2025-2026学年上海南汇中学高三上学期数学月考（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年上海南汇中学高三上学期数学月考（含答案） |
|
|
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 806.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-04 00:00:00 | ||
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文档简介
南汇中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
一、填空题
1．在中，若，则 ．
2．若扇形的面积为4，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为 ．
3．已知，则的最大值为 ．
4．已知幂函数的图象过点，则 ．
5．如果集合满足，则满足条件的集合的个数为 （填数字）.
6．函数的图像在点处的切线方程为 ．
7．已知，则 ．
8．若不等式的解集不是空集，则的取值范围是 ．
9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．
10．定义在R上的函数在区间上单调递增，则的取值范围是 .
11．已知是定义在的偶函数，且恒成立，若，则满足的实数的取值范围是 .
12．在锐角中，，则的取值范围为 ．
二、单选题
13．＂＂是＂且＂的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分分非必要
14．已知的导函数图象如图，则的极大值点为（ ）.
A． B．
C． D．
15．设集合，则（ ）.
A． B． C． D．
16．现定义如下：当，则称为延展函数，当时，均为延展函数，给定以下两个命题
（1）存在，与有无穷个交点；
（2）存在，与有无穷个交点；
则下面选项正确的是（ ）.
A．（1）是真命题，（2）是真命题 B．（1）是假命题，（2）是假命题
C．（1）是真命题，（2）是假命题 D．（1）是假命题，（2）是真命题
三、解答题
17．已知集合．
（1）设的取值集合为，若，求集合；
（2）当时，若，求实数的取值范围．
18．已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数．
（1）若的最小正周期为，求的值和函数的对称中心；
（2）当时，若对任意，都有，求实数的取值范围．
20．已知函数，称中．
（1）若是的极值点，求的值；
（2）求的单调区间；
（3）若在上的最大值是0，求的取值范围．
21．已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的＂距离＂．
（1）若，直接写出相应的集合；
（2）设，且存在实数，使得直线的距离最小于1，求的取值范围；
（3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数．
杨浦数学教研团队 庖丁解牛，游刃有余
整理：ShmathYu（公众号：上海数学研讨）
南汇中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
一、填空题
1．在中，若，则 ．
【答案】
2．若扇形的面积为4，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为 ．
【答案】2
3．已知，则的最大值为 ．
【答案】1
4．已知幂函数的图象过点，则 ．
【答案】－1
5．如果集合满足，则满足条件的集合的个数为 （填数字）.
【答案】3
6．函数的图像在点处的切线方程为 ．
【答案】
7．已知，则 ．
【答案】
8．若不等式的解集不是空集，则的取值范围是 ．
【答案】
9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】
10．定义在R上的函数在区间上单调递增，则的取值范围是 .
【答案】
11．已知是定义在的偶函数，且恒成立，若，则满足的实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】设，因为）恒成立，
则，所以
令，则，所以函数在上单调递增，
对任意的，
所以函数为上的偶函数，且，
由可得，即，即，
所以，即，解得．故答案为：．
12．在锐角中，，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】∵，利用余弦定理可得：，
即，
由正弦定理可得：，
即，即
又为锐角三角形，∴，即，
又令则，
由对勾函数性质知，知上单调递增，
又
二、单选题
13．＂＂是＂且＂的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分分非必要
【答案】B
14．已知的导函数图象如图，则的极大值点为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
15．设集合，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
16．现定义如下：当，则称为延展函数，当时，均为延展函数，给定以下两个命题
（1）存在，与有无穷个交点；
（2）存在，与有无穷个交点；
则下面选项正确的是（ ）.
A．（1）是真命题，（2）是真命题 B．（1）是假命题，（2）是假命题
C．（1）是真命题，（2）是假命题 D．（1）是假命题，（2）是真命题
【答案】D
【解析】由于，
∴是周期函数，且周期为1，由于，
当时，，
当时，
…
当时，
当时，！，
当时，，
由题意作出和的函数图象，如图所示：
∴不存在直线与有无穷个交点，∴（1）是假命题；
当时，，是一条线段，即当！时，存在！
使得直线与函数图象有无数个公共点，∴（2）是真命题．故选：D．
三、解答题
17．已知集合．
（1）设的取值集合为，若，求集合；
（2）当时，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）； （2）
18．已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）； （2）．
19．已知函数．
（1）若的最小正周期为，求的值和函数的对称中心；
（2）当时，若对任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）； （2）
20．已知函数，称中．
（1）若是的极值点，求的值；
（2）求的单调区间；
（3）若在上的最大值是0，求的取值范围．
【答案】（1）； （2）见解析 （3）
【解析】（1）依题意，令，解得，
经检验，当时，是的极值点
（2）①当时，，
故的单调增区间是；单调减区间是；
②当时，令，得，或，
当时，与的情况如下：
∴的单调增区间是；单调减区间是和
当时，的单调减区间是，
当时，与的情况如下：
③当时，的单调增区间是；单调减区间是．
∴的单调增区间是；单调减区间是和．
综上，当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是，减区间是和；
当时，的减区间是；
当时，的增区间是；减区间是和．
（3）由（2）知时，在上单调递增，
由，知不合题意；
当时，在的最大值是，
由，知不合题意，
当时，在单调递减，
可得在上的最大值是，符合题意，
∴在上的最大值是0时，的取值范围是
∴实数的取值范围是
21．已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的＂距离＂．
（1）若，直接写出相应的集合；
（2）设，且存在实数，使得直线的距离最小于1，求的取值范围；
（3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数．
【答案】（1）； （2）］； （3）证明见解析
【解析】（1）的值域是，即对任意，，
若，当时，，会存在使，
不满足成立；
当时，，也会存在使，不满足条件，所以，
当时，要对任意恒成立，因最小值为-1，故，
则；
（2）由题意，直线的距离为函数的最小值，
令，则，
故当时函数严格递增，没有最小值．
从而，且当时严格递减，当时严格递增．
因此直线的距离为
令，则，
同上可知当时最大，从而
（3）证明：对任意给定的，
记其中常数，
则由严格递增，
当时，严格递减；
当时，严格递增，
故，即恒成立，
所以是直线的－距离．
于是且是直线的距离．
记，则恒成立，
于是，即，故
由的任意性知，，故，即是偶函数．
一、填空题
1．在中，若，则 ．
2．若扇形的面积为4，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为 ．
3．已知，则的最大值为 ．
4．已知幂函数的图象过点，则 ．
5．如果集合满足，则满足条件的集合的个数为 （填数字）.
6．函数的图像在点处的切线方程为 ．
7．已知，则 ．
8．若不等式的解集不是空集，则的取值范围是 ．
9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．
10．定义在R上的函数在区间上单调递增，则的取值范围是 .
11．已知是定义在的偶函数，且恒成立，若，则满足的实数的取值范围是 .
12．在锐角中，，则的取值范围为 ．
二、单选题
13．＂＂是＂且＂的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分分非必要
14．已知的导函数图象如图，则的极大值点为（ ）.
A． B．
C． D．
15．设集合，则（ ）.
A． B． C． D．
16．现定义如下：当，则称为延展函数，当时，均为延展函数，给定以下两个命题
（1）存在，与有无穷个交点；
（2）存在，与有无穷个交点；
则下面选项正确的是（ ）.
A．（1）是真命题，（2）是真命题 B．（1）是假命题，（2）是假命题
C．（1）是真命题，（2）是假命题 D．（1）是假命题，（2）是真命题
三、解答题
17．已知集合．
（1）设的取值集合为，若，求集合；
（2）当时，若，求实数的取值范围．
18．已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数．
（1）若的最小正周期为，求的值和函数的对称中心；
（2）当时，若对任意，都有，求实数的取值范围．
20．已知函数，称中．
（1）若是的极值点，求的值；
（2）求的单调区间；
（3）若在上的最大值是0，求的取值范围．
21．已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的＂距离＂．
（1）若，直接写出相应的集合；
（2）设，且存在实数，使得直线的距离最小于1，求的取值范围；
（3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数．
杨浦数学教研团队 庖丁解牛，游刃有余
整理：ShmathYu（公众号：上海数学研讨）
南汇中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
一、填空题
1．在中，若，则 ．
【答案】
2．若扇形的面积为4，且弧长为其半径的两倍，则该扇形的半径为 ．
【答案】2
3．已知，则的最大值为 ．
【答案】1
4．已知幂函数的图象过点，则 ．
【答案】－1
5．如果集合满足，则满足条件的集合的个数为 （填数字）.
【答案】3
6．函数的图像在点处的切线方程为 ．
【答案】
7．已知，则 ．
【答案】
8．若不等式的解集不是空集，则的取值范围是 ．
【答案】
9．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】
10．定义在R上的函数在区间上单调递增，则的取值范围是 .
【答案】
11．已知是定义在的偶函数，且恒成立，若，则满足的实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】设，因为）恒成立，
则，所以
令，则，所以函数在上单调递增，
对任意的，
所以函数为上的偶函数，且，
由可得，即，即，
所以，即，解得．故答案为：．
12．在锐角中，，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】∵，利用余弦定理可得：，
即，
由正弦定理可得：，
即，即
又为锐角三角形，∴，即，
又令则，
由对勾函数性质知，知上单调递增，
又
二、单选题
13．＂＂是＂且＂的（ ）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分分非必要
【答案】B
14．已知的导函数图象如图，则的极大值点为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
15．设集合，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
16．现定义如下：当，则称为延展函数，当时，均为延展函数，给定以下两个命题
（1）存在，与有无穷个交点；
（2）存在，与有无穷个交点；
则下面选项正确的是（ ）.
A．（1）是真命题，（2）是真命题 B．（1）是假命题，（2）是假命题
C．（1）是真命题，（2）是假命题 D．（1）是假命题，（2）是真命题
【答案】D
【解析】由于，
∴是周期函数，且周期为1，由于，
当时，，
当时，
…
当时，
当时，！，
当时，，
由题意作出和的函数图象，如图所示：
∴不存在直线与有无穷个交点，∴（1）是假命题；
当时，，是一条线段，即当！时，存在！
使得直线与函数图象有无数个公共点，∴（2）是真命题．故选：D．
三、解答题
17．已知集合．
（1）设的取值集合为，若，求集合；
（2）当时，若，求实数的取值范围．
【答案】（1）； （2）
18．已知函数．
（1）当时，求函数的零点；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）； （2）．
19．已知函数．
（1）若的最小正周期为，求的值和函数的对称中心；
（2）当时，若对任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）； （2）
20．已知函数，称中．
（1）若是的极值点，求的值；
（2）求的单调区间；
（3）若在上的最大值是0，求的取值范围．
【答案】（1）； （2）见解析 （3）
【解析】（1）依题意，令，解得，
经检验，当时，是的极值点
（2）①当时，，
故的单调增区间是；单调减区间是；
②当时，令，得，或，
当时，与的情况如下：
∴的单调增区间是；单调减区间是和
当时，的单调减区间是，
当时，与的情况如下：
③当时，的单调增区间是；单调减区间是．
∴的单调增区间是；单调减区间是和．
综上，当时，的增区间是，减区间是；
当时，的增区间是，减区间是和；
当时，的减区间是；
当时，的增区间是；减区间是和．
（3）由（2）知时，在上单调递增，
由，知不合题意；
当时，在的最大值是，
由，知不合题意，
当时，在单调递减，
可得在上的最大值是，符合题意，
∴在上的最大值是0时，的取值范围是
∴实数的取值范围是
21．已知是定义在上的函数，集合对任意，都有．当时，若函数存在最小值，则称为直线的＂距离＂．
（1）若，直接写出相应的集合；
（2）设，且存在实数，使得直线的距离最小于1，求的取值范围；
（3）设的导函数在上严格增．若对任意，都有且直线与的距离相等．证明：是偶函数．
【答案】（1）； （2）］； （3）证明见解析
【解析】（1）的值域是，即对任意，，
若，当时，，会存在使，
不满足成立；
当时，，也会存在使，不满足条件，所以，
当时，要对任意恒成立，因最小值为-1，故，
则；
（2）由题意，直线的距离为函数的最小值，
令，则，
故当时函数严格递增，没有最小值．
从而，且当时严格递减，当时严格递增．
因此直线的距离为
令，则，
同上可知当时最大，从而
（3）证明：对任意给定的，
记其中常数，
则由严格递增，
当时，严格递减；
当时，严格递增，
故，即恒成立，
所以是直线的－距离．
于是且是直线的距离．
记，则恒成立，
于是，即，故
由的任意性知，，故，即是偶函数．
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