2025-2026学年上海莘庄中学高三上学期数学月考（PDF版，含答案）

莘庄中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．化简________．（其中）．
2．函数的定义域是________．
3．已知、为实数，且函数，是偶函数，则________．
4．已知集合，，则________．
5．若正数、满足，则的最小值为________．
6．设，则方程的解集为________．
7．已知幂函数的图象过点，则的解集为________．
8．已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围
是________．
9．函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是________．
10．已知为常数，函数在区间上的最大值为2，则________．
11．已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是________．
12．设函数，集合，则下列命题正确的有________．
①当时，集合； ②当时，；
③当，则的取值范围是；
④若（其中），则．
二、选择题（本大题共4题，13、14题4分，15、16题5分，共18分）
13．设，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要
14．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数，，都不是偶数”的正确假设应为（ ）.
A．自然数，，不都是偶数 B．自然数，，都不是奇数
C．自然数，，都是奇数 D．自然数，，至少有一个是偶数
15．设函数是定义在上的奇函数，满足．当时，，则下列结论中正确的是（ ）.
A．函数的图像关于直线对称 B．函数在区间单调递减
C．当时，有1013个零点 D．函数的图像关于点对称
16．若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记．下列命题中正确的是（ ）.
A．已知，，且，则
B．已知，若，则对任意，都有
C．已知，，则存在实数，使得
D．已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得
三、解答题（本大题共5题，共78分）
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知全集为，集合，集合．
（1）求；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
对于函数与，记集合．
（1）设，，求集合；
（2）设，，，若，求实数的取值范围．
19．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某工厂生产某产品的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完．
（1）求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；
（2）当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？
20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知函数，．
（1）证明：；
（2）求不等式：的解集；
（3）若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围．
21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
设函数的定义域为，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”．
性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．
（1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由；
（2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围；
（3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”．
莘庄中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．化简________．（其中）．
【答案】
2．函数的定义域是________．
【答案】
3．已知、为实数，且函数，是偶函数，则________．
【答案】
4．已知集合，，则________．
【答案】
5．若正数、满足，则的最小值为________．
【答案】
6．设，则方程的解集为________．
【答案】
7．已知幂函数的图象过点，则的解集为________．
【答案】
8．已知命题甲：关于的方程有两个不相等的负实数根；命题乙：关于的方程没有实数根．若甲、乙有且只有一个是真命题，则实数的取值范围
是________．
【答案】
9．函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是________．
【答案】
10．已知为常数，函数在区间上的最大值为2，则________．
【答案】
11．已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是________．
【答案】
12．设函数，集合，则下列命题正确的有________．
①当时，集合；
②当时，；
③当，则的取值范围是；
④若（其中），则．
【答案】①④
二、选择题（本大题共4题，13、14题4分，15、16题5分，共18分）
13．设，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】C
14．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数，，都不是偶数”的正确假设应为（ ）.
A．自然数，，不都是偶数 B．自然数，，都不是奇数
C．自然数，，都是奇数 D．自然数，，至少有一个是偶数
【答案】D
15．设函数是定义在上的奇函数，满足．当时，，则下列结论中正确的是（ ）.
A．函数的图像关于直线对称 B．函数在区间单调递减
C．当时，有1013个零点 D．函数的图像关于点对称
【答案】C
16．若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则记．下列命题中正确的是（ ）.
A．已知，，且，则
B．已知，若，则对任意，都有
C．已知，，则存在实数，使得
D．已知，，则对任意的实数，总存在实数，使得
【答案】D
三、解答题（本大题共5题，共78分）
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知全集为，集合，集合．
（1）求；
（2）若集合，且，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）
或
∴
（2）即，，
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
对于函数与，记集合．
（1）设，，求集合；
（2）设，，，若，求实数的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）法一：，或，或，
∴
法二：，或
∴
（2），，
，即，∴对恒成立，
，
令，，在时，，
∴
19．（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某工厂生产某产品的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，；当产量不小于60万箱时，，若每箱产品的售价为200元，通过市场分析，该厂生产的产品可以全部销售完．
（1）求销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；
（2）当产量为多少万箱时，该厂在生产中所获得利润最大？
【答案】（1） （2）80万箱
【解析】（1）
∴
（2）①当时，
50
0
极大值
②当时，（当且仅当即时取等号）
此时时，
综上，，∴时，
答：当产量为80万箱时，该厂在生产中所获得利润最大．
20．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
已知函数，．
（1）证明：；
（2）求不等式：的解集；
（3）若函数的图象在区间上与轴有2个交点，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】（1）证明：
，∴得证．
（2）的定义域为，为奇函数，
恒成立在上严格增，
，∴解集为．
（3）在上有2个不等实根，
，，
令在上严格增，
∴，
∴，有2个不等实根
2个交点：，∴
21．（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
设函数的定义域为，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”．
性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．
（1）已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由；
（2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围；
（3）已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”．
【答案】（1）是，不是 （2） （3）证明见解析
【解析】（1）
当时，
∵符合性质①，∴是的“美好区间”
当时，，不符合性质①，
不符合性质②，不是的“美好区间”
（2），
3
0
极小值
，，，
①当时，在的值域为
∵，∴此时是美好区间
②当时，的值域为
，此时不是美好区间（舍）
③当时，的值域为且
若是美好区间，则即
令，
在上严格增
∴，即与矛盾，∴此时不是美好区间（舍）
综上：．
（3）证明：任意，都有即在上严格减
对任意区间，设在的值域为，则
的长度大于的长度不是的子集，∴不满足性质①
∴若为的美好区间，必满足性质②，
即证明，即证或，
∵在上严格减，∴不恒成立，∴存在常数使
若，可取，则区间满足
若，可取，则区间满足
综上：存在美好区间
令，∵与都在上严格减，∴在上严格减
设，则，
若，则，
若，则，
由介值定理：存在，使
若，则，
∴存在使，
综上：存在零点，即，若为的美好区间，则
若，则与矛盾
∴存在，使不属于的任意一个美好区间．