江苏省连云港市2025-2026学年高三上学期期末模拟数学卷
参考答案与评分细则
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3. 本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则
A. B.
C. D.
答案：A
2. 已知等差数列的公差不为0，若，，成等比数列，则
A. B.1
C.2 D.3
答案：C
3. “”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案：B
4. 随机变量，且，则
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
答案：D
5. 在梯形中，，与交于点，记，，则
A. B.
C. D.
答案：B
6. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为
A. B.
C. D.
答案：B
7. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，。若，则
A. B.1
C. D.
答案：A
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，记的面积为，的面积为。若双曲线的离心率为，，则
A.3 B.2
C. D.
答案：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 设复数，满足，，则
A. B.
C. D.
答案：BC
10. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，是的中点，则
A.
B. 的面积为
C.
D.
答案：ACD
11. 我们知道圆锥曲线的名称源于用平面截圆锥面所得的截线。已知圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，过底面的一条直径作一个与底面夹角为的平面，在圆锥侧面上形成的截线记为。则下列说法正确的是
A. 当时，为双曲线的一部分
B. 当时，存在一种建系方式，使得符合方程
C. 当时，与底面直径围成的图形面积小于
D. 当时，的离心率大于
答案：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为________。
答案：
13. 已知，，则________。
答案：
14. 一个几何体垂直投影到平面上，形成图形，我们就称为在平面上的正投影。在
长方体 中，，，，， 的中点分别是 ，，，则平面 截长方体 所得截面的边数为 ；长方体 在平面 上的正投影的面积为 。（第一空2分，第二空3分）
答案： 6，3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）
数列中，，，。
（1）证明： 是等差数列；
（2）设，求。
解：（1）因为，即，
所以 ， 8 分
16．（15 分）
为了解观看某场＂苏超＂联赛与性别是否有关系，某机构随机抽取了部分市民，调査他们对赛事的关注情况，得到如下表格：
性别 不关注赛事 关注赛事 合计
男性 25 150 175
女性 50 75 125
合计 75 225 300
（1）对照 列联表，能否有 的把握认为关注＂苏超＂赛束与性別有关？
（2）现从被调查的关注赛事的市民币，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取 6 名市民参加“苏超”赛事知识问答，再从这6名市民中抽取3人参加抽奖活动，记这3人中女性人数为，求的分布列和期望.
附：，.
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
解：（1）提出假设：关注“苏超”赛事与性别无关，
，…………………4分
所以有99.9%的把握认为关注“苏超”赛事与性别有关.…………………6分
（2）由分层抽样知，抽取男性市民4人，女性市民2人，…………………7分
的取值为0，1，2，
，
，
，…………………………………………13分
0 1 2
所以.…………………………………………15分
17.（15分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）设点是的重心.
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）设平面，求.
解：（1）在中，由余弦定理得
，
所以，
所以，
所以，…………………………………………………………2分
因为平面，平面，
所以，
因为，平面，平面，
所以平面；…………………………………………………4分
（2）（i）以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，，
，，
，……………………………
因为是的重心，
所以，
所以，
所以，…………
设平面的法向量为，
则即
取，则，，即，……8分
，，
所以直线与平面所成角的正弦值为；…………………………10分
（ii）设，
所以，
法一：因为平面，且，不共线，
所以存在实数，，使得，
所以 解得
所以．……………………………………………………………15分
法二：由（i）知平面的法向量为，
所以，
所以，
所以．……………………………………………………………15分
18．（17分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在上，，为的左、右顶点．
（1）求的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线，分别交轴于，两点．
（i）试探究：是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ii）当面积取最大值时，求的值。
解：（1）解得
所以的方程为；
（2）（i）设直线 ，
由 消去 得 ，
，
，
直线 ，
直线 ，
所以存在 ，使得 ；
（ii）法一： ，
,
因为 ，所以 ，
,
因为 在第一象限，所以 ，
令 ，
，
令，解得或，
在上单调递增，在单调递减，
所以当时，取最大值，
所以. ……………………………………………………17分
法二：，
， …………………………………………13分
设，
所以，
令，
令，解得或，
因为，所以，
所以存在唯一的，使得，
且在上单调递增，在上单调递减，
所以当时取最大值，
所以. …………………………………………………17分
法三：设，则，
所以，
直线：，
由得，
， ……………………13分
令，
，
令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取最大值，
所以x1=2(1-t2)1+t2=2(1-(5-2))1+5-2=5-1 16分
19.（17分）
已知，，函数，。
（1）求在处切线的斜率；
（2）对任意，都有，求的取值范围；
（3）若，使得，求证：。
解：（1）函数的导函数，
所以，
所以该点处切线的斜率为eπ4-a-1， 4分
（2）方法一：因为即对成立，
所以，
令，
，，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，有，.........7分
当时，，
所以，解得：，
综上：0
方法二：由fπ4=eπ4-a-1≥0即0下证：当时，，
，
令，
，
当时，，
当时，，
在上单调递减，上单调递增，
所以m(x)≥mπ4=0成立， 8分
当时，，
综上0补证：，
令，
，令，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，即；
（3） 因为，
所以，
即，
方法一：表示原点与直线上一点距离的平方，
所以2e2a(b2+1)≥e2x02sin2x0+2x0， 17分
方法二：设，，
因为，
所以，
即，
由，，，
所以，
所以2e2a(b2+1)>e， 17分
补证：当时，，
先证当时，，
令，
在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以当时，。江苏省连云港市2025-2026学年高三上学期期末模拟数学卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3. 本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2. 已知等差数列的公差不为0，若，，成等比数列，则( )
A. B.1
C.2 D.3
3. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 随机变量，且，则( )
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
5. 在梯形中，，与交于点，记，，则( )
A. B.
C. D.
6. 将函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，当时，。若，则( )
A. B.1
C. D.
8. 已知双曲线 的左、右焦点分别为，，过的斜率为的直线与双曲线的右支交于，两点，记的面积为，的面积为。若双曲线的离心率为，，则( )
A.3 B.2
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 设复数，满足，，则( )
A. B.
C. D.
10. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，是的中点，则( )
A.
B. 的面积为
C.
D.
11. 我们知道圆锥曲线的名称源于用平面截圆锥面所得的截线。已知圆锥的底面半径为1，轴截面为等边三角形，过底面的一条直径作一个与底面夹角为的平面，在圆锥侧面上形成的截线记为。则下列说法正确的是( )
A. 当时，为双曲线的一部分
B. 当时，存在一种建系方式，使得符合方程
C. 当时，与底面直径围成的图形面积小于
D. 当时，的离心率大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为________。
13. 已知，，则________。
14. 一个几何体垂直投影到平面上，形成图形，我们就称为在平面上的正投影。在长方体中，，，，，的中点分别是，，，则平面截长方体所得截面的边数为________；长方体在平面上的正投影的面积为________。（第一空2分，第二空3分）
17. （15分）
如图，在四棱锥中，平面，，，，，。
（1）求证：平面；
（2）设点是的重心。
（i）求直线与平面所成角的正弦
（ii）设平面，求。
18. （17分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，点在上，，为的左、右顶点。
（1）求的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线，分别交轴于，两点。
（i）试探究：是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（ii）当面积取最大值时，求的值。
19. （17分）
已知，，函数，。
（1）求在处切线的斜率；
（2）对任意，都有，求的取值范围；
（3）若，使得，求证：。
