人教版2025—2026学年九年级上册数学期末考试模拟卷（冲刺卷）（含答案）

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人教版2025—2026学年九年级上册数学期末考试模拟卷（冲刺卷）
第I卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．手势密码是在手机触屏九宫格上设置的一笔连成的图案，登录时画出设定的图形后手机即可解锁，下列手势密码中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．用配方法将方程转化为的形式，则的值为（ ）
A．2027 B． C．2023 D．
3．不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A．3个球都是黑球 B．3个球都是白球
C．三个球中有黑球 D．3个球中有白球
4．在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
5．现要在抛物线上找点，若，则点的个数为（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
6．如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
7．妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，将沿折叠，半径长12，且，恰好经过的中点，则折痕长为（ ）
A． B． C．12 D．
9．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和是抛物线上第四象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，当取最大值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，中，，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，且则线段的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每题3分，共18分）
11．的半径为5，，则点P在 （填“内”、“外”、“上”）．
12．在化学课上，张萍老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象制成外表完全相同的卡片（如图），然后将卡片背面向上洗匀从中随机抽取一张，则抽出的生活现象是物理变化的概率是 ．
13．扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留）为 ．
14．已知二次函数开口向下，则 ．
15．如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，．则的长为 ．
16．在平面直角坐标系中，双曲线的图象如图所示，直线自原点开始沿y轴上下平移，在平移过程中，当双曲线上有某个点到直线的距离为时，那么称两个图形为“正相连”，则从直线与双曲线恰好有且只有1个点的“正相连”开始到与双曲线有且只有3个点的“正相连”终止，在这个过程中，m的取值范围是
第II卷
人教版2025—2026学年九年级上册数学期末考试模拟卷（冲刺卷）
姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______
解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：．
18．如图，为的直径，点在上，，直线与直径的延长线交于点．求证：是的切线．
19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)作与关于原点成中心对称的图形；
(2)将绕着顺时针方向旋转，求点经过的路径长．
20．2024年12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表名录．某次班会上，甲、乙同学准备从“．贴春联”、“．吃饺子”、“．发红包”、“．拜新年”这四个传统习俗中，各选一个进行讲解．班长做了4张背面完全相同的卡片，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回后，由乙再随机抽取一张，两人根据所抽取卡片正面的内容进行讲解．
(1)甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“C．发红包”的概率是 ；
(2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都未抽到“．吃饺子”的概率．
21．如图，为的直径，为的弦，平分，交于点，，交的延长线于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，的半径为，求的长．
22．如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与直线交于，两点．
(1)直线经过定点，直接写出点的坐标；
(2)求面积的最小值．
23．某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系，（其中，且x为整数）
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
24．已知正方形的四个顶点在上
(1)如图1，若点在劣弧上，连接、、，若在上取一点，使得，连接，求证：
(2)若点在弧上（不与点、、重合），过点作于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图2，若正方形的边长为4，点是线段上的动点，过点作于点，将线段为边，在右侧作等边，求出点的运动轨迹长．
25．抛物线经过，两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若是线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，求线段的最大值；
(3)将抛物线在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分保持不变，翻折后图象与原图象在轴上方的部分组成了一个“”形状的新图象，若直线与该新图象恰好有三个公共点，求的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D A A A B D B
二、填空题
11．内
12．
13．
14．
15．
16．
三、解答题
17．【解】解：解法一：
解法二：
或
解法三：
18．【解】证明：连接
是的切线
19．【解】（1）解：如图，就是所求的三角形.
（2）如图，绕着顺时针方向旋转 得到，
，，
∴点经过的路径长为以为圆心，半径长为，且圆心角为的的长，
∵，，
，
，
∴点经过的路径长为．
20．【解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中抽到“.发红包”的结果有种，
∴甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到“.发红包”的概率是；
（2）解：列表如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人都未抽到“吃饺子”的结果有： ， 共种，
∴甲、乙两人都未抽到“.吃饺子”的概率为．
21．【解】（1）解：连接，如图1所示：
平分，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
直线是的切线；
（2）解：作，垂足为，如图2所示：
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在中，，
．
22．【解】（1）解：，
，
为任意不为的实数，
，，
解得，，
直线经过定点，；
（2）解：设、的横坐标分别为，，
则，为方程的两根，
整理得，
，，
，
当时，有最小值，最小值为，
当时，，
解得，，
则，
作轴交直线于点，如图，则，
，
的最小值为．
23．【解】解：（1）当时，设，
将和代入，可得
，解得，即；
当时，设，
将和代入，可得
，解得，即；
∴；
（2）当时，
销售利润，
当时，销售利润有最大值，为4000元；
当时，
销售利润，
该二次函数开口向上，对称轴为，当时位于对称轴右侧，
当时，销售利润有最大值，为4500元；
∵，
∴当售价为70元时，商家所获利润最大，最大利润是4500元．
24．【解】（1）证明：在正方形中，，
与都对应弧，
，
在和中，
；
（2）解：满足或，理由如下：
如图，当点在弧上,过点作于点，
∵是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是矩形，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，即；
当点在弧上时，在上取点，使，连接，
由（1），
，，，
在正方形中，，
，
，
，
是等腰直角三角形三角形，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，则，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴点N在以为直径的圆F上，
∵最大为，
∴最大为，即最大圆心角为，
∴点N的运动路径为．
25．【解】（1）解：将代入得，
解得：
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：∵在图象上，
∴，即，
设直线的解析式为：，代入，
则，
解得：，
线段所在的直线方程为：，
如图1，
由题意可设，其中，则，
，
当时，长度的最大值为，此时，点的坐标为；
（3）解：根据题意得到如图2，
，当过点时，直线与新图象有3个公共点，把代入得，
当与新图象的封闭部分有一个公共点（即相切）时，直线与新图象有3个公共点，
由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于轴对称，
所以其解析式为，
所以方程组有一组解，消去得到的方程有两个相等的实数根，则，
所以，
综上所述，或．
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