(1)的值;
(2)sin4α-cos4α的值.
16.(15分)已知cos=-,sin,且α∈,β∈.求tan(α+β).
17.(15分)已知函数y=f(x)=2sin.
(1)求函数f(x)的最小值及f(x)取到最小值时自变量x的取值集合;
(2)指出函数y=f(x)的图象可以由函数y=sin x的图象经过哪些变换得到;
(3)当x∈[0,m]时,函数y=f(x)的取值范围为[-,2],求实数m的取值范围.
18.(17分)根据市气象站对气温变化的统计数据显示,1月下旬某天市区温度y(单位:℃)随时间x(单位:h)变化的曲线接近于函数y=6sinxcosx-3cosx+12(0≤x≤24)的图象.
(1)请推断市区该天的最大温差.
(2)若某仓库存储食品要求仓库温度不高于15 ℃,根据推断的函数,则这天中哪段时间仓库需要降温
19.(17分)已知函数f(x)=+2sin x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及其单调递增区间;
(2)当x∈时,对任意t∈R,不等式mt2-mt+2≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.
第五章 三角函数
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.D
设原点O到点P的距离为r,则r=|a|,
所以sin α=
所以sin α的值是或-.
2.D
∵cos θ>0,
∴角θ的终边落在第一象限或第四象限或x轴的非负半轴上.
∵sin θ<0,∴角θ的终边落在第三象限或第四象限或y轴的非正半轴上.
∴角θ的终边落在第四象限.故选D.
3.B
∵直径d=20 cm,∴半径r=10 cm,
又165°=×165=,
∴弧长l=×10=(cm).
4.A
原式==2cos α.
5.A
对于A,f(x)=sin x+cos x=sin x+cos x)=sin(x+),则T=2π,满足条件,故A选项符合题意;对于B,f(x)=sin xcos x=sin 2x,则T=π,不满足条件,故B选项不符合题意;对于C,f(x)=sin2x+cos2x=1,为常函数,则不存在最小正周期,不满足条件,故C选项不符合题意;对于D,f(x)=sin2x-cos2x=-cos 2x,则T=π,不满足条件,故D选项不符合题意.故选A.
6.B
因为β∈,sin β=,
所以cos β=,所以tan β=.
又tan(α+β)=,
所以tan α=tan[(α+β)-β]=.故选B.
7.A
由题图可知函数y=Asin(ωx+φ)的图象经过点和点,得A=2,最小正周期T=π,于是ω=2,故所求函数的式为y=2sin(2x+φ).
将点的坐标代入,可得-+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,所以y=2sin(2x+).故选A.
8.B
由题意可得,ω=,故排除C,D;又sin(×2)=0,cos(×2)=-1,所以直线x=2为函数y=cos(x)图象的对称轴.故选B.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.ABD
对于A,令x++kπ,k∈Z,解得x≠2k+,k∈Z,故函数f(x)的定义域为{x|x≠2k+,k∈Z},所以A中描述正确.对于B,函数f(x)的最小正周期T==2,所以B中描述正确.对于C,令kπ-x+10.ABC
画出函数f(x)的图象(图略),由图象容易看出:该函数的值域是[-,1];
当且仅当x=2kπ+或x=2kπ,k∈Z时,函数取得最大值1;
当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-;
当且仅当2kπ+π11.CD
f(x)=sin xsin=sin x·sin2x+sin 2x-(1-cos 2x)+sin 2x-sin 2x-cos 2x)=sin.作出函数f(x)的图象如图所示,在一个周期内考虑问题,易得满足题意,所以n-m的值可能为区间内的任意实数.所以A,B满足题意,C,D不满足题意.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.=cos2-sin2=cos.
13.-2　1
因为f(x)=sin 2x+cos 2x+1+a=2sin(2x+)+1+a,当x∈[0,]时,2x+∈[],sin(2x+)∈[-,1],
所以f(x)min=2×(-)+1+a=a=-2,f(x)max=2×1+1+a=3+a=1.
14.[,2]
因为f(x)==1-,
所以f(x)的值域为[0,].
因为a>0,所以g(x)在区间[1,2]上的取值范围为[a-2,2a-2],依题意得[0,] [a-2,2a-2],则
解得≤a≤2.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
由已知可得tan α=3.
(1)=2.
(2)sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-cos2α=.
16.(15分)
∵<α<π,0<β<,
∴<α-<π,--β<,
∴sin,
cos,
∴cos=cos
=cos(α-)cos+sinsin
==-.
∵α∈(,π),β∈(0,),
∴,
∴sin.
∴tan=-,
∴tan(α+β)=.
17.(15分)
(1)f(x)min=-2,此时2x-=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z,
故f(x)取到最小值时自变量x的取值集合是{xx=kπ-,k∈Z}.
(2)先把函数y=sin x的图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,再把函数y=sin的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的,得到函数y=sin的图象,最后把函数y=sin的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的2倍,得到函数y=2sin的图象.
(3)画出函数y=f(x)的图象,如图,因为当x∈[0,m]时,y=f(x)取得最大值2,所以m≥.
又函数y=f(x)在区间上单调递减,
故m的最大值为区间上使函数值为-的值,令2sin=-,得m=,
所以m的取值范围是.
18.(17分)
(1)y=6sinxcosx-3cosx+12=3sinx-3cosx+12=6sin+12,则周期T==24,于是该市区该天的最高温度为18 ℃,最低温度为6 ℃,故该市区该天的最大温差为12 ℃.
(2)令6sin+12>15,
即sin,
则+2kπ所以6故仓库在6 h到14 h需要降温.
19.(17分)
(1)f(x)=+2sin x=+2sin x=sin x+cos x=sin,所以最小正周期T==2π.
由-+2kπ≤x++2kπ,且x+≠2kπ,k∈Z,得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,且x≠-+2kπ,k∈Z,
所以f(x)的递增区间为[-+2kπ,-+2kπ),(-+2kπ,+2kπ] (k∈Z).
(2)由(1)得函数f(x)在区间上单调递减,所以当x=时,f(x)max=1,所以mt2-mt+2≥1恒成立,所以mt2-mt+1≥0恒成立.①当m=0时,显然成立;②当m≠0时,若对于t∈R,mt2-mt+1≥0恒成立,则m>0,且m2-4m≤0,解得0