2025-2026学年上海七宝中学高一上学期数学周练（含答案）

七宝中学2025-2026学年第一学期高一年级数学周练
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，则 ．
2．将化简为指数幂的形式： ．
3．已知等式恒成立，则实数 ．
4．已知，则的取值范围是 ．
5．已知，则 ．
6．集合有且仅有一个元素，则实数 ．
7．设，则方程的解集为 ．
8．设是关于的方程的两个实数根，则的最小值为 ．
9．《九章算术》中＂勾股容方＂问题＂今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？＂魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法．如图1，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长，由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点，则下列四个推理中正确的序号是 ．
①由图1和图2面积相等得；②由可得
③由可得；④由可得．
10．若关于的不等式解集非空，则实数的取值范围是 ．
11．已知集合，其中．若存在正数，使得对任数，都有，则的取值集合为 ．
12．定义表示实数中的较大者，若是正实数，则的最小值是 ．
二、选择题（共4小题，分）
13．＂＂是＂＂的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．17世纪初，约翰．纳皮尔为了简化计算而发明了对数，对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为17世纪的三大数学发明．我们知道，任何一个正实数可以表示成的形式，这便是科学记数法；若两边取常用对数，，现给出部分常用对数值（如表），则可以估计的最高位的数值为（ ）.
A．1 B．3 C．6 D．9
15．已知，则（ ）.
A． B． C． D．
16．已知集合满足：①；②每个集合都恰有5个元素，集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（ ）.
A．37 B．39 C．48 D．57
三、解答题（共5小题，分）
17．已知全集，集合.
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（1）已知，比较与的大小；
（2）已知，若，利用反证法证明：和中至少有一个大于．
19．港珠澳大桥总长约55km，跨越伶仃洋，连接珠海、香港和澳门.一辆货车以（不超过）的速度从香港某地经过港珠澳大桥到珠海某地，共行驶了80km，每小时的运输成本包括油费和人工费用．经过测算，货车每小时用油，假设油费每升7元，人工费每小时28元，大桥通行费120元/次.
（1）当时，这次行车的总费用为多少元？
（2）当为何值时，这次行车的总费用（单位：元）最低，并求出最低费用（精确到0.01元）
20．已知一次函数，其中．
（1）若函数的图像如图所示，直接写出实数的值和不等式的解集；
（2）根据实数的不同取值，讨论关于的不等式的解集；
（3）若函数，对任意，使得，求实数的取值范围.
21．对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中按从小到大排列的所有元素，记集合.
（1）已知集合，若，求集合，并求出的值．
（2）已知，记集合或.
（i）当时，证明的充要条件是；
（ii）若，求的所有可能取值．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.①②③④; 10.； 11. 12.
11．已知集合，其中．若存在正数，使得对任数，都有，则的取值集合为 ．
【答案】
【解析】因为，则只需考虑下列三种情况：
因为，，
又因为，则．
因为，则且可得
所以解得．故答案为：．
12．定义表示实数中的较大者，若是正实数，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】记，
当时，,
当且仅当时，等号成立．
当时，，显然等号无法取得，
综上所述，的最小值是．故答案为：．
二、选择题
13.A 14.D 15.A 16.A
15．已知，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，及，得，所以；
再由，即，所以.
由，得，当且仅当时等号成立.
若，则，与矛盾，所以
再由得，即；再由，得，即.
故.故选A.
16．已知集合满足：①；②每个集合都恰有5个元素，集合中最大元素与最小元素之和称为的特征数，记为，则的值不可能为（ ）.
A．37 B．39 C．48 D．57
【答案】A
【解析】因为集合，，
又因为集合中，每个集合恰有5个元素，且有15个元素，
所以集合中没有重复元素，因为1是集合中数值最小的元素，15是集合中数值最大的元素，所以在的特征数构成中，必有1和15，不妨设，
要使最大，则应该在集合中首先放置数值较小的元素，即，
所以5与14是剩下元素中数值最小或最大的元素，
同理，不妨设，接着在中再次放置数值较小的元素，
即，则，
此时有最大值为，即；
要使最小，则在集合中首先放置数值较大的元素，即，所以2与11是剩下元素中数值最小或最大的元素，
同理，不妨设，接着在中再次放置数值较大的元素，
即，则，
此时有最小值为，即，
综上，，显然，选项不满足，故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）证明略
19.（1）288元 （2），最低费用为278.37元
20．已知一次函数，其中．
（1）若函数的图像如图所示，直接写出实数的值和不等式的解集；
（2）根据实数的不同取值，讨论关于的不等式的解集；
（3）若函数，对任意，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）， （2）见解析 （3）
【解析】（1）因为，由图可知，，
由，可得，即不等式解集为
（2）由，
①当时，解为；
②当时，解为或；
③当时，解为或，
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为．
（3）
21．对于实数集中的两个非空有限子集和，定义和集.记符号表示集合中的元素个数.当时，设是集合中按从小到大排列的所有元素，记集合.
（1）已知集合，若，求集合，并求出的值．
（2）已知，记集合或.
（i）当时，证明的充要条件是；
（ii）若，求的所有可能取值．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）的取值只能为2．
【解析】（1）当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，；
当时，；
综上，结合集合中元素的互异性，，．
且，且，得，所以，
又，所以．
（2）先证充分性．
因为，所以，且．
从而可以设，其中，
此时中的元素为，故．
再证必要性．
设，其中．
注意到和集中的最小元素为，最大元素为，
因为，所以中间三个元素可以是，
也可以是，它们是对应相等的，
所以有，
即．故，得证．
（3）①若，由（i）小问的分析知，
设，，其中，
此时中的元素为，，
这与条件矛盾．
②取，，其中，
容易验证此时中的元素为，符合条件，
所以可以取2．
注：构造方式不唯一，集合中的元素满足有一个，其余均为即可．
③若，
设，，其中．
结合知，，其中，
至少存在两个不同的正整数，使得。
不妨设是符合这一条件最小的正整数，是符合这一条件最大的正整数．
注意到
，
这是中的个不同的元素．
根据的定义我们有，即，（＊）
当时，由的最小性知，即，
此时我们有，
因此，与（＊）矛盾，
当时，有，
由此说明：是中的元素，但与（＊）式中的个元素均不相等．
同理，根据的定义有是中的元素，但与（）式中的个元素均不相等
因为，所以，此时1，矛盾．
注：个元素也可以按照其他从小到大的顺序排列，然后找出不同于这个元素的其他元素．
综上，的取值只能为2．