2025-2026学年上海上师大闵分高三上学期数学月考（含答案）

上师大附中闵分2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．设集合，则 ．
2．已知函数为奇函数，则 ．
3．若，则 .
4．记i是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为 ．
5．已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为 ．
6．已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ．
7．若正数满足，则的最小值为 .
8．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为 （从中选择作答）．
9．已知函数，若对任意的实数都成立，则的最小值为 ．
10．i为虚数单位，若复数满足，复数满足，则的最小值为 ．
11．已知函数．若有2个不同的实数根，则实数的取值范围为 ．
12．设函数在上存在导数，对任意实数有，且当时，若，则实数的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知角的终边经过点，将角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则等于（ ）.
A． B． C． D．
14．＂＂的一个必要非充分条件是（ ）.
A． B． C． D．
15．已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（ ）.
A．存在无穷多个，满足
B．对任意有理数，均有
C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数
D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数
16．对于函数，设：对任意的，均有
：对任意的，均有
函数为偶函数，则（ ）.
A．中仅是的充分条件 B．中仅是的充分条件
C．均是的充分条件 D．均不是的充分条件
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知全集为实数集，集合
．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
已知点是坐标原点．
（1）若，求的值；
（2）若实数满分，求的最大值．
19．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
某公园有一个矩形地块（如图所示），边长千米，长4千米．地块的一角是水塘（阴影部分），已知边缘曲线是以A为顶点，以所在直线为对称轴的抛物线的一部分，现要经过曲线上某一点（异于两点）铺设一条直线隔离带，点分别在边上，隔离带占地面积忽略不计且不能穿过水塘．设点到边的距离为（单位：千米），的面积为（单位：平方千米）．
（1）请以A为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出关于的函数解析式；
（2）是否存在点，使隔离出来的的面积超过2平方千米？并说明理由．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆为坐标原点．
（1）求的离心率；
（2）设点，点在上，求的最大值和最小值；
（3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
定义：设和均为定义在R上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为＂相伴函数＂．
（1）给出两组函数，①和；②和，分别判断这两组函数是否为＂相伴函数＂（只需直接给出结论，不需论证）；
（2）若是定义在R上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为＂相伴函数＂；
（3），写出＂和为相伴函数＂的充要条件，并证明你的结论．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知函数．若有2个不同的实数根，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由函数，可得有2个不同的实数根，
即有2个不同的实数根，
所以，
设，则有2个不同的实数根，
所以当时，与的图象有2个不同的交点，
结合函数图象可得．故答案为：．
12．设函数在上存在导数，对任意实数有，且当时，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵当时，∴当时，
令，
∴为偶函数，
∵当时，∴函数在上单调递减，
∵，等价于即，
则当时，即时，
由函数在上单调递减，得，解得，
当时，即时，
由为偶函数，得，
由函数在上单调递减，得，解得，
综上，的取值范围为，故答案为：．
二、选择题
13.A 14.B 15.D 16.C
15．已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（ ）.
A．存在无穷多个，满足
B．对任意有理数，均有
C．函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数
D．函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数
【答案】D
【解析】由极值的定义可知，当函数在处取得极小值时，
在左侧的函数图象存在点比处的函数值小，
在右侧的函数图象存在点比处的函数值小，故排除；
对于，函数在区间上为严格减函数，
在区间上为严格增函数，则是函数的极小值点；
对于，函数在区间上为严格增函数，
在区间上为严格减函数，则不是函数的极小值点．故选：D.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1） （2）不存在
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆为坐标原点．
（1）求的离心率；
（2）设点，点在上，求的最大值和最小值；
（3）点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点．试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） （2）当时，取得最小值为，当时，取得最大值为 （3）存在，使得恒成立．
【解析】（1）设的半长轴长为，半焦距为，则，所以．
（2）设
因为，所以当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为
（3）设，则直线，
将直线方程代入椭圆方程得．
所以，
，
得，所以存在，使得恒成立．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
定义：设和均为定义在R上的函数，它们的导函数分别为和，若不等式对任意实数恒成立，则称和为＂相伴函数＂．
（1）给出两组函数，①和；②和，分别判断这两组函数是否为＂相伴函数＂（只需直接给出结论，不需论证）；
（2）若是定义在R上的可导函数，是偶函数，是奇函数，，证明：和为＂相伴函数＂；
（3），写出＂和为相伴函数＂的充要条件，并证明你的结论．
【答案】（1）第①组是，第②组不是 （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）①和，
,所以这两组函数是＂相伴函数＂．
②和，
不一定为非正数，
所以这两组函数不是＂相伴函数＂．
（2），
所以，所以
因此成立，即和为＂相伴函数＂．
（3）＂和为相伴函数＂的充要条件是
充分性：己知，则，，
此时，所以，
即成立，和为相伴函数
必要性：已知和为相伴函数，
所以，
，即，
由于取遍内的所有实数，
因此当且仅当时成立，所以，
所以＂和为相伴函数＂的充要条件是．