2025-2026学年上海交大附中高一上学期数学周练（含答案）

交大附中2025-2026学年第一学期高一年级数学周练
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，则 ．
2．不等式的解集为 .
3．若集合，且，则 ．
4．设集合，若，则的取值范围是 ．
5．已知，则的取值范围是 ．
6．已知为实数且，给出下列不等式：
①；
②；
③；
④．其中不正确的为 ．（填写相应的序号）
7．已知正实数满足，则的最小值为 ．
8．已知，则的最小值为 ．
9．设是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则实数的值为 ．
10．若＂存在，使得＂为假命题，则实数的取值范围为 .
11．若集合中恰含有2个整数，则实数的取值范围是 ．
12．已知表示中的最小值若，则的最大值是 .
二、选择题（本大题满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分，每题有且仅有一个正确选项）
13．＂＂的一个充分非必要条件是（ ）.
A． B． C． D．
14．设集合，则（ ）.
A． B． C． D．
15．已知集合，则中元素的个数为（ ）.
A．9 B．8 C．6 D．5
16.已知为实数，若同时满足不等式与的全体实数所组成的集合等于．则关于结论：
①至少有一个为0；②．下列判断中正确的是（ ）.
A．①和②都正确 B．①和②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
三、解答题（本大题满分78分，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤）
17．（本题满分14分，题（1）满分7分，题（2）满分7分）
（1）设，求关于的方程的解集；
（2）已知，若．证明：中至少有一个不小于0．
18．（本题满分14分，题（1）满分6分，题（2）满分8分）
设全集，集合，其中．
（1）若，求；
（2）若是的必要非充分条件，求实数的取值范围．
19．（本题满分14分，题（1）满分6分，题（2）满分8分）
设集合．
（1）若集合至少有一个元素，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
20．（本题满分18分，题（1）满分4分，题（2）满分6分，题（3）满分8分）
假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.
（1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式；
（2）证明你提炼出的不等式；
（3）运用你提炼出的不等式证明：，其中且．
21．（本题满分18分，题（1）满分4分，题（2）满分6分，题（3）满分8分）
若集合中有且仅有三个元素，且同时满足①；②；
③为偶数，那么称集合具有性质．
设集合，其中且，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均为集合的元素，则称集合是集合的＂期待子集＂．
（1）对于集合，是否存在具有性质，并说明理由；
（2）若集合具有性质，证明：集合是集合的＂期待子集＂；
（3）证明：＂集合存在具有性质＂的充要条件是＂集合是集合的＂期待子集＂．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
12．已知表示中的最小值若，则的最大值是 .
【答案】
【解析】令，因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以当且，即时，的最大值为．
二、选择题
13.C 14.A 15.C 16.A
15．已知集合，则中元素的个数为（ ）.
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】C
【解析】因为集合
共6个元素．故选：．
16.已知为实数，若同时满足不等式与的全体实数所组成的集合等于．则关于结论：
①至少有一个为0；②．下列判断中正确的是（ ）.
A．①和②都正确 B．①和②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】A
【解析】将三个不等式相加可得：
恒成立，∴中至少有一个为正数，不妨设，
若，则原三个不等式的解集都是，，或的形式，
它们的交集不可能为的形式；
若，则的解集是，或形式，
它们的交集也不可能为的形式；
同理若，也不满足题意，综合可得中至少有一个为0，
不妨设，则，当时，解得，不满足题意；
当时，解得，满足题意，综上所述可得：①②都正确．故选：．
三、解答题
17.（1）当时，解集为当时，解集为 （2）证明略
18.（1） （2）
19.（1） （2）
20．（本题满分18分，题（1）满分4分，题（2）满分6分，题（3）满分8分）
假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜.
（1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式；
（2）证明你提炼出的不等式；
（3）运用你提炼出的不等式证明：，其中且．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）提炼出的不等式为．
（2）证明：．
因为都是正数，且，所以，可得，
所以．
（3）证明：由（2）可知．取，
则，故有，
则有
先证明左边：
因为
所以
，故；
再证明右边：
因为
所以
，故．
综上，
21．（本题满分18分，题（1）满分4分，题（2）满分6分，题（3）满分8分）
若集合中有且仅有三个元素，且同时满足①；②；
③为偶数，那么称集合具有性质．
设集合，其中且，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均为集合的元素，则称集合是集合的＂期待子集＂．
（1）对于集合，是否存在具有性质，并说明理由；
（2）若集合具有性质，证明：集合是集合的＂期待子集＂；
（3）证明：＂集合存在具有性质＂的充要条件是＂集合是集合的＂期待子集＂．
【答案】（1）不具有，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）集合不具有性质，理由如下：
（i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③，
（ii）从集合中任取三个元素有一个为2，另外两个为奇数时，不妨设，
则有，即，不满足条件②，
综上所述，可得集合不具有性质.
（2）证明：由是偶数，得实数是奇数，
当时，由，得，即，不合题意，
当时，由，得，即，或（舍），
因为是偶数，所以集合
令，解得，，
显然，所以集合是集合的＂期待子集＂得证．
（3）证明：先证充分性：
当集合是集合的＂期待子集＂时，
存在三个互不相同的，使得均属于，
不妨设，令，则，即满足条件①，
因为，所以，即满足条件②，
因为，所以为偶数，即满足条件③，
所以当集合是集合的＂期待子集＂时，集合具有性质.
再证必要性：
当集合具有性质，则存在，
同时满足①；②；③为偶数，
令，则由条件①得，
由条件②得，由条件③得均为整数，
因为,
所以，且均为整数，所以，
因为，所以均属于，
所以当集合具有性质时，集合是集合的＂期待子集＂．
综上所述，集合是集合的＂期待子集＂的充要条件是集合具有性质.