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5.4 抛体运动的规律
题型01 平抛运动的理解及基本规律的应用
1．“半壁山房待明月，一盏清茗酬知音”描绘了诗人以茶待友的画面。在某次茶道表演时，表演者保持如图所示的倒茶姿势不变，茶从长嘴铜壶壶嘴O点水平流出，忽略空气阻力，随着碗中水面逐渐升高，下列描述正确的是（ ）
A．茶水从O点流出时的速度不变
B．茶水落到水面时的速度变大
C．茶水从O点至水面的时间变长
D．茶水从O点至水面落点的水平距离变小
【答案】D
【详解】A．依题意，表演者保持如图所示的倒茶姿势不变，随着茶水的不断流出，壶中液面高度下降，则茶水从O点流出时的速度变小，故A错误；
BC．随着碗中水面的逐渐升高，壶嘴O到水面的高度h减小，根据
解得，可知茶水从O点至水面的时间变短；
根据，可知茶水落到水面时的速度变小，故BC错误；
D．根据，由于茶水从O点流出时的速度变小，茶水从O点至水面的时间变短，则茶水从O点至水面落点的水平距离变小，故D正确。
故选D。
2．“投圈”游戏中的投圈可以看成是平抛运动。一位同学第一次刚好投中了一件物品，第二次想投中一件稍远一点的物品，她应该（ ）
A．在原投抛点增大一点投抛速度 B．在原投抛点减小一点投抛速度
C．在原投抛点下方保持原投抛速度 D．在原投抛点下方减小一点投抛速度
【答案】A
【详解】AB．平抛运动水平方向是匀速直线运动，竖直方向是自由落体运动，有x＝v0t，h＝gt2
解得x＝v0，第二次想投中一件稍远一点物品，她应该在原投抛点增大一点投抛速度，故A正确，B错误；
CD．第二次想投中一件稍远一点的物品，她应该在原投抛点下方增大投抛速度，故C、D错误。
故选A。
3．如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（ ）
A． B．
C． D．（＋1）D
【答案】C
【详解】在竖直方向，有
水平方向，设出水孔到水桶中心距离为x，则
在竖直方向，有
落到桶底A点时
联立解得，故选C。
4．如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足
B．三只飞镖击中墙面的速度满足
C．三只飞镖击中墙面的速度满足
D．插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点
【答案】C
【详解】A．飞镖做平抛运动，水平分运动是匀速直线运动，有
x=v0t
飞镖击中墙面的速度与竖直方向夹角的正切值为
联立，解得
α越大，v0越大，故有
vA0>vB0>vC0
故A错误；
BC．根据平行四边形定则并结合几何关系，可得飞镖击中墙面的速度
故
vA=vC＞vB
故B错误；C正确；
D．飞镖做平抛运动，速度的反向延长线通过水平分位移的中点，而三只飞镖水平分位移的中点相同，故插在墙上的三只飞镖的反向延长线一定交于同一点。故D错误。
故选C。
5．如图所示，有三片荷叶伸出水面，一只青蛙要从荷叶c跳到低处荷叶上。若青蛙离开荷叶c时的速度为v1，则经过时间t1，青蛙恰好落到荷叶a的中心，且末速度方向与水平方向的夹角为θ1；若青蛙离开荷叶c时的速度为v2，则经过时间t2，青蛙恰好落到荷叶b的中心，且末速度方向与水平方向的夹角为θ2。将青蛙的跳跃均视为平抛运动，已知荷叶a中心与荷叶b中心的高度相同，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】AB．由平抛运动规律
得
因为两次平抛运动下落的高度相同，所以，故AB错误；
C．由平抛运动规律得，因为c到b的水平分位移更大，所以，故C错误；
D．因为，由
可知，所以，故D正确。
故选D。
6．小明将铅球水平抛出，不计空气阻力，从抛出时开始计时，下列关于铅球的加速度大小a、速度大小v、位移大小s、速度与水平方向夹角的正切值，它们随时间的变化关系中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】A．平抛运动中，加速度为重力加速度，保持不变，故A正确；
B．平抛运动中，铅球的速度大小为，故B错误；
C．平抛运动中，铅球的位移大小为，故C错误；
D．速度与水平方向夹角的正切值，图像为过原点的直线，故D错误。
故选A。
7．（多选）2022年5月世界纸飞机锦标赛在奥地利举办，第一名纸飞机飞出了61.11米的好成绩，下列关于纸飞机在空中飞行的（ ）
A．如果忽略空气阻力，则纸飞机的运动是抛体运动
B．纸飞机飞行过程中，速度一定变化
C．要想让纸飞机飞的更远，应该让抛出角度尽可能大
D．忽略空气阻力，纸飞机落到地面的速度要比他从手中抛出的速度大
【答案】ABD
【详解】A．如果没有空气的阻力，纸飞机只受重力的作用，速度沿水平方向，故纸飞机做抛体运动，A正确；
B．由于纸飞机做抛体运动，速度的大小和方向时刻在改变，B正确；
C．要使飞机飞的更远，除了和抛出的角度有关，还与抛出的初速度有关，并且，也并非抛出的角度越大，飞机飞的更远，C错误；
D．根据运动的合成与分解可知，落地时的速度应是水平速度和竖直方向上速度的合速度，由于抛体运动可以分解为水平方向的匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，故落地的速度大于从手中抛出的速度，D正确。
故选ABD。
8．如图所示，哪吒发现山脚下有一海妖由静止开始以的加速度沿水平方向向左逃向海边，于是他立即将乾坤圈沿水平方向抛出，经过恰好击中海妖。已知哪吒所在位置到海妖初始位置的水平距离，重力加速度取，不计空气阻力，海妖及乾坤圈均可视为质点。求：
(1)哪吒所在山顶与海妖所在位置之间的高度差；
(2)乾坤圈抛出时的速度大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设哪吒所在山顶与海妖所在位置之间的高度差为，乾坤圈抛出后，竖直方向做自由落体运动，有
（2）被乾坤圈击中前，海妖做匀加速直线运动，运动的距离为
故乾坤圈水平飞行的距离为
解得乾坤圈水平抛出时的速度大小为
题型02 多物体平抛问题
9．在一次学农活动中，农忙之余师生利用自制的沙包进行放松活动，教师和学生分别在A、B两点分别以速度和水平抛出沙包，两沙包在空中的C点相遇，忽略空气阻力，重力加速度为g，则（ ）
A．教师和学生同时抛出沙包
B．两沙包到C点的速度方向与竖直方向的夹角一定不相等
C．若已知A和C、B和C的高度差和，可求出A、B两点的距离
D．若教师远离学生几步，则需要与学生同时扔出沙包，两沙包才能相遇
【答案】C
【详解】AD．根据可知，教师抛出的沙包到达C点的时间较长，可知教师应先抛出沙包才能与学生抛出的沙包在C点相遇，若教师远离学生几步，竖直高度并未发生变化，故仍需要教师先抛出沙包，故选项AD错误；
B．两沙包到C点的速度方向与竖直方向的夹角满足
则若满足
时两沙包到C点的速度方向与竖直方向的夹角相等，选项B错误；
C．已知高度差和，则教师抛出的沙包满足
且
xAC=v1t1
学生抛出的沙包满足
且
xBC=v2t2
故可由
求解A、B两点的距离，故C正确。
故选C。
10．在饮料瓶侧壁的不同高度处开有A、B、C三个小孔，将饮料瓶装满水后竖直握住，水从三个小孔射出后做平抛运动，在空中形成的水柱如图甲所示，图乙为示意图。若、、分别表示水从小孔A、B、C射出时的初速度大小，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】水做平抛运动，设h为小孔距地面的高度，有
解得
所以
由于，
所以
故选A。
11．如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为2h，B点离地面高度为。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，两球同时落在水平地面上的同一点。不计空气阻力，已知重力加速度为g，则（ ）
A．两个小球可能同时抛出
B．两个小球抛出的初速度大小可能相等
C．两个小球抛出的时间间隔为
D．两个小球抛出的初速度大小之比
【答案】C
【详解】AC．两个小球抛出的时间间隔为
，，
解得，A错误，C正确；
BD．根据平抛运动规律得
，
解得
两个小球抛出的初速度大小之比
，BD错误。
故选C。
12．（多选）在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出两小球A和B，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力。要使两球在空中相遇，则必须 （ ）
A．先抛出A球 B．先抛出B球
C．同时抛出两球 D．A球的初速度大于B球的初速度
【答案】CD
【详解】ABC．平抛运动的落地时间只与竖直高度有关，要使两球在空中相遇必须同时抛出，故AB错误，C正确；
D．因A球在后B球在前，则需要A球的初速度大于B球的初速度，故D正确。
故选CD。
21．（多选）如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球以速度大小为v水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球以速度大小为v竖直向上抛出。在球上升到最高点时恰与球相遇，不计空气阻力。则在这段过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．两球的速度变化量大小相同 B．两球的相遇点在N点上方处
C．相遇时小球的速度方向与水平方向夹角为 D．M、N间的距离为h
【答案】AD
【详解】A．两球加速度均为重力加速度，则相同时间内速度变化量大小相同，故A正确；
C．两球相遇时间为
对于小球S1有
相遇时小球S1的速度方向与水平方向夹角为45°，故C错误；
B．相遇时，小球S1竖直方向的分位移大小为
小球S2竖直方向的位移大小为
可知相遇时两球竖直方向的分位移大小相等，则相遇点在N点上方处，故B错误；
D．M、N间的距离为
又
则有
故D正确。
故选AD。
题型03 与斜面有关的平抛运动
13．如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)( )
A．b与c之间某一点
B．c点
C．c与d之间某一点
D．d点
【答案】A
【详解】
过b做一条与水平面平行的一条直线，若没有斜面，当小球从O点以速度2v0水平抛出时，小球落在水直线上时水平位移变为原来的2倍，则小球将落在我们所画水平线上c点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的b、c之间。
故选A。
14．如图所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机以恒定速度沿水平方向飞行，先后释放1和2两颗炸弹，分别击中倾角为的山坡上的A点和B点，释放两颗炸弹的时间间隔为，此过程中飞机飞行的距离为；先后击中A、B的时间间隔为，A、B两点间水平距离为，炸弹1到达山坡的A点时位移垂直斜面，炸弹2垂直击中山坡的B点。不计空气阻力，下列正确的是（ ）
A．
B．炸弹1在空中飞行的时间为
C．炸弹2在空中飞行的时间为
D．增大，其余条件均不变，与的差值变小
【答案】A
【详解】B．1炸弹到达山坡的A点位移垂直斜面，则
可得
选项B错误；
C．2炸弹是垂直击中山坡B点，则
可得
选项C错误；
D．由于Δt2＝(Δt1+tB) tA＝Δt1
则
增大，差值变大，故D错误。
A．因为s1=v0 Δt1
所以s2=v0（Δt1+tB）-v0tA=v0 Δt2
故A正确。
故选A。
15．跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以的初速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度g取，，。则运动员在空中离斜坡的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】将运动员的运动分解为垂直斜坡和沿斜坡两个分运动，垂直斜坡方向有，
则运动员在空中离斜坡的最大距离为
故选B。
16．跳台滑雪是利用跳台进行的一种跳跃滑雪比赛，是冬奥会正式比赛项目之一。如图是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，运动员从助滑雪道上由静止开始滑下，到达A点后水平飞出，落到滑道（足够长）上的B点，AB之间的距离为l，P是运动轨迹上的一点，在该点运动员的速度方向与AB平行大小为。PC垂直于AB，PD为竖直方向，不计空气阻力，则关于运动员离开A点后的飞行过程，下列说法正确的是（ ）
A．飞行时间
B．飞行时间
C．AD的长度小于BD的长度
D．BC的长度等于AC长度的三倍
【答案】B
【详解】AB．建立如图所示的坐标系，将沿、轴进行分解如图所示，则有，
同理，将重力加速度沿、轴进行分解可得，
则运动员沿x轴做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动规律则有
解得飞行时间为，故A错误，B正确；
CD．根据运动的对称性可知
由于在x轴方向运动员做初速度为的匀加速直线运动，且，故BC的长度不等于AC长度的三倍，故CD错误。
故选B。
17．主题口号为“冰雪同行”的2025年亚冬会圆满落幕。跳台滑雪比赛在哈尔滨举行，如图，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡CD、停止区DE三部分组成。比赛中，甲、乙两运动员先后以速度v1、v2从C点正上方B处沿水平方向飞出，分别落在了着陆坡的P、D两点，运动员可看成质点，不计空气阻力，着陆坡的倾角为θ，重力加速度为g，若P为DC中点，BC高度恰为C离地面高度h的一半，则（ ）
A．
B．甲、乙运动员在空中飞行时间之比为2∶3
C．甲、乙运动员落到着陆坡时竖直方向的分速度之比为
D．甲、乙运动员落到着陆坡时的速度方向相同
【答案】C
【详解】B．由题意可知BC=h，则落到P点时竖直高度为h；落到D点时的竖直高度为1.5h，根据
可知甲、乙运动员在空中飞行时间之比为，选项B错误；
A．甲乙的水平位移之比为1:2，根据
可得
选项A错误；
C．根据
可知甲、乙运动员落到着陆坡时竖直方向的分速度之比为
选项C正确；
D．落到斜坡时速度方向与水平方向夹角
可知
可知甲、乙运动员落到着陆坡时的速度方向不相同，选项D错误。
故选C。
18．如图，在一个倾角为的斜面上，以一个与斜面成角的初速度抛出一个小球正好能水平落在斜面上，重力加速度取g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．一定有
B．一定有
C．落在斜面上的速度为
D．抛出后经时，小球离斜面最远
【答案】D
【详解】ABD．根据题意，建立如图所示的坐标系，将初速度及重力加速度分别沿、轴进行分解，则有，
重力加速度的分解为，
由此可知，小球沿、方向均做匀减速运动，根据匀变速运动规律，可知沿x方向则有
沿y方向则有
设经过时间小球离斜面最远，则有
解得
根据运动的对称性可知小球落在斜面上时，垂直斜面方向上的速度
小球在空中运动的时间
解得小球落在斜面上时，沿斜面方向的速度
由于小球沿水平方向打在斜面上，则有
联立解得，故AB错误，D正确；
C．结合上述分析，由几何关系可知，小球落在斜面上的速度大小为，故C错误。
故选D。
19．（多选）一种定点投抛的游戏可简化为如图所示的模型，斜面AB的倾角为，A、B两点分别是斜面的最低端和顶端，洞口处于斜面上的P点。第一次小球以水平速度从O点抛出，正好落入洞中的P点，OP的连线正好与斜面垂直；第二次小球以水平速度v也从O点抛出时，小球正好与斜面在Q点（图中未标出）垂直相碰。O点在A点的正上方，不计空气阻力，重力加速度的大小g取，，。下列说法正确的是（ ）
A．小球落在P点的时间是0.4s B．Q点在P点的下方
C．第二次小球水平速度v大于3m/s D．O、A两点的高度差为5m
【答案】CD
【详解】A．第一次以水平速度从O点抛出小球，正好落入倾角为θ的斜面上的洞中，此时位移垂直于斜面，由几何关系可知
解得，故A错误；
BC．根据速度偏角的正切值等于位移偏角的正切值的二倍，当小球以水平速度v从O点抛出，小球正好与斜面在Q点，此时速度偏角小于第一次的速度偏角，可知此时落到斜面上的位移偏角小于以水平速度抛出时落到斜面上的位移偏角，所以Q点在P点的上方，则，水平位移，水平方向做匀速直线运动，所以，故B错误，C正确；
D．根据几何关系结合运动学规律可得O、A两点的高度差，故D正确。
故选CD。
20．如图所示，高台滑雪运动员经过一段滑行后从斜坡上的O点水平飞出，落到斜坡上的A点，A点与O点的距离sOA=100m。已知斜坡与水平面的夹角θ=37°，运动员连同滑雪板可视为质点，总质量m=60kg，忽略空气阻力的影响，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
(1)运动员在空中飞行时间；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员离斜玻最远时相对O点的位移大小
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）竖直方向
解得
（2）水平方向
解得
（3）运动员离斜玻最远时与斜坡平行，运动时间为
水平方向的位移
竖直方向的位移
运动员相对O点的位移大小
解得
题型04 与圆弧有关的平抛运动
21．（多选）如图所示，一半径为R的半球形坑，其中坑边缘两点与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别将、两个小球以、的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知，，，重力加速度为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中
【答案】AD
【详解】A．从Ｍ点抛出的小球，
解得，故Ａ正确；
B．从N点抛出的小球，
解得，故B错误；
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，则运动时间相同均为
根据
两球抛出的速率之和
随着落点的竖直高度的变化而变化，故C错误；
D．根据平抛运动的推论：速度的反向延长线交水平位移的中点，假设小球垂直落在半球型坑中，速度反向延长线过球心O并不是水平位移的中点，两者矛盾，所以假设错误，不可能使小球垂直坑壁落在圆弧轨道内，故D正确。
故选AD。
22．（多选）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，轨道半径为，圆心为、分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的点，重力加速度为，小球可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．若，小球运动到点时速度与水平方向的夹角为，则有
B．无论调整的大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧上
C．改变的大小，小球落到圆弧上的速度最大值为
D．改变的大小，小球落到圆弧上速度的最小值为
【答案】ABD
【详解】A．设，则平抛运动位移的偏转角为
当速度的偏转角为时，根据平抛运动的推论，可得
综合可得
故A正确；
B．由于速度的反向延长线恰好过与抛出点等高的水平位移的中点处，若与圆弧垂直，恰好与半径一致，两者相矛盾，因此球都不可能垂直撞击在圆弧上，故B正确；
CD．若让小球从A点以不同初速度水平向右抛出，由平抛运动的规律可得小球刚到达某点点时的速度为
结合，，
综合可得
由数学知识可得
则的最小值为
故C错误，D正确。
故选ABD。
23．水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具。图甲为风景区内的一架水车，图乙为水车工作时的示意图，高处的水从水槽中以速度大小沿水平方向流出，水流出后垂直落在与水平面夹角为的水轮叶面上，冲击轮叶使水车转动。水在空中的运动可视为平抛运动。重力加速度为。取，。求：
(1)水流落在水轮叶面前瞬间的速度大小v；
(2)槽口和冲击点的水平位移x。
【答案】(1)
(2)4.8m
【详解】（1）如图乙，水流落在轮叶上的速度v沿水车切线方向，速度v与竖直方向的夹角为θ，有
（2）竖直方向有
槽口至冲击点的时间
槽口和冲击点的水平位移
题型05 类平抛运动的分析
24．一辆公交车沿直线匀速驶入站台时，站台上等候的某乘客不小心将手中小球掉落。若以小球为参考系，以公交车前进的方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，不计空气阻力，则在下列四幅图中，可表示公交车运动轨迹的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】以小球为参照物，以汽车前进方向为正x轴方向，竖直向下为y轴，公交车的运动可视为沿x轴正方向的匀速直线运动和竖直向上的自由落体运动的合运动，即相当于沿x轴正方向且向上弯曲的类平抛运动。符合公交车运动轨迹的是C图。
故选C。
25．滑雪场部分路段如图所示，光滑长方形斜面与水平面夹角。某滑雪者自点以速度水平冲上斜面后自由滑行，刚好能够从点滑出，已知，取。则滑雪者经过点时速度大小为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】滑雪者冲上ABDC斜面后加速度
根据
得滑雪者经过D点时沿斜面向下的分速度
滑雪者经过D点时的速度大小
故选B。
26．（多选）如图所示，一斜面体固定在水平面上，斜面光滑且为矩形，倾角为θ，斜面的左上方顶点 P 与右下方顶点Q之间固定一与斜面垂直的挡板，挡板与斜面底边的夹角也为θ，一可视为质点的小物块由 P 点以平行于斜面底边的初速度水平射出，落在挡板上不再反弹。已知重力加速度为g，小物块在运动过程中始终在斜面上滑动，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小物块由P点抛出到落在挡板上所用时间为
B．小物块由P点抛出到落在挡板上所用时间为
C．若初速度变为，小物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的2倍
D．若初速度变为，小物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的4倍
【答案】BD
【详解】AB．小球的加速度方向平行斜面向下，大小为
小球在斜面上做类平抛运动，从P点抛出到落在挡板上有
解得，故A错误，B正确；
CD．根据
若初速度变为，则小物块由P点抛出到落在挡板上的时间变为原来的2倍；根据
可知沿初速度方向的位移变为原来的4倍，根据
可知物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的4倍，故C错误，D正确。
故选BD。
27．风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图所示，在一次实验中，风洞竖直放置且足够长，质量为m的小球从A点以速度沿直径水平进入风洞。小球在风洞中运动时受到的风力F恒定，方向竖直向上，风力大小F可在0~3mg间调节。小球可视作质点，碰壁后不反弹，重力加速度g取，风洞横截面直径。
（1）当时，求小球撞击右壁的速度大小和方向；
（2）保持不变，调节F的大小，求小球撞击右壁的区域长度。
【答案】（1），速度方向与水平方向夹角为；（2）15m
【详解】（1）当时，小球做平抛运动，水平方向有
解得
竖直分速度为
小球撞击右壁的速度大小
令速度与水平方向夹角为，则有
，
（2）结合上述，当时，小球做平抛运动，竖直方向的分位移
解得
当时，根据牛顿第二定律有
小球做类平抛运动，则有
，
解得
则小球撞击右壁的区域长度
题型06 斜抛运动
28．某工厂训练机械手投掷小球，使小球垂直墙面进入小孔。机械手固定在匀速运动的轨道小车上，轨道与墙面平行，轨道到墙面的距离为。墙面小孔与机械手掷球位置高度差为。机械手选择在恰当位置掷出小球，掷出后瞬间小球相对地面速率为，小球恰好垂直墙面进入小孔。重力加速度，忽略空气阻力。则速率最接近（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为小球垂直墙面进入小孔，所以小球被掷出后无平行于轨道方向的分速度，小球竖直方向运动位移，根据速度-位移公式
可得竖直方向速度
根据
解得飞行时间
垂直墙面方向小球做匀速直线运动，位移，根据
解得掷球速率
故选B。
29．库里以其伟大的三分球技艺闻名于世，2025年3月14日，库里在对阵国王比赛中，达成4000记三分里程碑，他对篮球投出的初速度大小和方向的把控堪称极致。如图甲所示为库里正在投篮，若库里在某次比赛中两次跳起投篮时投球点和篮筐正好在同一水平面上，篮球运动的轨迹如图乙中1、2所示，则（ ）
A．轨迹2运动的时间更长 B．轨迹1最高点时速度更小
C．轨迹2抛出的初速度一定更大 D．轨迹2的加速度更小
【答案】A
【详解】A．斜抛运动到最高点过程，逆向思维法可知，该过程可看成反向的平抛运动，根据可知高度h越大，时间t越长，图乙可知轨迹2的高度大，根据对称性可知轨迹2运动的时间更长，故A正确；
B．水平方向做匀速直线运动，则有
由于轨迹1运动的时间更短，轨迹1的水平分速度更大，即轨迹1最高点时速度更大，故B错误；
C．根据
由于轨迹2的高度大，所以轨迹2抛出时的竖直分速度更大，又轨迹2抛出时的水平分速度更小，根据
可知轨迹2抛出的初速度不一定更大，故C错误；
D．篮球在空中只受重力作用，所以轨迹1和轨迹2的加速度均为重力加速度，故D错误。
故选A。
30．（多选）河源新丰江音乐喷泉又称亚洲第一高喷，其夜间景象如图所示，水柱由喷头喷出，喷头可沿任意方向旋转，水流速度大小也可随音乐的声调高低进行调节。某兴趣小组为研究某次喷泉的水柱运动规律，现测量出其中一个喷头将水柱斜向上喷出，喷射的最远水平距离为120m，最大高度为80m（喷头略高于水面，但喷头高度忽略不计，重力加速度取，忽略空气阻力）。下列说法正确的是（ ）
A．水柱在空中的运动时间为4s
B．水柱在空中的运动时间为8s
C．水柱到达最高点时的速度大小为15m/s
D．水柱到达地面时的速度方向与水平方向夹角的正切值为
【答案】BC
【详解】AB．水柱上升的时间为
根据对称性可得
所以在空中运动时间为，故A错误，B正确；
C．水柱到达最高点时的速度大小等于水平方向的速度，则有，故C正确；
D．水柱到达地面时，竖直方向的速度
得速度方向与水平方向夹角的正切值，故D错误。
故选BC。
31．（多选）投沙包是一种简单而有趣的游戏，南宁三中课外活动社团举办投沙包比赛，游戏规则为：参赛者站在离得分区域边界一定的距离外将沙包抛出，每个得分区域的宽度，根据沙包停止点判定得分。如图，某同学以大小、方向垂直于且与水平地面夹角的初速度斜向上抛出沙包，出手点距的水平距离，距地面的高度。已知，，取重力加速度大小，空气阻力不计。下列说法中正确的是（ ）
A．沙包在空中运动过程中任意相等时间内速度的变化都相同
B．沙包在空中运动时间为0.6s
C．沙包恰落在4分、6分得分区的分界线上
D．沙包落地时的速度大小为
【答案】AC
【详解】A．沙包在运动过程中只受重力，加速度为重力加速度，根据可知，运动过程中任意相等时间内速度的变化量都相同，故A正确；
B．沙包竖直方向的初速度为
沙包向上运动到速度减为0所用时间为
上升的高度为
之后沙包在竖直方向做自由落体运动，根据
解得
则沙包在空中运动时间为，故B错误；
C．沙包抛出的水平初速度为
所以从抛出到落地沙包的水平位移为
可知沙包恰落在4分、6分得分区的分界线上，故C正确；
D．沙包落地时的竖直分速度大小为
则沙包落地时的速度大小为，故D错误。
故选AC。
32．喷灌是现代灌溉的一种方式，有省水、省工、提高土地利用率、增产和适应性强等优点。如图所示为植物园里浇灌水平草皮的情景。已知该喷头距地面高度，，喷头可向四周以相同速率喷出大量水射流（水射流是由喷嘴流出的高速水流束），水射流可以与水平面成的所有角度喷出。当水射流水平喷出时，水平射程为。忽略空气阻力，取重力加速度为 。
(1)求水射流喷出时的速率；
(2)水射流水平喷出时，落地速度v；（结果可用根式表示，方向由角的正切值表示）
(3)若保持水射流与水平面成斜向上喷出，求水射流在地面上的落点所形成圆的半径（结果可用根式表示）。
【答案】(1)
(2)，与水平面间夹角的正切值为
(3)
【详解】（1）当水射流水平喷出时，做平抛运动，竖直方向
水平方向
联立解得
（2）竖直速度
故
落地时方向与水平面间的夹角的正切值
（3）若水射流保持与水平面成斜向上喷出，水射流向上运动的时间
水射流从最高点运动到地面过程中，有
解得
水射流水平射程为
故水射流在地面上的落点所形成圆的半径为
题型07 平抛运动中的临界、极值问题
33．如图所示，从高处的A点先后水平抛出两个小球1和2，球1与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上的竖直挡板，落在水平地面上的点，球2恰好越过挡板也落在点。已知球1与地面碰撞前后水平速度不变，竖直速度等大反向，忽略空气阻力，不计挡板的厚度，则竖直挡板的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设1、2球的初速度分别为、，从抛出到落到点运动的时间分别为、，则对两球在水平方向有
两球均落到D点，根据对称性可知，小球1和2运动总时间之比为
所以，又因两球飞过竖直挡板前的水平位移相同，而速度的水平分量的关系为，故它们从抛出至挡板的时间满足
设球1从第一次落地到飞至挡板顶端所用的时间为，则上述关系可写为
球1第一次落地时速度的竖直分量为
到达挡板顶端时速度的竖直分量为
两者满足
联立方程并代入数据可得。
故选C。
34．（多选）某次排球训练中，运动员在左侧底线处将球沿水平方向击出，球的初速度与左侧底线垂直。球刚好扫过球网上边缘，又恰好落在右侧底线上。若忽略排球大小且不计空气阻力，重力加速度g取，下列选项正确的是（ ）
A．球被击出时初速度的大小
B．球被击出时离地面的高度
C．球被击出时离球网上边缘的高度
D．球在空中运动的时间
【答案】BD
【详解】设排球运动时间为t，初速度v0，击出时的竖直高度为h，则排球从击出到到达网的上方过程，
从击出到落地
解得，v0=22.5m/s，h=3.2m
球被击出时离球网上边缘的高度
故选BD。
35．2024年，中国选手郑钦文在巴黎奥运会上夺得金牌，掀起了全民网球运动的热潮。某学校网球场地示意图如图所示，场地水平，半场长度，中央球网高。某同学在练习击球时，击球点到地面的距离保持，球的运动都视为平抛运动，取重力加速度。
(1)该同学站在底线MN上的P点水平发球，P点到M点的距离为6m，球能过网且落在阴影区域内视为发球成功，则该同学发球成功的发球初速度最大不能超过多少？
(2)若某次击球时，该同学在P点将球垂直于底线MN水平击出，球恰好贴近网的上边而过，求球落地的瞬时速度大小及球落地点到网的距离。（计算结果中可有根式）
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1）点到阴影区域最大距离为
球落地的时间为
则初速度为
P点到球网距离为
球能通过球网的最长时间为
速度为
可得
则该同学发球成功的发球初速度最大不能超过。
（2）球落地的时间为
球通过球网的时间为
球的初速度为
球落地点到网的距离
球落地的瞬时速度为
36．某公园的台阶如图甲所示，已知每级台阶的水平距离，高度，台阶的侧视图如图乙所示，虚线AB恰好通过每级台阶的顶点。某同学将一小球置于最上面台阶边缘的A点，并沿垂直于台阶边缘将其以初速度v水平抛出，空气阻力不计。
(1)若要使小球恰好撞到第1级台阶的平台边缘顶点上，求小球初速度v为多大？
(2)若要使小球第一次碰到台阶只能碰在第4级台阶的平台上，且又不撞到顶点，求小球初速度v的取值范围？
(3)若小球可直接击中B点，求此种情况下小球从抛出开始到离虚线AB最远时所经历的时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）要使小球恰好撞到第1级台阶的平台边缘顶点上，
得
（2）要使小球第一次碰到台阶只能碰在第4级台阶的平台上，最近的临界情况就是撞在第3级台阶的顶点，则，
得
最远的临界情况就是撞在第4级台阶的顶点，则，
得
不撞到顶点，小球初速度为
（3）若小球可直接击中点，则有，
得
当小球的速度平行与AB时，小球离虚线最远，则
且
得
重难点突破
37．（多选）如图所示，飞虫以速度沿离水平地面高的水平线匀速飞行，经过点时，前方地面上处的一只青蛙竖直跳起，青蛙速度为零时恰好上升并捉住虫子。不计空气阻力，飞虫与青蛙均视为质点，重力加速度为，则（ ）
A．飞虫飞行的距离为 B．飞虫飞行的距离为
C．青蛙跳起时的速度大小为 D．青蛙跳起时的速度大小为
【答案】BC
【详解】青蛙竖直向上跳起，做加速度的匀减速运动，速度为零时，恰好捉住虫子，有
飞虫飞行距离
可得飞虫飞行的距离为
青蛙跳起时的速度
故选BC。
38．如图为娱乐节目中某个通关环节示意图，参赛选手从高台上以一定的速度水平跳出，落到水中的平台上才能进入下一通关环节。图中高台离平台水平面高。平台距离高台，平台宽度为（不计空气阻力，）。则：
(1)选手要落到平台上，水平跳出的速度至少为多少？
(2)某质量为50kg的选手因跳出的速度太大，刚好从平台的右侧边缘落入水中，求选手的起跳水平初速度大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选手要落到平台上，水平跳出的速度至少为，下落时间为t，则水平方向有
竖直方向有
联立解得，
（2）若选手刚好从平台的右侧边缘落入水中，设选手跳出的初速度为，则水平方向有
解得
39．某同学正在参加一个弹力球游戏：游戏者必须站在指定起点将弹力球水平抛出，弹力球碰到地面再次弹起飞行后落入指定区域即为挑战成功。该同学将弹力球以初速度v0=6m/s从指定地点水平抛出，弹力球第一次落地点到抛出点的水平距离为2.4m。弹力球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
(1)该同学抛弹力球时的竖直高度；
(2)若该同学保持水平抛球速度v0=6m/s不变，碰撞后竖直分速度反向，大小变为原来的；水平分速度方向不变，大小变为原来的。地面指定区域为半径R=0.2m的圆，圆心到抛出点水平直线距离为6.2m。弹力球与地面碰撞时间忽略不计，则该同学能游戏成功的抛球竖直高度至少为多少？
【答案】(1)0.8m
(2)1.8m
【详解】（1）弹力球第一次落地点到抛出点的水平距离为
解得弹力球运动时间
该同学抛弹力球时的竖直高度
（2）设该同学能游戏成功的抛球竖直高度至少为，则
解得弹力球第一次落地前运动时间
由，可得弹力球第一次落地时竖直方向的速度大小
则弹力球第一次落地时水平位移大小为
弹力球第一次落地反弹后竖直方向速度大小为
弹力球第一次落地反弹后水平方向速度大小为
弹力球第一次落地反弹后运动时间
弹力球第一次落地反弹后运动水平位移大小为
弹力球两次运动的水平位移大小为
又
解得
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5.4 抛体运动的规律
题型01 平抛运动的理解及基本规律的应用
1．“半壁山房待明月，一盏清茗酬知音”描绘了诗人以茶待友的画面。在某次茶道表演时，表演者保持如图所示的倒茶姿势不变，茶从长嘴铜壶壶嘴O点水平流出，忽略空气阻力，随着碗中水面逐渐升高，下列描述正确的是（ ）
A．茶水从O点流出时的速度不变
B．茶水落到水面时的速度变大
C．茶水从O点至水面的时间变长
D．茶水从O点至水面落点的水平距离变小
2．“投圈”游戏中的投圈可以看成是平抛运动。一位同学第一次刚好投中了一件物品，第二次想投中一件稍远一点的物品，她应该（ ）
A．在原投抛点增大一点投抛速度 B．在原投抛点减小一点投抛速度
C．在原投抛点下方保持原投抛速度 D．在原投抛点下方减小一点投抛速度
3．如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为（ ）
A． B．
C． D．（＋1）D
4．如图所示，某人从同一位置O以不同的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的速度方向，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A．三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足
B．三只飞镖击中墙面的速度满足
C．三只飞镖击中墙面的速度满足
D．插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点
5．如图所示，有三片荷叶伸出水面，一只青蛙要从荷叶c跳到低处荷叶上。若青蛙离开荷叶c时的速度为v1，则经过时间t1，青蛙恰好落到荷叶a的中心，且末速度方向与水平方向的夹角为θ1；若青蛙离开荷叶c时的速度为v2，则经过时间t2，青蛙恰好落到荷叶b的中心，且末速度方向与水平方向的夹角为θ2。将青蛙的跳跃均视为平抛运动，已知荷叶a中心与荷叶b中心的高度相同，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．小明将铅球水平抛出，不计空气阻力，从抛出时开始计时，下列关于铅球的加速度大小a、速度大小v、位移大小s、速度与水平方向夹角的正切值，它们随时间的变化关系中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选）2022年5月世界纸飞机锦标赛在奥地利举办，第一名纸飞机飞出了61.11米的好成绩，下列关于纸飞机在空中飞行的（ ）
A．如果忽略空气阻力，则纸飞机的运动是抛体运动
B．纸飞机飞行过程中，速度一定变化
C．要想让纸飞机飞的更远，应该让抛出角度尽可能大
D．忽略空气阻力，纸飞机落到地面的速度要比他从手中抛出的速度大
8．如图所示，哪吒发现山脚下有一海妖由静止开始以的加速度沿水平方向向左逃向海边，于是他立即将乾坤圈沿水平方向抛出，经过恰好击中海妖。已知哪吒所在位置到海妖初始位置的水平距离，重力加速度取，不计空气阻力，海妖及乾坤圈均可视为质点。求：
(1)哪吒所在山顶与海妖所在位置之间的高度差；
(2)乾坤圈抛出时的速度大小。
题型02 多物体平抛问题
9．在一次学农活动中，农忙之余师生利用自制的沙包进行放松活动，教师和学生分别在A、B两点分别以速度和水平抛出沙包，两沙包在空中的C点相遇，忽略空气阻力，重力加速度为g，则（ ）
A．教师和学生同时抛出沙包
B．两沙包到C点的速度方向与竖直方向的夹角一定不相等
C．若已知A和C、B和C的高度差和，可求出A、B两点的距离
D．若教师远离学生几步，则需要与学生同时扔出沙包，两沙包才能相遇
10．在饮料瓶侧壁的不同高度处开有A、B、C三个小孔，将饮料瓶装满水后竖直握住，水从三个小孔射出后做平抛运动，在空中形成的水柱如图甲所示，图乙为示意图。若、、分别表示水从小孔A、B、C射出时的初速度大小，则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，A、B两点在同一条竖直线上，A点离地面的高度为2h，B点离地面高度为。将两个小球分别从A、B两点水平抛出，两球同时落在水平地面上的同一点。不计空气阻力，已知重力加速度为g，则（ ）
A．两个小球可能同时抛出
B．两个小球抛出的初速度大小可能相等
C．两个小球抛出的时间间隔为
D．两个小球抛出的初速度大小之比
12．（多选）在同一水平直线上的两位置分别沿同方向抛出两小球A和B，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力。要使两球在空中相遇，则必须 （ ）
A．先抛出A球 B．先抛出B球
C．同时抛出两球 D．A球的初速度大于B球的初速度
21．（多选）如图所示，在水平地面上M点的正上方h高度处，将小球以速度大小为v水平向右抛出，同时在地面上N点处将小球以速度大小为v竖直向上抛出。在球上升到最高点时恰与球相遇，不计空气阻力。则在这段过程中，下列说法中正确的是（ ）
A．两球的速度变化量大小相同 B．两球的相遇点在N点上方处
C．相遇时小球的速度方向与水平方向夹角为 D．M、N间的距离为h
题型03 与斜面有关的平抛运动
13．如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)( )
A．b与c之间某一点
B．c点
C．c与d之间某一点
D．d点
14．如图所示，某次空中投弹的军事演习中，战斗机以恒定速度沿水平方向飞行，先后释放1和2两颗炸弹，分别击中倾角为的山坡上的A点和B点，释放两颗炸弹的时间间隔为，此过程中飞机飞行的距离为；先后击中A、B的时间间隔为，A、B两点间水平距离为，炸弹1到达山坡的A点时位移垂直斜面，炸弹2垂直击中山坡的B点。不计空气阻力，下列正确的是（ ）
A．
B．炸弹1在空中飞行的时间为
C．炸弹2在空中飞行的时间为
D．增大，其余条件均不变，与的差值变小
15．跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动，运动员在滑雪道上获得一定速度后从跳台飞出，在空中飞行一段距离后着陆。如图所示，运动员从跳台A处沿水平方向以的初速度飞出，落在斜坡上的B处，斜坡与水平方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度g取，，。则运动员在空中离斜坡的最大距离为（ ）
A． B． C． D．
16．跳台滑雪是利用跳台进行的一种跳跃滑雪比赛，是冬奥会正式比赛项目之一。如图是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，运动员从助滑雪道上由静止开始滑下，到达A点后水平飞出，落到滑道（足够长）上的B点，AB之间的距离为l，P是运动轨迹上的一点，在该点运动员的速度方向与AB平行大小为。PC垂直于AB，PD为竖直方向，不计空气阻力，则关于运动员离开A点后的飞行过程，下列说法正确的是（ ）
A．飞行时间
B．飞行时间
C．AD的长度小于BD的长度
D．BC的长度等于AC长度的三倍
17．主题口号为“冰雪同行”的2025年亚冬会圆满落幕。跳台滑雪比赛在哈尔滨举行，如图，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡CD、停止区DE三部分组成。比赛中，甲、乙两运动员先后以速度v1、v2从C点正上方B处沿水平方向飞出，分别落在了着陆坡的P、D两点，运动员可看成质点，不计空气阻力，着陆坡的倾角为θ，重力加速度为g，若P为DC中点，BC高度恰为C离地面高度h的一半，则（ ）
A．
B．甲、乙运动员在空中飞行时间之比为2∶3
C．甲、乙运动员落到着陆坡时竖直方向的分速度之比为
D．甲、乙运动员落到着陆坡时的速度方向相同
18．如图，在一个倾角为的斜面上，以一个与斜面成角的初速度抛出一个小球正好能水平落在斜面上，重力加速度取g，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．一定有
B．一定有
C．落在斜面上的速度为
D．抛出后经时，小球离斜面最远
19．（多选）一种定点投抛的游戏可简化为如图所示的模型，斜面AB的倾角为，A、B两点分别是斜面的最低端和顶端，洞口处于斜面上的P点。第一次小球以水平速度从O点抛出，正好落入洞中的P点，OP的连线正好与斜面垂直；第二次小球以水平速度v也从O点抛出时，小球正好与斜面在Q点（图中未标出）垂直相碰。O点在A点的正上方，不计空气阻力，重力加速度的大小g取，，。下列说法正确的是（ ）
A．小球落在P点的时间是0.4s B．Q点在P点的下方
C．第二次小球水平速度v大于3m/s D．O、A两点的高度差为5m
20．如图所示，高台滑雪运动员经过一段滑行后从斜坡上的O点水平飞出，落到斜坡上的A点，A点与O点的距离sOA=100m。已知斜坡与水平面的夹角θ=37°，运动员连同滑雪板可视为质点，总质量m=60kg，忽略空气阻力的影响，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
(1)运动员在空中飞行时间；
(2)运动员离开O点时的速度大小；
(3)运动员离斜玻最远时相对O点的位移大小
题型04 与圆弧有关的平抛运动
21．（多选）如图所示，一半径为R的半球形坑，其中坑边缘两点与圆心等高且在同一竖直面内。现甲、乙两位同学分别将、两个小球以、的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q，已知，，，重力加速度为g，忽略空气阻力。则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变
D．若仅从M点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球不可能垂直坑壁落入坑中
22．（多选）如图所示，内壁光滑的四分之一圆弧轨道竖直固定放置，轨道半径为，圆心为、分别是竖直半径和水平半径。现让光滑水平面上的小球获得一个水平向右的速度（未知量），小球从A点离开后运动到圆弧上的点，重力加速度为，小球可视为质点，下列说法正确的是（ ）
A．若，小球运动到点时速度与水平方向的夹角为，则有
B．无论调整的大小为何值，球都不可能垂直撞击在圆弧上
C．改变的大小，小球落到圆弧上的速度最大值为
D．改变的大小，小球落到圆弧上速度的最小值为
23．水车是古代中国劳动人民发明的灌溉工具。图甲为风景区内的一架水车，图乙为水车工作时的示意图，高处的水从水槽中以速度大小沿水平方向流出，水流出后垂直落在与水平面夹角为的水轮叶面上，冲击轮叶使水车转动。水在空中的运动可视为平抛运动。重力加速度为。取，。求：
(1)水流落在水轮叶面前瞬间的速度大小v；
(2)槽口和冲击点的水平位移x。
题型05 类平抛运动的分析
24．一辆公交车沿直线匀速驶入站台时，站台上等候的某乘客不小心将手中小球掉落。若以小球为参考系，以公交车前进的方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，不计空气阻力，则在下列四幅图中，可表示公交车运动轨迹的是（ ）
A． B．
C． D．
25．滑雪场部分路段如图所示，光滑长方形斜面与水平面夹角。某滑雪者自点以速度水平冲上斜面后自由滑行，刚好能够从点滑出，已知，取。则滑雪者经过点时速度大小为( )
A． B． C． D．
26．（多选）如图所示，一斜面体固定在水平面上，斜面光滑且为矩形，倾角为θ，斜面的左上方顶点 P 与右下方顶点Q之间固定一与斜面垂直的挡板，挡板与斜面底边的夹角也为θ，一可视为质点的小物块由 P 点以平行于斜面底边的初速度水平射出，落在挡板上不再反弹。已知重力加速度为g，小物块在运动过程中始终在斜面上滑动，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．小物块由P点抛出到落在挡板上所用时间为
B．小物块由P点抛出到落在挡板上所用时间为
C．若初速度变为，小物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的2倍
D．若初速度变为，小物块由P点抛出到落在挡板上的位移大小变为原来的4倍
27．风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。如图所示，在一次实验中，风洞竖直放置且足够长，质量为m的小球从A点以速度沿直径水平进入风洞。小球在风洞中运动时受到的风力F恒定，方向竖直向上，风力大小F可在0~3mg间调节。小球可视作质点，碰壁后不反弹，重力加速度g取，风洞横截面直径。
（1）当时，求小球撞击右壁的速度大小和方向；
（2）保持不变，调节F的大小，求小球撞击右壁的区域长度。
题型06 斜抛运动
28．某工厂训练机械手投掷小球，使小球垂直墙面进入小孔。机械手固定在匀速运动的轨道小车上，轨道与墙面平行，轨道到墙面的距离为。墙面小孔与机械手掷球位置高度差为。机械手选择在恰当位置掷出小球，掷出后瞬间小球相对地面速率为，小球恰好垂直墙面进入小孔。重力加速度，忽略空气阻力。则速率最接近（ ）
A． B． C． D．
29．库里以其伟大的三分球技艺闻名于世，2025年3月14日，库里在对阵国王比赛中，达成4000记三分里程碑，他对篮球投出的初速度大小和方向的把控堪称极致。如图甲所示为库里正在投篮，若库里在某次比赛中两次跳起投篮时投球点和篮筐正好在同一水平面上，篮球运动的轨迹如图乙中1、2所示，则（ ）
A．轨迹2运动的时间更长 B．轨迹1最高点时速度更小
C．轨迹2抛出的初速度一定更大 D．轨迹2的加速度更小
30．（多选）河源新丰江音乐喷泉又称亚洲第一高喷，其夜间景象如图所示，水柱由喷头喷出，喷头可沿任意方向旋转，水流速度大小也可随音乐的声调高低进行调节。某兴趣小组为研究某次喷泉的水柱运动规律，现测量出其中一个喷头将水柱斜向上喷出，喷射的最远水平距离为120m，最大高度为80m（喷头略高于水面，但喷头高度忽略不计，重力加速度取，忽略空气阻力）。下列说法正确的是（ ）
A．水柱在空中的运动时间为4s
B．水柱在空中的运动时间为8s
C．水柱到达最高点时的速度大小为15m/s
D．水柱到达地面时的速度方向与水平方向夹角的正切值为
31．（多选）投沙包是一种简单而有趣的游戏，南宁三中课外活动社团举办投沙包比赛，游戏规则为：参赛者站在离得分区域边界一定的距离外将沙包抛出，每个得分区域的宽度，根据沙包停止点判定得分。如图，某同学以大小、方向垂直于且与水平地面夹角的初速度斜向上抛出沙包，出手点距的水平距离，距地面的高度。已知，，取重力加速度大小，空气阻力不计。下列说法中正确的是（ ）
A．沙包在空中运动过程中任意相等时间内速度的变化都相同
B．沙包在空中运动时间为0.6s
C．沙包恰落在4分、6分得分区的分界线上
D．沙包落地时的速度大小为
32．喷灌是现代灌溉的一种方式，有省水、省工、提高土地利用率、增产和适应性强等优点。如图所示为植物园里浇灌水平草皮的情景。已知该喷头距地面高度，，喷头可向四周以相同速率喷出大量水射流（水射流是由喷嘴流出的高速水流束），水射流可以与水平面成的所有角度喷出。当水射流水平喷出时，水平射程为。忽略空气阻力，取重力加速度为 。
(1)求水射流喷出时的速率；
(2)水射流水平喷出时，落地速度v；（结果可用根式表示，方向由角的正切值表示）
(3)若保持水射流与水平面成斜向上喷出，求水射流在地面上的落点所形成圆的半径（结果可用根式表示）。
题型07 平抛运动中的临界、极值问题
33．如图所示，从高处的A点先后水平抛出两个小球1和2，球1与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上的竖直挡板，落在水平地面上的点，球2恰好越过挡板也落在点。已知球1与地面碰撞前后水平速度不变，竖直速度等大反向，忽略空气阻力，不计挡板的厚度，则竖直挡板的高度为（ ）
A． B． C． D．
34．（多选）某次排球训练中，运动员在左侧底线处将球沿水平方向击出，球的初速度与左侧底线垂直。球刚好扫过球网上边缘，又恰好落在右侧底线上。若忽略排球大小且不计空气阻力，重力加速度g取，下列选项正确的是（ ）
A．球被击出时初速度的大小
B．球被击出时离地面的高度
C．球被击出时离球网上边缘的高度
D．球在空中运动的时间
35．2024年，中国选手郑钦文在巴黎奥运会上夺得金牌，掀起了全民网球运动的热潮。某学校网球场地示意图如图所示，场地水平，半场长度，中央球网高。某同学在练习击球时，击球点到地面的距离保持，球的运动都视为平抛运动，取重力加速度。
(1)该同学站在底线MN上的P点水平发球，P点到M点的距离为6m，球能过网且落在阴影区域内视为发球成功，则该同学发球成功的发球初速度最大不能超过多少？
(2)若某次击球时，该同学在P点将球垂直于底线MN水平击出，球恰好贴近网的上边而过，求球落地的瞬时速度大小及球落地点到网的距离。（计算结果中可有根式）
36．某公园的台阶如图甲所示，已知每级台阶的水平距离，高度，台阶的侧视图如图乙所示，虚线AB恰好通过每级台阶的顶点。某同学将一小球置于最上面台阶边缘的A点，并沿垂直于台阶边缘将其以初速度v水平抛出，空气阻力不计。
(1)若要使小球恰好撞到第1级台阶的平台边缘顶点上，求小球初速度v为多大？
(2)若要使小球第一次碰到台阶只能碰在第4级台阶的平台上，且又不撞到顶点，求小球初速度v的取值范围？
(3)若小球可直接击中B点，求此种情况下小球从抛出开始到离虚线AB最远时所经历的时间。
重难点突破
37．（多选）如图所示，飞虫以速度沿离水平地面高的水平线匀速飞行，经过点时，前方地面上处的一只青蛙竖直跳起，青蛙速度为零时恰好上升并捉住虫子。不计空气阻力，飞虫与青蛙均视为质点，重力加速度为，则（ ）
A．飞虫飞行的距离为 B．飞虫飞行的距离为
C．青蛙跳起时的速度大小为 D．青蛙跳起时的速度大小为
38．如图为娱乐节目中某个通关环节示意图，参赛选手从高台上以一定的速度水平跳出，落到水中的平台上才能进入下一通关环节。图中高台离平台水平面高。平台距离高台，平台宽度为（不计空气阻力，）。则：
(1)选手要落到平台上，水平跳出的速度至少为多少？
(2)某质量为50kg的选手因跳出的速度太大，刚好从平台的右侧边缘落入水中，求选手的起跳水平初速度大小。
39．某同学正在参加一个弹力球游戏：游戏者必须站在指定起点将弹力球水平抛出，弹力球碰到地面再次弹起飞行后落入指定区域即为挑战成功。该同学将弹力球以初速度v0=6m/s从指定地点水平抛出，弹力球第一次落地点到抛出点的水平距离为2.4m。弹力球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
(1)该同学抛弹力球时的竖直高度；
(2)若该同学保持水平抛球速度v0=6m/s不变，碰撞后竖直分速度反向，大小变为原来的；水平分速度方向不变，大小变为原来的。地面指定区域为半径R=0.2m的圆，圆心到抛出点水平直线距离为6.2m。弹力球与地面碰撞时间忽略不计，则该同学能游戏成功的抛球竖直高度至少为多少？
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