2025-2026学年上海高桥中学高三上学期数学月考（PDF版，含答案）

高桥中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，则 ．
2．不等式的解集是 ．
3．过点倾斜角为的直线方程是 ．
4．若，且，则的最小值为 ．
5．若某圆锥的底面半径为2，高为2，则该圆锥的侧面积为 ．（结果保留）
6．在的展开式中，的系数为-10，则 ．
7．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ．
8．从这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率是 ．
9．若是实系数方程的一个虚根，且，则 ．
10．已知为等比数列，，则 ．
11．已知是圆上一点，过点作垂直于轴的直线，垂足为，点满足．若点，则的取值范围是 ．
12．已知平面向量满足，且对任意的实数，均有．则的最小值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．
13．已知，若，则（ ）.
A．1 B．-1 C． D．
14．设是复数，则下列命题中的假命题是（ ）.
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
15．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
16．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，给出下列四个结论：
（1）若与均为等差数列，则中最多有1个元素；
（2）若与均为等比数列，则中最多有2个元素；
（3）若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素；
（4）若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（ ）.
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17．已知函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，已知为锐角，，求边的长．
18．如图，直三棱柱内接于高为的圆柱中，已知，为的中点．
（1）求圆柱的表面积；
（2）求二面角的大小．
19．在数列中，，且．
（1）证明：是等差数列：
（2）求的通项公式：
（3）求数列的前项和．
20．已知双曲线的离心高为，点在双曲线上．过的左焦点作直线交的左支于两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？情说明理由．
（3）点，直线交直线于点．设直线的斜率分别，求证：为定值．
21．已知函数
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线关于点中心对称；
（3）若当且仅当，求的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.3
11．已知是圆上一点，过点作垂直于轴的直线，垂足为，点满足．若点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意设，所以，因为，所以．
将点代入圆，则点满足椭圆的方程．
所以
又，即
当时，最大，最小且为；
当或时，9最小，最大且为，
即，即
所以的取值范围为．故答案为：．
12．已知平面向量满足，且对任意的实数，均有．则的最小值为 ．、
【答案】3
【解析】建立平面直角坐标系，如图所示，
记，因为，
所以点，作，
设其坐标为，因为，
所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，即,
因为对任意的实数，均有，所以，
整理得，由于上式对任意的实数的一元二次不等式恒成立，
则有，即，故，
设，又设，则
整理得：，所以可知点在直线
又因为点在以点为圆心，1为半径的圆上，且，
所以可以把看成两动点和的距离，
而圆心到直线的距离
所以，即的最小值为3．故答案为：3．
二、选择题
13.A 14.D 15.C 16.C
15．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，结合选项，只考虑．
当，即时，取得极值．
又因为在区间上恰有三个极值点，所以解得．
当，即时，，
又因为在区间上恰有两个零点，所以解得，
综上可得，的取值范围是．故选C.
16．设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列，记集合，给出下列四个结论：
（1）若与均为等差数列，则中最多有1个元素；
（2）若与均为等比数列，则中最多有2个元素；
（3）若为等差数列，为等比数列，则中最多有3个元素；
（4）若为递增数列，为递减数列，则中最多有1个元素．其中正确的是（ ）.
A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4）
C．（1）（3）（4） D．（2）（3）（4）
【答案】C
【解析】对于（1），因为均为等差数列，所以是关于的一次式，对应的函数为一次函数，即点分别在两条斜率不为0的直线上，而两条直线最多有1个交点，故中最多有1个元素，故（1）正确．
对于（2），若均为等比数列，则不妨令，
当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故（2）错误.
对于（3），由（1）知点在一条斜率不为0的直线上．
设，当公比时，直线与数列对应的函数的图象最多有2个公共点，中最多有2个元素；
当时，点在如图所示的曲线上，由图易知直线与曲线最多有3个公共点，如当时，，两个数列有3项相同，所以中最多有3个元素；
当时，易知中最多有2个元素；当时，易知中最多有3个元素．
综上可知，当为等差数列，为等比数列时，中最多有3个元素，故（3）正确．
对于（4），若为递增数列，为递减数列，则前者对应的散点图呈上升趋势，后者对应的散点图呈下降趋势，二者最多有1个交点，即中最多有1个元素，故（4）正确．
故选C.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略 （2） （3）
20．已知双曲线的离心高为，点在双曲线上．过的左焦点作直线交的左支于两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？情说明理由．
（3）点，直线交直线于点．设直线的斜率分别，求证：为定值．
【答案】（1） （2）不存在，理由见解析； （3）证明见解析
【解析】（1）因为双曲线的离心率为，且在双曲线上，
所以①，又，②，联立①②，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知双曲线的左焦点为，
当直线的斜率为0时，
此时直线的方程为，其与双曲线的左支只有一个交点，不符合题意；
当直线的斜率不为0时，
不妨设直线的方程为，联立，
消去并整理得，此时，
因为过点作直线交的左支于两点，不妨设，
由韦达定理得，所以，
易知，则
，
所以，此时直线与不相互垂直，
故不存在直线，使得点在以为直径的圆上；
（3）证明：易知直线的方程为，所以，
此时，又，
所以
因为，所以且，
此时，故为定值．
21．已知函数
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线关于点中心对称；
（3）若当且仅当，求的取值范围．
【答案】（1） （2）证明略 （3）
【解析】（1）由，得，所以函数的定义域为，
当时，，所以，对恒成立，
又，当且仅当时取＂＂，
所以只需，即，所以的最小值为-2．
（3）因为当且仅当，所以为的一个，
所以，即，
先分时，恒成立，
此时，即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，则，
当时，
所以恒成立，所以在上为增函数，
所以，即在上恒成立，
当时，，所以恒成立，
故在上为增函数，故，即在上恒成立，
当，即当时，,所以在上为减函数，
所以，不合题意，舍去，
综上所述，在上恒成立时，，
而时，由上述过程可得在单调递增，
所以的为，即的为，
综上所述，，所以的取值范围为．