5.5.1.1 两角和与差的正弦函数、余弦函数 教学设计

两角和与差的正弦函数、余弦函数
教学设计
【教材分析】
两角和与差的三角函数公式，证法很多，更多的是利用单位圆与解析法，这两种证法突出了公式的几何背景，便于学生理解和掌握。教科书是采用向量的数量积的方法来推证两角差的余弦定了，这样做使得公式的证明过程更简捷，又因为用向量方法推导公式C安排在第四章中，使教科书从第二章平面向量到第四章三角恒等变形的过程更自然，可以使学生感受到知识之间的联系、向量的数学价值，同时也能从向量的角度，体会公式的几何背景。
公式C是其他公式的基础，是本章公式推导体系的“源”。在这里，证明的结果，得到公式达到目的固然重要，但是相比之下，应该更加着重的是推证公式的过程，看重过程中所体现的思想方法。对于其他公式，教科书没有给出推导过程，而是提出问题同时给出提示的方法来呈现，在教师的组织下，由学生探索完成公式的推证，是完全可能的。
【学情分析】
两角差的余弦公式的探索与证明是本节的难点，在推证之前教材做了大量的引导工作，并利用向量工具进行推证，大大降低里思维难度，学生容易接受只是注意辨析各公式的结构特征和内在联系。
【教学目标】
1掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，进而推导出两角和与差的其他三角公式，使学生初步理解公式的结构及其功能，并能进行简单的应用。
2探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题。
【教学重点】
两角差的余弦公式的推导。
【教学难点】
两角和与差的正、余弦公式的灵活应用。
【教学过程】
一、问题情境
对于一些特殊的角，如，，等，大家都知道这些角的三角函数值，但是有一些角，如，，等，这些角虽然不是特殊角，但是可以写成两个特殊的角的和或者差，我们怎样求这些角的三角函数值呢？比如：
求cos15=＿＿＿,cos75=＿＿＿。
（提示：15=45+30，75=45+30）
思考：已知角，的正余弦函数值，如何求-，+的正余弦函数值？
下面我们就一起来探讨两个角差的余弦函数公式cos(-)。
二、新知探究
两角差余弦公式的推导
已知0<<<，则角的终边与单位圆的交点P1的坐标为＿＿＿＿,向量的坐标为＿＿＿＿；角的终边与单位圆的交点p2的坐标为＿＿＿＿, 向量的坐标为＿＿＿＿，向量与向量的夹角为＿＿＿＿,根据：
平面向量的数量积公式
·=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
平面向量的数量积的坐标表示公式
·=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
求cos(-)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
cos(-)=（常记作C）
说明：当角，为任意角时，此公式亦然成立。
注意公式的特征：
公式的左边是两个角差的余弦值，公式的右边是两个单角余弦值之积与正弦值之积的和。
应用：求cos15=＿＿＿。
三、合作探究
1. 两角和余弦公式的推导
请同学们试根据cos(-)，求：
cos(+)=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
(提示：cos(+)=cos[-(-)])
（要求一学生上黑板完成）
cos(+)=（常记作C）
（1）注意公式的特征：
公式的左边是两个角和的余弦值，公式的右边是两个单角余弦值之积与正弦值之积的差。
（2）比较公式C，C说说两角和与差余弦函数公式的特点：
“余余正正符号异”
2.两个角和与差的正弦函数公式的推导
下面请同学们思考一下两个角和与差的正弦函数公式是怎样的呢？
提示：在第一章中我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，怎样使用它们解决我们今天的问题？
让同学们先分组讨论，然后动手完成公式的推导。
sin(-)=。（常记作S）
（提示：sin(-)=cos[-(-)]）
sin(+)=。（常记作S）
注意公式的特征：
公式的左边是两个角和（或差）的正弦函数值，公式的右边是两个单角正余弦值之积与余正弦值之积的和（或差）。简记：
“正余余正符号同”
※学习两角和与差的正、余弦函数公式，还应注意以下几点：
①为任意角；
②正确识别公式特征，掌握公式的正用与逆用，灵活运用公式进行恒等变形；
③两角和与差的三角函数公式是诱导公式的推广，诱导公式是它的特例，当中有一个角是的整数倍时，用诱导公式较为方便，不要再用两角和、差的公式展开。
四、知识应用
1、求，，的值。
设计意图：初步体验公式的用法，增进对公式的理解，培养学生的自学能力。
师生活动;
[学生]独立完成
[教师]通过本题，点评：（1）公式的正用，要将构造成两个特殊角的和、差；
（2）角的拆分的多样性。
2、+；
设计意图：灵活运用公式，熟练掌握公式的逆用。
师生活动;
[学生]独立完成
[教师]通过本题，点评：做题时抓住式子的特征：“两角余弦值之积与正弦值之积的和”，想到两角差的余弦函数公式。
3、+；
设计意图：通过与前一题对照，让学生掌握公式变形应用。
师生活动;
[学生]独立完成
[教师]通过本题，点评：通过与前一题对照，大家容易发现，是或的正、余弦或余、正弦函数值。转化为形如两角和的正弦函数公式或两个角差的余弦函数公式。学会公式的灵活运用。
4.已知：=，(,), =-，，求，的值。
设计意图：进一步理解公式，掌握运用公式应注意的问题，明确思维的有序性和表述的条理性是三角变换的基本要求。
师生活动;
[学生]独立完成，并找一学生上黑板完成。
[教师]对学生的表述是否规范作出必要的点评和要求。
五、当堂检测
1.求，的值。
2..已知，为锐角，=， =，求的值。
（提示：）
3.已知=，=，，均为第二象限的角，求sin(+)和sin(-)的值。
4.已知，，，求及。
【小结】
本节我们学习了两角和与差的正、余弦函数公式，首先要认识公式的结构特征，了解公式的推导过程。在解题过程中，应注意角所在的象限，也就是正、余弦的符号问题，掌握公式的正用与逆用，学会灵活运用。
【作业】
习题3—2A组，第1，2，3题。
【课后反思】
1.成功之处
（1） 本节课课堂结构安排合理，师生互动到位，效果较好。
（2）完成了教学目标，对于公式的探索、推导引导较好、对于学生的提问恰到好处，讲解清楚。
（3） 在学法指导方面，充分展示问题的探索过程，交给学生科学的分析问题的思维程序。
（4）同学们的复习工作做准备比较充分，使得整个课堂能够顺利进行。
（5）对于公式的正用，逆用，变形用，引导学生处理得当。
（6）能够在讲课例题的时候加强数学思想方法的指导。
2.不足之处
（1）课堂小结感觉由学生总结比由老师总结效果要好。
（2）对于学生回答的问题评价不够，导致对学生的激励性不强。下课后还有学生找我说，老师我上你的课回答问题都对了，你都没有表扬我。对于学生，我一贯认为“多肯定比多否定要好的多。”这节课上没有做好。
（3）部分学生的对比分析，归纳总结的能力较弱，尤其是对于公式的变形应用上比较明显，在今后的教学中要注意加强和培养他们这方面的能力。
通过这节课的教学，我受益匪浅，在新课改的浪潮中，不仅要求学生综合能力和综合素质的培养，对老师也提出了更高的要求，作为一名年轻的教师，在今后的教学中我会不断的学习，改进，和学生一起拼搏，一起成长。争取把新课改的工作做得更好。