2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册单元检测第五章 一元函数的导数及其应用（含解析）

第五章 一元函数的导数及其应用
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若函数f(x)=α2-cos x,则f'(α)等于(　　)
A.sin α B.cos α
C.2α+sin α D.2α-sin α
2.设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a=(　　)
A.1 B. C.- D.-1
3.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)
4.已知函数f(x)=xln x,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于(　　)
A.1 B.-1 C.±1 D.不存在
5.函数f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是(　　)
A.2 B.1 C.0 D.由a确定
6.下列图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的导数f'(x)的图象,则f(-1)的值为(　　)
(1)
(2)
(3)
A. B.- C. D.-
7.已知y=f(x)是定义在R内的函数,且f(1)=1,f'(x)>1,则f(x)>x的解集是(　　)
A.(0,1) B.(-1,0)∪(0,1)
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
8.若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在R上为增函数,则a的取值范围是(　　)
A.[-1,1] B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.下列函数中,存在极值点的是(　　)
A.y=x- B.y=3x2+3x
C.y=-2x3-x D.y=xln x
10.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则(　　)
A.当x=-2时,函数y=f(x)取得极值
B.当x=1时,函数y=f(x)取得极值
C.y=f(x)的图象在点(0,f(0))处切线的斜率小于零
D.函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增
11.已知函数f(x)=则(　　)
A.若f(x)有两个极值点,则a=0或B.若f(x)有极小值点,则a>
C.若f(x)有极大值点,则a>-
D.使f(x)的图象连续的a有3个取值
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把正确答案填在题中的横线上.
12.函数f(x)=ln x-x的单调递增区间为　　　　　.
13.已知函数f(x)=x-ln(x+a),若a=2,则f'(0)=　　　　　;若f(x)的最小值为0,其中a>0,则a的值为　　　　　.
14.设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=ln x+x2-3,若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则g(a),f(b)的大小关系为　　　　　　　　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)在①函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线斜率为2a;②函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0垂直;③函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线4x-y=0平行,这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,求出实数a的值.
已知函数f(x)=x2+2aln x(a≠0).
(1)若　　　　　,求实数a的值;
(2)若函数g(x)=+f(x)在区间[1,2]上单调递减,求实数a的取值范围.
16.(15分)已知函数f(x)=aln(x+1)+x2-ax+1(a>0).
(1)求函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)当a>1时,求函数y=f(x)的单调区间和极值.
17.(15分)已知函数f(x)=x2-mln x,h(x)=x2-x+a.
(1)当a=0时,f(x)≥h(x)在区间(1,+∞)内恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同的零点,求实数a的取值范围.
18.(17分)高铁的快速发展给群众出行带来了巨大便利,极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后,发车时间间隔t(单位:分)满足5≤t≤25,t∈N*.经测算,高铁的载客量与发车时间间隔t相关:当20≤t≤25时高铁为满载状态,载客量为1 000人;当5≤t<20时,载客量会在满载基础上减少,减少的人数与(20-t)2成正比,且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t分钟时,高铁载客量为P(t).
(1)求函数P(t)的解析式;
(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=P(t)-40t2+650t-2 000(单位:元),当发车时间间隔为多少分钟时,单位时间的净收益最大
19.(17分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,求证:x1+x2<2.
第五章 一元函数的导数及其应用
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.A
f'(x)=(α2-cos x)'=sin x,当x=α时,f'(α)=sin α.
2.A
y'=2ax,于是切线斜率k=2a,由题意知2a=2,解得a=1.
3.D
f'(x)=(x-2)ex,由f'(x)>0,得x>2,故函数f(x)的单调递增区间是(2,+∞).
4.A
因为f(x)=xln x,所以f'(x)=ln x+1,于是有x0ln x0+ln x0+1=1,解得x0=1或x0=-1(舍去),故选A.
5.C
∵f'(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2≥0,
∴函数f(x)在R内单调递增,无极值.
故选C.
6.B
f'(x)=x2+2ax+a2-1,其图象为开口向上的抛物线,故不是题图(1),题图(2)中,a=0,f'(x)=x2-1,与已知矛盾,故f'(x)的图象为题图(3).
∴f'(0)=0,即a2-1=0,解得a=±1,又其图象的对称轴在y轴右边,故a=-1,
∴f(x)=x3-x2+1,
∴f(-1)=-.
7.C
不等式f(x)>x可化为f(x)-x>0,设g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1,
由题意g'(x)=f'(x)-1>0,
∴函数g(x)在R内单调递增,
又g(1)=f(1)-1=0,
∴f(x)>x g(x)>0 g(x)>g(1).
∴x>1.故选C.
8.C
由题意,得f'(x)=1-cos 2x+acos x≥0在R上恒成立,
即-cos2x+acos x+≥0在R上恒成立.
设t=cos x(-1≤t≤1),则g(t)=-t2+at+(-1≤t≤1),
则g(t)≥0在区间[-1,1]上恒成立,
于是有
解得-≤a≤,
故所求a的取值范围为.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.BD
A中,函数y=x-,则y'=1+>0,
故函数y=x-在区间(-∞,0)和(0,+∞)内单调递增,没有极值点,A不符合题意;
B中,函数y=3x2+3x,则y'=6x+3,当x∈时,y'<0,函数单调递减,当x∈时,y'>0,函数单调递增,故当x=-时,函数取得极小值,B符合题意;
C中,函数y=-2x3-x,则y'=-6x2-1<0,故函数y=-2x3-x在R内为减函数,没有极值点,C不符合题意;
D中,函数y=xln x,则y'=1+ln x,当x∈时,y'<0,函数单调递减,当x∈时,y'>0,函数单调递增,故当x=时,函数取得极小值,D符合题意.故选BD.
10.AD
由题图可知,x=-2是导函数f'(x)的一个变号零点,
故当x=-2时,函数f(x)取得极值,选项A正确;
x=1不是导函数f'(x)的一个变号零点,
故当x=1时,函数f(x)不能取得极值,选项B错误;
y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线斜率f'(0)>0,选项C错误;
当x∈(-2,2)时,f'(x)≥0,且只有当x=1时,f'(x)=0,故此时函数y=f(x)单调递增,选项D正确.
故选AD.
11.CD
作出函数y=x和y=4x3-3x的图象,如图所示.
对于选项A,若f(x)有两个极值点,则a=0或a>,所以选项A错误;对于选项B,当a=0时,x=0是函数f(x)的极小值点,所以选项B错误;对于选项C,由图易知正确;对于选项D,使f(x)的图象连续的a有3个取值,即-1,0,1,所以选项D正确.
故选CD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把正确答案填在题中的横线上.
12. (0,1)
f'(x)=-1,令f'(x)=-1>0,解不等式得x<1,又函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以013.　1
f(x)的定义域为(-a,+∞),
f'(x)=1-.
当a=2时,f'(x)=1-,
故f'(0)=1-.
由f'(x)=0,解得x=1-a>-a.
当-a1-a时,f'(x)>0,f(x)在区间(1-a,+∞)内单调递增.
因此,f(x)在x=1-a处取得最小值,由题意知f(1-a)=1-a=0,故a=1.
14. g(a)因为函数f(x)=ex+x-2在R上单调递增,且f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,所以当f(a)=0时,a∈(0,1).
又g(x)=ln x+x2-3在区间(0,+∞)内单调递增,且g(1)=-2<0,
所以g(a)<0.
由g(2)=ln 2+1>0,g(b)=0,得b∈(1,2).
又f(1)=e-1>0,且f(x)=ex+x-2在R内单调递增,所以f(b)>0,所以g(a)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
解:(1)若选择①,对f(x)求导,得f'(x)=2x+.
由已知f'(2)=2a,得=2a,解得a=4.
若选择②,对f(x)求导,得f'(x)=2x+.
直线x-y+1=0的斜率为,由题意得f'(1)=-2,得2+2a=-2,解得a=-2.
若选择③,对f(x)求导,得f'(x)=2x+.直线4x-y=0的斜率为4,
由题意得f'(1)=4,得2+2a=4,解得a=1.
(2)对g(x)=+x2+2aln x求导,得g'(x)=-+2x+.
由函数g(x)在区间[1,2]上单调递减,可得g'(x)≤0在区间(1,2)内恒成立,即-+2x+≤0在区间(1,2)内恒成立,即a≤-x2在区间(1,2)内恒成立.
令h(x)=-x2,当x∈(1,2)时,h'(x)=--2x=-<0,
由此知h(x)在区间[1,2]上单调递减,
所以h(x)min=h(2)=-,故a≤-.
当a=-时,在区间[1,2]上,只有有限个点使g'(x)=0,满足题意.
于是实数a的取值范围为.
16.(15分)
解:(1)由已知可得f(0)=1,f'(x)=+x-a=,则f'(0)=0,所以函数y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2)函数f(x)的定义域为(-1,+∞),令f'(x)=0,即=0,解得x=0或x=a-1.
当a>1时,f(x),f'(x)随x变化的变化情况如下表.
x (-1,0) 0 (0,a-1) a-1 (a-1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
可知f(x)的单调递减区间是(0,a-1),单调递增区间是(-1,0)和(a-1,+∞),极大值为f(0)=1,极小值为f(a-1)=aln a-a2+.
17.(15分)
解:(1)由a=0,且f(x)≥h(x)在区间(1,+∞)内恒成立,得m≤在区间(1,+∞)内恒成立,令g(x)=,
则g'(x)=,
故g'(e)=0,当x∈(1,e)时,g'(x)<0;当x∈(e,+∞)时,g'(x)>0.
故g(x)在区间(1,e)内单调递减,在区间(e,+∞)内单调递增.
故当x=e时,g(x)取得极小值,也为最小值,为g(e)=e.
所以m≤e.
(2)由已知可知k(x)=x-2ln x-a,函数k(x)在区间[1,3]上恰有两个不同的零点,相当于函数φ(x)=x-2ln x的图象与直线y=a有两个不同的交点,φ'(x)=1-,
故φ'(2)=0,
所以当x∈(1,2)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,当x∈(2,3)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增.
又φ(1)=1,φ(3)=3-2ln 3,φ(2)=2-2ln 2,且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0,所以当2-2ln 2所以实数a的取值范围为(2-2ln 2,3-2ln 3].
18.(17分)
解:(1)当5≤t<20时,不妨设P(t)=1 000-k(20-t)2,其中k≠0,
因为P(5)=100,
所以k=4.
因此P(t)=
(2)设y(t)=,①当5≤t<20,t∈N*时,Q(t)=P(t)-40t2+650t-2 000=-t3+500t-2 000.
因此y(t)==-t2-+500,5≤t<20,t∈N*.
则y'(t)=-2t+,
当50,y(t)单调递增;
当10所以y(t)max=y(10)=200.
②当20≤t≤25,t∈N*时,Q(t)=-40t2+900t-2 000.
因此y(t)==900-40(t+),20≤t≤25,t∈N*.
则y'(t)=<0,此时y(t)单调递减,
所以y(t)max=y(20)=0.
综上所述,发车时间间隔为10分钟时,单位时间的净收益最大.
19.(17分)
①若a=0,则f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点.
②若a>0,则当x∈(-∞,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,在区间(-∞,1)内单调递减.
又f(1)=-e,f(2)=a>0,取b满足b<0且b则f(b)>(b-2)+a(b-1)2=a >0,故f(x)在R上存在两个零点.
③若a<0,由f'(x)=0得x=1或x=ln(-2a).
若a≥-,则ln(-2a)≤1,故当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,
因此f(x)在区间(1,+∞)内单调递增.
又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.
若a<-,则ln(-2a)>1,故当x∈(1,ln(-2a))时,f'(x)<0;当x∈(ln(-2a),+∞)时,f'(x)>0.
因此f(x)在区间(1,ln(-2a))内单调递减,在区间(ln(-2a),+∞)内单调递增.
又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.
综上,a的取值范围为(0,+∞).
(2)证明:不妨设x1又f(x)在区间(-∞,1)内单调递减,所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2-x2)<0.
由于f(2-x2)=-x2+a(x2-1)2,
而f(x2)=(x2-2)+a(x2-1)2=0,
所以f(2-x2)=-x2-(x2-2).
设g(x)=-xe2-x-(x-2)ex(x>1),
则g'(x)=(x-1)(e2-x-ex).
所以当x>1时,g'(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时,g(x)<0.从而g(x2)=f(2-x2)<0,故x1+x2<2.