人教版2025—2026学年九年级上册数学期末考试模拟卷（培优卷）（含答案）

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人教版2025—2026学年九年级上册数学期末考试模拟卷（培优卷）
考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，点的对应点恰好落在边上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．李阿姨有三件上衣，分别为蓝色、白色和红色，有两条裙子，分别为灰色和黑色，某天她准备出门时，随机拿出一件上衣和一条裙子穿上，则恰好为白色上衣和灰色裙子的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB是OO的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，PB=2，则⊙O直径（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，OC＝3，则EC的长为（　　）
A．2 B．8 C．2 D．2
7．已知关于x的一元二次方程ax2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则二次项系数a的取值范围是（　　）
A．a＞1 B．a＞﹣2 C．a＞1且a≠0 D．a＞﹣1且a≠0
8．已知在函数上有点，点，则关于，的大小判断正确的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①；②；③；④的面积等于，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则= ．
12．设，是一元二次方程的两根，则 ．
13．从，，，0，3这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 ．
14．已知二次函数，则当时，的最大值与最小值的差为 ．
15．一个不透明的箱子里装有4个红球和若干个白球，每个球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的球摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.8，估计箱子里白球的个数为 个．
16．如图，等边三角形的边长为，点D，E分别是边的动点，且，连接交于点．则 ：连接，线段长的最小值为 ．
第II卷
人教版2025—2026学年九年级上册数学期末考试模拟卷（培优卷）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
18．如图，是的外接圆，，，求的半径．
19．图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上
（1）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后所得到的△A1BC1；
（2）画出将△ABC向右平移6个单位后得到的△A2B2C2；
（3）在（1）中，求在旋转过程中△ABC扫过的面积．
20．如图，有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪．将这4张卡片(形状、大小、质地都相同)放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出一张卡片．
A．猪妖 B．蛤蟆精 C．黄鼠狼精 D．猩猩怪
(1)取出的卡片图案为“B蛤蟆精”的概率为________．
(2)若现在要在这4个中挑选2个去除妖，请用画树状图或列表的方法，求选中“A猪妖”和“D猩猩怪”的概率．
21．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点．
(1)求这两个函数的解析式；
(2)如果点C与点A关于y轴对称，求的面积．
22．如图，已知是的外接圆，点是上的动点（不与重合），连接并延长到，连接交于点．已知．
(1)求证：；
(2)若为等腰三角形，求的长．
23．如图，点是正方形中边上的任意一点，以点为中心，把旋转，得到．已知．
(1)求的度数．
(2)求证：．
(3)连接，线段交于点，交于点．试探索，，之间的数量关系并加以说明．
24．在平面直角坐标系中，函数（为常数）．
(1)若函数图象经过点时，求的值．
(2)在（1）的条件下，求时，函数图象的最高点到直线的距离．
(3)当时，若函数（为常数）的图象最高点到直线的距离为1，求的值．
25．如图，抛物线过点，且与直线交于B、C两点，点B的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线上方的一点，过点D作轴交直线于点E，点P为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A A A D D A B B
二、填空题
11．2
12．0
13．
14．
15．16
16． 60度
三、解答题
17．【解】解：
，
解得，．
18．【解】连接并延长，交于点，连接，则，
，，
，
在中，
，
的半径为．
19．【解】（1）如图所示，△A1BC1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）由题可得，△ABC扫过的面积==4π+2．
20．【解】（1）解：有四张分别印有《浪浪山小妖怪》角色图案的卡片：A．猪妖，B．蛤蟆精，C．黄鼠狼精，D．猩猩怪，搅匀后从中任意取出一张卡片，
∴取出的卡片图案为“B．蛤蟆精”的概率为；
故答案为：．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的结果有2种，即、，
∴选中“A．猪妖”和“D．猩猩怪”的概率为．
21．【解】（1）解：代入点到，得，
∴，
∵点B在上，
∴，
∴，
代入点，到，得
解得
∴；
（2）解：如图所示，
∵点C与点A关于y轴对称，
∴，平行于x轴，
∴，，
∴．
22．【解】（1）证明：四边形内接于，
，
由圆周角定理得：，
，
，
；
（2）解：是弧BD上的动点（不与重合），
如图所示，
由（1）知，，
，
，
当为等腰三角形，有以下两种情况
①当时，如图，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，过点作于，过点作于点，作的平分线交于点，过点作干点，干点，连接，如图，
，，，
，，
，
，
，
，
，
，，
平分，
，
设，
在中，，
由勾股定理得：，
，
，
，解得：，
，
在中，，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
在，由勾股定理得：，
综上所述：的长为或．
23．【解】（1）解：四边形是正方形，
，，
，
，
由旋转可知：，
，
．
（2）解：由旋转可知：，，
由（1）得，
，
在和中，
，
，
，
．
（3）解：，理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接．
四边形是正方形，
，，
由旋转可知：，
，
，
在中，．
由（1），且由旋转可知，，
，
在和中，
，
，
，
．
24．【解】（1）解：把点代入函数中， 得，
解得；
（2）解：在（1）的条件下，，故函数解析式为，
对称轴为直线，开口向下，
在时， 根据增减性可知当时，，此时函数图象的最高点为，
则到直线的距离为；
（3）解：二次函数的对称轴为直线，开口向下， 当时，
①若，即时，
则当时，函数有最大值，即产生最高点，
又∵最高点到直线的距离为，
∴， 解得：或(皆不合题意，都舍去)；
②若，即时，则顶点为最高点，此时顶点值为，
又∵最高点到直线的距离为，故，
解得：或2(舍去)， 或 (舍去)，
综上的值为或．
25．【解】解：（1）将点B的坐标为代入，
，
∴B的坐标为，
将，代入，
解得，，
∴抛物线的解析式；
（2）设，则，
，
∴当时，有最大值为2，
此时，
作点A关于对称轴的对称点，连接，与对称轴交于点P．
，此时最小，
∵，
∴，
，
即的最小值为；
（3）作垂直对称轴于点H，连接、、、，
∵抛物线的解析式，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
可知外接圆的圆心为H，
∴
设，
则，
或
∴符合题意的点Q的坐标：、．
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