2025-2026学年上海进才中学高一上学期数学周练（含答案）

进才中学2025-2026学年第一学期高一年级数学周练1
一、填空题
1．若集合，则 ．
2．设是实数，集合，若，则 ．
3．若＂＂是＂＂的必要条件，则的取值范围是 ．
4．已知集合，试用例举法表示集合，则 ．
5．命题＂对于任意的成立＂的否定形式为 ．
6．全集是不大于20的素数，则集合 ．
7．已知，则＂＂是＂＂的 条件（从＂充分非必要＂、＂必要非充分＂、＂充要＂、＂既非充分也非必要＂中选择一个作答）．
8．已知集合，则中所含元素的个数为 ．
9．已知集合，且满足，则实数的值是 ．
10．是有理数集，集合，在下列集合中：
（1）; （2）；
（3）； （4）．
与集合相等的集合序号是 ．
11．对于区间我们规定是这个区间的＂长度＂．已知都是集合的子集，，则集合＂长度＂的取值范围是 ．
12．高一的同学发现对于一个有限集，一般都可以找到两个非空数集和，满足，且，记集合为的一个＂划分集＂．若中有个元素，则不同的＂划分集＂共有 个（用含的表达式填空）．
二、选择题
13．已知集合，设，下列说法正确的是（ ）.
A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件
C．是的充要条件 D．是的既不充分也不必要条件
14．下列关于集合运算的结论，错误的是（ ）.
A． B．
C． D．
15．己知集合，若，则（ ）.
A．1 B．-1 C．0 D．2
16．如图，己知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）.
A． B．
C．或 D．或
三、解答题
17．设集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
18．设，求证：中至少有一个为非负数．
19．命题甲：关于的方程无实根；
命题乙：关于的方程有两个不相等的正根，设命题甲、命题乙为真命题时实数的取值分别组成集合．
（1）求集合；
（2）若命题甲、乙中有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围；
20．己知非空数集满足：对任意给定的可以相同），有且．
（1）哪个数一定是中的元素？说明理由；
（2）若是有限集，求；
（3）若中最小的正数为5，求．
21．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为＂和谐集＂.
（1）判断集合是否是＂和谐集＂，并说明理由；
（2）求证：若集合是＂和谐集＂，则集合中元素个数为奇数；
（3）若集合是＂和谐集＂，求集合中元素个数的最小值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.存在; 6.; 7.充要; 8.; 9.; 10.④； 11. 12.
11．对于区间我们规定是这个区间的＂长度＂．已知都是集合的子集，，则集合＂长度＂的取值范围是 ．
【答案】
【解析】区间长度为1，区间长度为，
当时，，区间长度为1，取得最大值，
当时，区间长度为，取得最小值，
故集合＂长度＂的取值范围是．
12．高一的同学发现对于一个有限集，一般都可以找到两个非空数集和，满足，且，记集合为的一个＂划分集＂．若中有个元素，则不同的＂划分集＂共有 个（用含的表达式填空）．
【答案】
【解析】集合中的每个元素都有属于或属于两种情况，故共有种情况，排除全都属于或的两种情况，考虑对称情况，故不同的＂划分集＂共有个．
二、选择题
13.B 14.D 15.C 16.B
15．己知集合，若，则（ ）.
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】C
【解析】因为，所叱或，解得．故选．
16．如图，己知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）.
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【解析】集合，而，则，图中阴影部分表示的集合为．故选．
三、解答题
17.（1） （2）
18.证明略
19.（1） （2）
20．己知非空数集满足：对任意给定的可以相同），有且．
（1）哪个数一定是中的元素？说明理由；
（2）若是有限集，求；
（3）若中最小的正数为5，求．
【答案】（1）0 （2） （3）
【解析】（1）数字0一定是中的元素，若，
则，即．
（2）为有限非空数集，假设中有非零元素，
则有形如的所有实数都是的元素，与是有限集矛盾，所以；
（3）中最小的正数为5，则5的正整数倍一定是中元素，
又，故当时，，
故所有形如（为整数）的数都是中的元素，
假设中有形如的元素，那么，
这与中最小正整数5矛盾，
综上，．
21．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为＂和谐集＂。
（1）判断集合是否是＂和谐集＂，并说明理由；
（2）求证：若集合是＂和谐集＂，则集合中元素个数为奇数；
（3）若集合是＂和谐集＂，求集合中元素个数的最小值．
【答案】（1）不是 （2）证明见解析 （3）最小值是7．
【解析】（1）对于，去掉2后，不满足题中条件，
故不是＂和谐集＂，
（2）设中所有元素之和为，
由题意得均为偶数，因此的奇偶性相同，
①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，
②若为偶数，此时取，得仍满足题中条件，集合也是＂和谐集＂，若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的＂和谐集＂，
由①得为奇数；
综上，集合中元素个数为奇数；
（3）由（2）得集合中元素个数为奇数，
当时，显然任意集合不是＂和谐集＂．
当时，不妨设，
将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有①，或者②；
将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，
则有③，或者④．
由①、③，得，矛盾；由①、④，得，矛盾；
由②、③，得，矛盾；由②、④，得，矛盾．
因此当时，集合一定不是＂和谐集＂．
当时，设，
因为，
,
所以集合是＂和谐集＂．集合中元素个数的最小值是7．