2025-2026学年上海吴淞中学高一上学期数学月考（含答案）

吴淞中学2025-2026学年第一学期高一年级数学月考
一、填空题：（每题3分）
1.已知全集，集合，则集合等于________．
2.不等式的解集是________．
3.不等式的解集是________．
4.，，则________．
5.已知，，且，则的最大值为________．
6.若不等式的解集为，则实数的取值范围是________．
7.用反证法证明命题：“若，则”时，应假设________．
8.设和是两个集合，定义集合，如果,，那么等于________．
9.若不等式的解集中的整数有且仅有1，2，3，则的取值范围是________．
10.若关于的不等式的解集为，则的取值范围为________．
11.某同学去实验室领氯化钠．实验室暂时只有一台受损天平（两臂不等长）．实验员先将的砝码放入天平左盘，称出一份氯化钠，然后将砝码放入天平右盘，再称出一份氯化钠．这样称出的两份氯化钠质量之和________（在下列符号中，选择最恰当的填入：，，，，）．
12.已知函数在区间上至少存在一个实数，使，则实数的取值范围是________．
二、选择题：（每题4分）
13.下列函数中，最小值为2的是（ ）.
A． B．
C． D．
14.设集合，，则下列图形中能表示与的关系的是（ ）
A． B． C．D．
15.如果、是实数，那么是的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
16.若，，则不等式等价于（ ）.
A．或 B．
C．或 D．或
三、解答题：
17.（本题满分8分）已知集合，，．
（1）求实数的值；
（2）写出集合的所有非空真子集．
18.（本题满分8分）命题，命题，若命题是命题的充分不必要条件，求实数的取值范围．
19.（本题满分8分）已知，，且，求证：（1）；（2）．
20.（本题满分10分）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：．已知甲、乙两地相距100千米．
（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分
定义实数，间的计算法则如下：．
（1）计算；
（2）对的任意实数，，，判断等式是否恒成立，并说明理由；
（3）对任意，恒成立，并的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11.某同学去实验室领氯化钠．实验室暂时只有一台受损天平（两臂不等长）．实验员先将的砝码放入天平左盘，称出一份氯化钠，然后将砝码放入天平右盘，再称出一份氯化钠．这样称出的两份氯化钠质量之和________（在下列符号中，选择最恰当的填入：，，，，）．
【答案】
【解析】设天平两臂长分别为，两次称量的实际质量分别为，
则，所以．
12.已知函数在区间上至少存在一个实数，使，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】二次函数在区间内至少存在一个实数，使的否定是：
对于区间内的任意一个都有，
即，整理得，解得或，
∴二次函数在区间内至少存在一个实数，
使的实数的取值范围是．
二、选择题
13.C 14.A 15.A 16.D
16.若，，则不等式等价于（ ）.
A．或 B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】作出函数的图像，如图所示，
若（且），则或．
故选D．
三、解答题
17.（1） （2）
18.
19.证明略
20．【答案】（1） （2）略
21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分
定义实数，间的计算法则如下：．
（1）计算；
（2）对的任意实数，，，判断等式是否恒成立，并说明理由；
（3）对任意，恒成立，并的取值范围．
【答案】（1）9 （2）否，理由见解析 （3）
【解析】（1）9；
（2）由于，所以，此时若，若，则．
所以等式并不能保证对任意实数都成立.