2025-2026学年北师大版数学九年级上册期末综合试卷（含答案）

2025-2026学年北师大版数学九年级上册期末综合试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________
一、单选题
1．下列给出的四条线段，是成比例线段的为（ ）
A．
B．
C．，，，
D．
2．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，转盘中四个扇形的面积都相等．小明随意转动转盘1次，指针指向的数字为偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．关于反比例函数y=-,下列说法正确的是(　　)
A．图象经过点(1,2)
B．图象在第一、三象限
C.当x>0时,y随x的增大而减小
D.当x<0时,y随x的增大而增大
5．用配方法解方程，下列变形正确的是（ ）
A． B．
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C． D．
6．如图，在菱形中，、分别是、的中点，如果，那么菱形的周长是（ ）

A． B． C． D．
7．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（ ）
A． B．
C． D．
8．《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验. 如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（　）．
A． B．4 C． D．5
9．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．10
10．如图，正方形的边长为16，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②若为上任意一点，则；③点在运动过程中，的值为定值16；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
11．如图，在中，，点D为斜边的中点.若，，则的长为 ．
12．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则m的值为 ．
13．如图，已知直线，直线m与直线、、分别交于点A、D、F，直线n与直线、、分别交于点B、C、E．若，则 ．

14．在张完全相同的卡片上，分别标出，，，，从中随机抽取张后，放回再混合在一起．再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是 ．
15．为了更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为80m的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为1m的出入门（如图），设垂直于墙的长方形边长为，则根据题意，可列方程 ．
16．如图,A,B两点在反比例函数y=-(x<0)的图象上,AB的延长线交x轴于点C,且AB=2BC,则△AOC的面积是　　　　　.
17．如图①，在区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小明发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速公路的限速区间段的平均行驶速度v（）与行驶时间t（h）是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于．若小明的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间为，则m的值可能是 ．（写出一个m的可能的值即可）
18．如图，在菱形中，，对角线，点是边的中点，点是对角线上的一个动点，连接、．则的最小值是 ．
三、解答题
19．解方程：
（1）；
（2）．
20．如图，在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体．
（1）请画出这个几何体从三个方向看的形状图；
（2）如果把这个几何体的表面（不含底面）喷上红色的漆，每平方厘米用2克，则一共需______克漆；
（3）若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体．
21．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》(A)、《算学启蒙》(B)、 《测圆海镜》(C)和《四元玉鉴》(D)是我国古代数学的重要文献．
（1）从这四本书中随机抽取一本，抽到《四元玉鉴》的概率为_____；
（2）某中学拟从这四部数学名著中选择 2 部作为校本课程“数学文化”的学习内容， 请用画树状图法或列表法， 求恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率．
22．已知关于x的一元二次方程．
（1）若，求方程的根；
（2）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，．
（1）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为；
（2）在（）的条件下，
①点的对应点的坐标为_____，点的对应点的坐标为_____；
②边上任意一点的对应点的坐标为_____．
24．如图，在中，为线段的中点，延长交的延长线于点，连接，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）在边上有一点，沿翻折，使得点的对应点落在上，用无刻度尺子和圆规作出折痕，保留作图痕迹，不写作图过程，
（3）在（2）的基础上，若，连接，求的长度，直接写出答案．
25．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）直线过点，与反比例函数图象交于点，与轴交于点，，连接．求的面积．
26．学科实践--测量物体的高度
活动课题：借助标杆测量校园内路灯、国旗杆的高度．活动工具：标杆、皮尺、激光仪等工具．
方案设计及问题解决（图中各点均在同一竖直平面内）：
（1）笃行组进行路灯测量（如图1），在路灯旁的水平空地上直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过．测量数据：米，米．计算图1中路灯的高度．
（2）缜密组想直接用笃行组的方法进行图2中国旗杆高度的测量，操作中发现：由于国旗杆底部台阶影响，无法测得线段的长，因此不能求得国旗杆高度．于是对笃行组的方案作出补充：在如图2中仍先直立一根高2米的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A，测得线段米；再直立一根同样高度的标杆，调整点处的激光仪，使它从点处发出的激光束恰好同时经过，A．并测得米，计算国旗杆的高度．
参考答案
1．【答案】B
【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键．根据成比例线段的定义，若a，b，c，d是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、 ，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误．
故选B．
2．【答案】D
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【详解】解：从左边看下面一层是两个小正方形，上面一层左边一个小正方形，
故选D．
3．【答案】D
【分析】本题考查计算几何概率，掌握相关知识是解决问题的关键．用符合条件的图形面积总面积来计算概率．
【详解】解：图中四个扇形的面积都相等，其中偶数数字占两个扇形面积，
∴．
故选D．
4．【答案】D
5．【答案】A
【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，移项，配方，变形，进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
∴；
故选A．
6．【答案】D
【分析】根据三角形的中位线定理，即可求得的长，进而求得菱形的周长．
【详解】解：、分别是、的中点，
，
菱形的周长是．
故选D．
7．【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解．
【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇．
∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边），
∴ 由勾股定理，得．
故选A．
8．【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解．
【详解】解：设蜡烛火焰的高度是，
由相似三角形的性质得，
解得．
即蜡烛火焰的高度是．
故选A
9．【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
设，可证明，则，，那么，再由，即可求解．
【详解】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选C．
10．【答案】A
【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定①正确；
连接，由四边形是矩形，得，再证，得，则，即可判定②正确；
证明，，从而得，即可判定③正确；
根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小，利用求得，即得线段的最小值为，即可判定④错误．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴ ，，，
∵于点，于点，
∴，
∴四边形是矩形，，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
故①正确；
连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
即的值为定值，
故③正确；
∵，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，
故④错误；
∴正确的有①②③，
故选A．
11．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质等知识，根据勾股定理求出，然后根据直角三角形斜边上中线的性质求解即可．
【详解】解∶∵， ，，
∴，
又点D为边的中点，
∴.
12．【答案】1
【分析】本题考查的是一元二次方程解的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，将代入方程即可求出m的值．
【详解】解：将代入方程，
得，
即，
解得.
13．【答案】
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．
【详解】解：直线，
，
.
14．【答案】/
【分析】根据题意列表法求概率即可求解．
【详解】解：列表如下，
共有16种等可能结果，符合题意的有8种，
∴第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是.
15．【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为，
由题意得，.
16．【答案】6
17．【答案】0.3（满足的任意一个值即可）
【分析】本题主要考查反比例函数；由题意可设，将代入，得到，结合题意得到，即可求出结果．
【详解】解：由题意可设，
将代入得，，
∴，
∵最高车速为，
∴在最高车速下的行驶时间，
同理可得，在最低车速下的行驶时间为，
∴通过段限速区间的行驶时间m应该在之间，
∴，
∵，
故答案为：0.3(答案不唯一)．
18．【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，
连接，根据两点之间线段最短可知的最小值为，再结合菱形的性质得，然后根据勾股定理得，可得，结合等腰三角形的性质得，，接下来根据勾股定理得，此题可解．
【详解】解：如图，连接，
作点P关于直线的对称点，则，点是的中点，
∴．
根据两点之间线段最短，可知的最小值为，
∵四边形是菱形，
∴，
根据勾股定理，得，
∴．
∵点是的中点，
∴，．
在中，．
所以的最小值为．
19．【答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活选用解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
（1）方程运用因式分解法求解即可；
（2）方程运用公式法求解即可．
【详解】（1）解：
或．
解得，．
（2）解：
，，．
．
．
，．
20．【答案】（1）见详解
（2）256
（3）4
【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体、几何体表面积计算以及添加小正方体的问题，熟练掌握几何体表面积的计算方法是解题的关键．
（1）需根据几何体的形状，分别从正面、左面、上面观察，确定每行每列小正方形的个数来绘制图形．
（2）先计算出几何体表面（不含底面）的正方形面的个数，再结合每个正方形的面积求出表面积，最后根据每平方厘米用漆量求出总用漆量．
（3）在保持从上面看和从左面看到的图形不变的前提下，分析每个位置可添加的小正方体个数，进而求出最多可添加的总数．
【详解】（1）解：形状图如图所示；
（2）解：这个几何体的表面有38个正方形，去掉底面上的6个，32个面需要喷上红色的漆．
∴表面积为．
（克），
∴共需256克漆．
（3）解：如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可以再添加个．
21．【答案】（1）
（2）
【分析】本题考查列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法．
（1）用简单概率公式进行求解即可；
（2）用树状图表示出所有等可能的情况和恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况，然后利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：抽到《四元玉鉴》的概率为.
（2）解：画树状图如下：
等可能的结果有12种，其中抽到组合的结果有2种，
∴恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率为．
22．【答案】（1），
（2）
【分析】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．
（1）把代入方程中，解方程即可；
（2）根据题意得到，求解即可．
【详解】（1）解：当时，方程为，
因式分解，得，
或，
，．
（2）解：方程有两个不相等的实数根，
，
∴
．
23．【答案】（1）画见详解
（2）①，；②
【分析】（）根据位似图形的性质画图即可；
（）①根据（）所画图象解答即可；②根据①中对应点的坐标变化解答即可；
本题考查了画位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：①由图可得，点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为.
②由①可得，边上任意一点的对应点的坐标为.
24．【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再证明，得到，且，由矩形的判定方法即可求证；
（2）根据折痕平分，或根据角平分线的性质定理尺规作图即可；
（3）由勾股定理得到，连接，过点B作于点，由等面积法得到，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，为线段的中点，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，且，
∴四边形是矩形；
（2）解：根据折叠得到，折痕平分，则尺规作的角平分线即可，如图所示，
；
或根据折叠得到，，以点D为圆心，以为半径画弧交于点，过点F作的垂线即可，如图所示，
；
（3）解：∵，
∴，
∵点O是中点，
∴，
如图所示，连接，过点B作于点，
∵，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴．
25．【答案】（1）4，12
（2）8
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、中点坐标公式以及三角形面积的计算．解题的关键是利用点在函数图象上的性质求出未知参数，结合线段相等的条件确定点的坐标，再运用坐标法计算三角形的面积．
（1）利用点 A 在一次函数图象上，将其纵坐标代入一次函数解析式求出 a 的值，再把点 A 坐标代入反比例函数解析式求出 k 的值．
（2）根据 可知 A 是 中点，结合中点坐标公式表示出 C 点坐标；作轴于，交于，利用点E与点C横坐标相同、且点E在一次函数上可求得点E的纵坐标，于是可得的长度，利用求得结果．
【详解】（1）把，代入得，，得，
∴，把，代入得，，
；
（2）点，点的纵坐标是0，，
点的纵坐标是，
把代入得，则．
如图，作轴于，交于，当时，，即，
又，于是，
；
26．【答案】（1）路灯的高度为5.8米
（2）米
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和应用．解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度．
（1）根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度；
（2）首先根据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据又米，米，，可得，等量代换可得，整理可得．
【详解】（1）解：，
，
，
米，米，米，
米，
，
解得：米；
（2）解： ，
，
，
又米，米，
，
整理得：，
，
，
，
又米，米，，
，
，
解得：．
即国旗杆的高度为米．