2025-2026学年上海行知中学高三上学期数学月考（含答案）

行知中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若（其中表示虚数单位），则 .
2．若正四棱柱的底面周长为4、高为2，则该正四棱柱的体积为 ．
3．设，函数的导函数为，则 ．
4．已知集合，则 ．
5．不等式的解集是 ．
6．在展开式中，含有项的系数为 ．（结果用数值表示）
7．朱老师在进行高三专题复习时，对高中阶段常见的＂角＂进行了简要梳理：①两条异面直线所成的角；②直线与平面所成的角；③二面角；④直线的倾斜角；⑤两个非零向量的夹角；⑥两条直线的夹角．则上述各种＂角＂的取值范围是的有 （请填写序号）
8．行知中学毛老师对高三年级数学＂智力大冲浪＂很有兴趣，现做了5套试卷，其分数分别为（单位：分）．若该样本的中位数和平均数均为124，则此样本的标准差为 （用数字作答）．
9．设数列的前项和为，若，则的通项公式为 .
10．如图，行知中学＂致理书院＂放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下竭离地面高度3.5米，若某位同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏茶的上下夹角最大），该同学应在距离大屏幕所在的平面 米处观看？（精确到0.1米）．
11．定义域为集合上的函数满足：①；
②； ③成等比数列；
则这样的不同函数的个数为 .
12．已知是定义在上的奇函数，当时，，若是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的量小值与量大值之差为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，题每题4分，题每题5分）
13．若，则下列不等式成立的是（ ）.
A． B． C． D．
14．已知直线和平面，下列命题中的真命题是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
15．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）.
A．恰好有一个白球与都是红球 B．至多有一个白球与都是红球
C．至多有一个白球与都是白球 D．至多有一个白球与至多一个红球
16．已知，有下列四个结论：
①存在在第一象限，在第一象；②为第一象限角时，则一定是第二或第四象限角；
③存在在第三象限，在第四象限；④当为第二象限角时，则一定是第一或第三象限角．则上述结论正确的个数是（ ）.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知，函数．
（1）当时，求的值域；
（2）已知的内角的对边分别为，若，求的面积的最大值．
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知，函数
（1）若，求函数的表达式及定义域；
（2）若关于的方程。。的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是边长为2的正方形．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
数学家阿基米德利用＂逼近法＂得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为．点分别为轴、轴上的定点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标；
（3）直线与椭圆交于不同的两点，已知关于轴的对称点为点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探标直线是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的＂－距离＂.
（1）若，请判断和是否是集合中的元素，并说明理由；
（2）设，且存在实数，使得直线的＂－距离＂不小于1，求的取值范国；
（3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的＂距离＂相等．证明：是偶函数．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.③⑤; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
二、选择题
13.C 14.C 15.A 16.B
15．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）.
A．恰好有一个白球与都是红球 B．至多有一个白球与都是红球
C．至多有一个白球与都是白球 D．至多有一个白球与至多一个红球
【答案】A
【解析】从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，表示的事件分别为（红，白），（红，红），（白，白）三种情况，故选项互斥不对立，正确，
选项：至多有一个白球表示的是（红，白），（红，红），与都是红球不互斥，故B误，
选项：由选项的分析可知互斥且对立，故C错，
选项：至多有一个红球表示的是（红，白），（白，白，所以两个事件不互斥，故D错，故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略 （2）
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
数学家阿基米德利用＂逼近法＂得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．在平面直角坐标系中，椭圆的面积等于，且椭圆的焦距为．点分别为轴、轴上的定点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点为椭圆上的动点，求三角形面积的最小值，并求此时点坐标；
（3）直线与椭圆交于不同的两点，已知关于轴的对称点为点关于原点的对称点为，已知三点共线，试探标直线是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1） （2），．
（3）是，直线恒过定点．
【解析】（1）由题意知，椭圆的面积知，得，
又，所以，解得，所以椭圆的方程为；
（2）由题意得，直线方程为，即，
设（为参数），则点到直线的距离为
当，即，即时，取得最小值，且最小值为，
所以的面积的最小值为，此时．
（3）设直线则，
∵三点共线，得，
∵直线与椭圆交于两点，则，
由，得
，代入中，
当，直线方程为，则重合，不符合题意；
当时，直线，所以直线恒过定点．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的＂－距离＂.
（1）若，请判断和是否是集合中的元素，并说明理由；
（2）设，且存在实数，使得直线的＂－距离＂不小于1，求的取值范国；
（3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的＂距离＂相等．证明：是偶函数．
【答案】（1）不是，是； （2） （3）证明见解析
【解析】（1）不是，是；理由如下:
的值域是，即对任意
若，当时，，
会存在使，不满足成立；
当时，，也会存在使，不满足条件，所以，
当时，要对任意恒成立，因最小值为-1，故，
则,所以不是集合中的元素，是集合中的元素；
（2）由题意，直线的距离为函数的最小值，
令，则，
故当时函数严格递增，没有最小值．
从而，且当时严格递减，当时严格递增．
因此直线的距离为
令，则，同上可知当时最大，
从而
（3）证明：对任意给定的，
记其中常数，
则，由严格递增，
当时，严格递减；当时，严格递增，
故，即恒成立，
所以是直线的－距离．
于是且是直线的距离．
记，则恒成立，于是，
即，故
由的任意性知，，故，即是偶函数．