2025-2026学年上海上师大附中高三上学期数学月考（含答案）

上师大附中2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若复数满足（其中i表示虚数单位），则 .
2．已知函数为偶函数，则实数 ．
3．在中，，面积，则边长为 ．
4．设，若，则 ．
5．设，若幕函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ．
6．若关于的不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值是 .
7．已知，则的最大值为 ．
8．今年中秋和国庆共有连续8天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班.任选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为 .
9．若曲线有两条经过坐标原点的切线，则实数的取值范围是 .
10．已知函数.对任意，存在，使得，则实数的取值范围是 ．
11．若关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为 ．
12．已知函数，其中，存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是 .
二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分）
13．英国数学家哈利奥特最先使用＂＂和＂＂符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
14．函数的图像如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
15．对于函数，下列结论中正确的是（ ）.
A．该函数的值域是
B．当且仅当时，该函数取得最大值1
C．当且仅当时，
D．该函数是以为最小正周期的周期函数
16．已知函数的导函数为，且在上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）.
①＂＂是＂＂的充要条件；
②＂对任意，都有＂是＂在上为严格增函数＂的充要条件．
A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题
三、解答题（共5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数的表达式为．
（1）求函数的最小正周期及图像的对称轴的方程；
（2）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在上的单调增区间和值域.
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）已知，解不等式；
（2）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，求在上的解析式．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
现今许多运动赛事使用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道．记，三条轨道的总长度为米．
（1）将表示成的函数，并写出的取值范围；
（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若，点是函数上的动点，设点处切线的倾斜角为，求倾斜角的取值范围；
（3）若，对任意的，都有，求实数的取值范围．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与＂局部趋同＂．
（1）判断函数与是否＂局部趋同＂，并说明理由；
（2）已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与＂局部趋同＂；
（3）对于给定的实数，若存在实数，使得函数与＂局部趋同＂，求实数的取值范围．
上师大附中2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若复数满足（其中i表示虚数单位），则 ．
【答案】
2．已知函数为偶函数，则实数 ．
【答案】
3．在中，，面积，则边长为 ．
【答案】或
4．设，若，则 ．
【答案】
5．设，若幕函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ．
【答案】
6．若关于的不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值是 ．
【答案】
7．已知，则的最大值为 ．
【答案】
8．今年中秋和国庆共有连续8天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班.任选两名员工各值3天班，剩下的一名员工值2天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为 ．
【答案】
9．若曲线有两条经过坐标原点的切线，则实数的取值范围是 ．
【答案】
10．已知函数.对任意，存在，使得，则实数的取值范围是 ．
【答案】
11．若关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】当时，方程可化为，
即，则或（舍）；
当时，方程可化为；
要使原方程有三个根，则时有一根，时有两根，则
且，解得且，所以实数的取值范围为．
12．已知函数，其中，存在实数使得成立，若正整数的最大值为8，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】记．
下分情况讨论．若．
若存在，使得，且对于不成立，
只需．
若，同理可知．
若，此时对于任意的正整数，
令即可，因此不存在最大的正整数，
综上所述，实数的取值范围是．
二、选择题（13-14每题4分，15-16每题5分，共18分）
13．英国数学家哈利奥特最先使用＂＂和＂＂符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数，下列命题是真命题的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
14．函数的图像如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
15．对于函数，下列结论中正确的是（ ）.
A．该函数的值域是
B．当且仅当时，该函数取得最大值1
C．当且仅当时，
D．该函数是以为最小正周期的周期函数
【答案】C
16．已知函数的导函数为，且在上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ）.
①＂＂是＂＂的充要条件；
②＂对任意，都有＂是＂在上为严格增函数＂的充要条件．
A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题
【答案】C
【解析】对于①：设，则，
因为在上为严格增函数，故，
即，则在R上单调递增，
由于，故，即.
即；
当成立时，
即
由于在R上单调递增，故，
故＂＂是＂＂的充要条件，①为真命题；
对于②，当在上为严格增函数时，由对任意，则都有成立；
当对任意都有时，假设在上不为严格增函数，
即不恒大于等于0，即，使得，
由于在上为严格增函数，故时，，
此时在上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线，
故当趋近于负无穷时，的值将趋近于正无穷大，这与对任意都有矛盾，则假设不成立，即＂在上为严格增函数＂成立，即＂对任意都有＂是＂在上为严格增函数＂的充要条件，②为真命题，故选C.
三、解答题（共5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数的表达式为．
（1）求函数的最小正周期及图像的对称轴的方程；
（2）将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数在上的单调增区间和值域.
【答案】（1），对称轴方程为；
（2）单调增区间为;值域为．
【解析】（1）由已知
，则函数的最小正周期为，
令，得，
即函数的对称轴方程为；
（2）由（1），所以
∵，
即在上的值域为．
由，可得，即在上的单调增区间为．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
（1）已知，解不等式；
（2）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，求在上的解析式．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）原不等式可化为，∴，且，且，得．∴不等式的解集为．
（2）∵是奇函数，∴，得，
当时，．
当时，
∴
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
现今许多运动赛事使用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道．记，三条轨道的总长度为米．
（1）将表示成的函数，并写出的取值范围；
（2）当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为点是弧的中点，由对称性，知，，
又，由正弦定理，得，所以．
所以
因为，所以，所以．
（2）法一：由（1）得：．
记，则，
由辅助角公式可得：，解得，
当时，可有，等号可以取得．
故当时，三条轨道的总长度最小，此时．
法二：由（1）得：．
记，
则由万能置换公式可得：，
当且仅当即时等号成立．
故当，三条轨道的总长度最小，此时．
法三：令．
由，解得，则有
所以当，即米时，有唯一的极小值，即是最小值，
则，三条轨道的最小值为．
故当时，三条轨道的总长度最小，此时．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若，点是函数上的动点，设点处切线的倾斜角为，求倾斜角的取值范围；
（3）若，对任意的，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）极大值为，无极小值． （2） （3）
【解析】（1）若，则，得，
由，当时，严格增；
当时，严格减．所以，的极大值为，无极小值．
（2）若，则，
设函数上的动点，
则处切线斜率范围为，当且仅当即时取等号；
所以切线倾斜角的正切值，所以角的范围为.
（3）若，则，对任意的，
不妨设，由得即，
令，则在上单调递增，则在上恒成立，即，由
当时取最大值1，所以．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设函数与的定义域均为，若存在，满足且，则称函数与＂局部趋同＂．
（1）判断函数与是否＂局部趋同＂，并说明理由；
（2）已知函数．求证：对任意的正数，都存在正数，使得函数与＂局部趋同＂；
（3）对于给定的实数，若存在实数，使得函数与＂局部趋同＂，求实数的取值范围．
【答案】（1）不是 （2）证明见解析 （3）
【解析】（1），即为，也即
由与都不满足方程，故（＊1）无解，
所以与非＂局部趋同＂.
（2）即为等价于（＊2）
令，对于任意正数，由，
又在上的图像是连续不间断的，故在上至少有一个零点，
设是其中一个零点，则存在正数，使得（）在（）上有解，
故对任意的正数，都存在正数，使得函数与＂局部趋同＂．
（3）（＊），即为等价于（＊3）
令，则的图像在点处的切线的方程为，
即，令，可得，此时上述切线方程为，
故当且仅当时，直线与的图像相切，
由图像可知，当且仅当时，直线与的图像有公共点（在轴右侧），故当且仅当时，有正数解，此时存在，使得（）有正数解，从而与＂局部趋同＂.
所以满足条件的实数的取值范围是．