2025-2026学年上海延安中学高一上学期数学月考（含答案）

延安中学2025-2026学年第一学期高一年级数学月考
一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．
1．用列举法表示集合： .
2．陈述句＂或＂的否定形式为 .
3．已知集合，则 .
4．不等式的解集为 .
5．若集合，则实数的取值范围为 .
6．不等式的解集为 .
7．不等式的解集为 .
8．在本题中，我们把且叫做集合与的差集，记作．
设，则 .
9．若，则实数的不等式的解集为 .
10．已知全集，集合满足，则 .
11．设集合，
且，则 .
12．设，己知关于的方程存在四个实致根，且，则 .
二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题都给出代号为的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得3分，否则一律得零分．
13．已知集合满足，则不同的有（ ）.
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
14．已知集合，且，则（ ）.
A. B. C. D.
15．设全集为R，集合满足，则（ ）.
A. B. C. D.
16．已知两个命题：
（1）是的充分非必要条件；
（2）是的必要非充分条件．
则下列判断正确的是（ ）.
A.（1）（2）都是真命题 B.（1）（2）都是真命题
C.（1）是真命题，（2）是假命题 D.（1）是假命题，（2）是真命题
三、解答题（本大题满分52分）
17．（本题满分6分）已知关于的不等式的解集为．求实数的取值范围．
18．（本题满分6分）已知集合，并且．求满足题意的所有实数所成的集合．
19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
已知关于的方程有两个实数根．
（1）若，求的值；
（2）若都是正数，求实数的取值范围．
20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图，的面积为是边上的一点，，过作边的平行线，分别交边于两点，又设平行四边形的面积为．
（1）把表示成关于的代数式；
（2）比较和的大小．
21．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设集合．
（1）判断＂若，则＂是真命题还是假命题，试述理由；
（2）用反证法证明：若，则；
（3）求证：若，且，则．
参考答案
一、填空题
1. ; 2.且; 3. ; 4.; 5.; 6.; 7. ; 8. ; 9.; 10. ； 11.0 12.
12．设，己知关于的方程存在四个实致根，且，则 .
【答案】4
【解析】令 ，则原方程变为 ，解得 。
对于 ，二次方程为 ，根和为 。
对于 ，二次方程为 ，根和为 。
总和为 。
由条件得 ，解得 。
代入得 。
二、选择题
13.C 14.C 15.C 16.C
16．已知两个命题：
（1）是的充分非必要条件；
（2）是的必要非充分条件．
则下列判断正确的是（ ）.
A.（1）（2）都是真命题 B.（1）（2）都是真命题
C.（1）是真命题，（2）是假命题 D.（1）是假命题，（2）是真命题
【答案】C
【解析】命题(1)分析：
若 且 ，则 和 显然成立，满足充分性。
但存在反例（如 ），不满足条件但符合结论，故非必要。
结论：命题(1)为真。
命题(2)分析：
若 且 ，可取反例（如 ），满足 但不满足 ，故非必要。
若 且 ，可取反例（如 ），满足 但不满足 ，故非充分。
结论：命题(2)为假。
三、解答题
17.（1）
18.
19.（1） （2）
20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图，的面积为是边上的一点，，过作边的平行线，分别交边于两点，又设平行四边形的面积为．
（1）把表示成关于的代数式；
（2）比较和的大小．
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1），
，，，
，同理，∵，
（2）
，
当时，
当时，
当时，
当时，；当时，；当时，；
21．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设集合．
（1）判断＂若，则＂是真命题还是假命题，试述理由；
（2）用反证法证明：若，则；
（3）求证：若，且，则．
【答案】（1）假命题，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）假命题，理由如下：
因为，根据集合的定义，存在，使得.
，无法将其表示成两个自然数的平方和形式，
即不存在，使得.所以＂若，则＂是假命题.
（2）假设，则存在，使得.
，因为，所以，这表明，
与已知条件矛盾.所以若，则.
（3）因为，所以存在，使得.
由于是4的倍数，所以是4的倍数.
一个数的平方除以4的余数只能是0或1，要使是4的倍数，则都必须是偶数，设，.
，两边同时除以4，得到，
因为，所以.所以若，且，则.