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同步探究学案
课题 数学活动 月历中的奥秘与和为定值的两数积规律 单元 第十六章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．发现月历中4个数交叉相乘再相减的规律． 2．掌握和为定值的两数积的变化规律；能运用整式运算证明规律． 3．会用规律解决实际问题．
重点 1．发现并证明月历中数字交叉相乘相减的规律； 2．探究和为定值的两数积的规律，并用整式运算解释； 3．运用规律解决长方形面积最大值问题。
难点 1．用整式运算证明月历中的数字规律； 2．理解和为定值的两数积的规律本质（两数越接近，积越大），并完成一般性证明。
探究过程
导入新课 【引入思考】 月历中藏着很多数学奥秘，大家观察蓝色方框里的4个数，它们之间有什么关系？
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助整式的运算，研究月历中的奥秘与和为定值的两数积规律。 活动1：请同学们计算蓝色方框4个数交叉相乘再相减的结果，再选择2-3个类似方框重复操作，记录结果，你发现了什么规律？ 规律：月历中上下相邻的4个数交叉相乘再相减的结果是________。 想一想：你还能发现其他规律吗？ 活动2：计算下列两个数的积（每组中两个数的和为定值），你能发现结果有什么规律吗？你能用本章所学知识解释你发现的规律吗？ （1）30×30，35×25，43×17，52×8； （2）50×50，53×47，74×26，91×9． 规律：和为定值的两个数，差越小，积越________。 做一做：利用你发现的规律解决下面的问题：用10m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是多少？此时长方形的两条邻边长有什么关系？你能得出更一般的结论吗？
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．两个数的积为625，且它们的和为定值，这个定值最小是（ ） A．40 B．50 C．60 D．70 2．图1是某月日历，平移图2所示不透明“十字星”硬纸板去覆盖日历的日期部分，日历中的五个数字恰好被完全遮住．若代表对应被遮住的数字，则代数式的值为（ ） A． B． C．48 D．50 3．用长的绳子围成长方形，试改变长方形一边的长，观察长方形的面积怎样变化．设长方形一边的长为，面积为． (1)补全下表； 一边的长432.52x相邻的一边长面积
(2)试用含x的式子表示S，并写出x的取值范围； (3)x取______时，S最大，为_____； (4)由上可得长方形的周长一定时，怎样围长方形才能使它的面积最大？ 选做题： 4．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某年11月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是7． (1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 【综合拓展类练习】 5．阅读材料： 求多项式的最值．分析：求二次三项式的最大值或最小值可以通过配成完全平方式的形式来求出． ， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是2． 解决问题： (1)请在序号处填上数字，完成多项式的配方过程： (2)求多项式的最值． (3)式子有最______值（填“大”或“小”），是______． (4)如图，一边靠墙（墙足够长），其余三边用长为12米的栅栏围成一个长方形鸡舍，则围成的鸡舍的最大面积是______平方米．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．用长为20m的篱笆围一个矩形菜园，菜园的面积最大是（ ）m A．20 B．25 C．30 D．35 2．如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为，则这9个数中最小数为（ ） A．18 B．13 C．7 D．3 3．用长为16cm的铁丝围成一个正方形时，面积是_________cm ；若围成一个长方形（非正方形），面积最大为_________cm 选做题： 4．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 【综合拓展类作业】 5．如图是某月份的日历，将“H”形框上下左右移动，可框住七个数，设“H”形框中的七个数中最中间一个数是． (1)请求出“H”形框中的七个数的和（用含的代数式表示，并化简）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于．若能，请写出这七个数：若不能，请说明理由．
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第十六章 整式的乘法
数学活动 月历中的奥秘与和为定值的两数积规律
1．发现月历中4个数交叉相乘再相减的规律．
2．掌握和为定值的两数积的变化规律；能运用整式运算证明规律．
3．会用规律解决实际问题．
观察：月历中藏着很多数学奥秘，大家观察蓝色方框里的4个数，它们之间有什么关系？
活动1：请同学们计算蓝色方框4个数交叉相乘再相减的结果，再选择2-3个类似方框重复操作，记录结果，你发现了什么规律？
6×14-7×13=84-91=-7
16×24-17×23=384-391=-7
20×28-21×27=560-567=-7
猜想：月历中上下相邻的4个数交叉相乘再相减的结果是-7。
证明：设左上角数为x，其余数为x+1、x+7、x+8
则x(x+8)-(x+1)(x+7)
=x2+8x-(x2+7x+x+7)
=x2+8x-x2-8x-7
=-7
即：月历中上下相邻的4个数交叉相乘再相减的结果是-7。
你还能发现其他规律吗？
活动2：计算下列两个数的积(每组中两个数的和为定值)，你能发现结果有什么规律吗？你能用本章所学知识解释你发现的规律吗？
（1）30×30，35×25，43×17，52×8；
（2）50×50，53×47，74×26，91×9．
解：（1）30×30=900
35×25=875
43×17=731
52×8=416
（2）50×50=2500
53×47=2491
74×26=1924
91×9=819
猜想：和为定值的两个数，差越小，积越大
证明：设这两个数的和为S，差为d，
则较大的数为，较小的数为
这两数的积为：==
因为两数和S是定值，所以S2也是定值，
分母4是个固定的正数，
积的大小由“分子S2-d2”决定：d越小，S2-d2越大，积就越大；d越大，S2-d2越小，积就越小。
当两数差d=0时，即两数相等为，积=，此时积达到最大值。
所以，和为定值的两个数，差越小，积越大。
应用：利用你发现的规律解决下面的问题：10m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是多少？此时长方形的两条邻边长有什么关系？你能得出更一般的结论吗？
解：因为绳子长10m，即长方形的周长为10m。
所以这个长方形的长+宽==5（m）
因为和为定值的两个数，差越小积越大，当两数相等时积最大，
即长和宽相等时，长方形的面积最大为：
（m2）
此时，长方形的两条邻边的长度相等。
结论：周长为定值的长方形，当且仅当它是正方形时，面积最大。
【知识技能类练习】必做题：
1．两个数的积为625，且它们的和为定值，这个定值最小是（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
B
【知识技能类练习】必做题：
2．图1是某月日历，平移图2所示不透明“十字星”硬纸板去覆盖日历的日期部分，日历中的五个数字恰好被完全遮住．若代表对应被遮住的数字，则代数式的值为（ ）
A． B． C．48 D．50
C
【知识技能类练习】必做题：
3．用长的绳子围成长方形，试改变长方形一边的长，观察长方形的面积怎样变化．设长方形一边的长为，面积为．
(1)补全下表；
一边的长 4 3 2.5 2 x
相邻的一边长
面积
1
4
2
6
2.5
6.25
3
6
5-x
x(5-x)
【知识技能类练习】必做题：
(2)试用含x的式子表示S，并写出x的取值范围；
(3)x取______时，S最大，为_____；
(4)由上可得长方形的周长一定时，怎样围长方形才能使它的面积最大？
解：（2）由（1）可得：，
∵，
∴x的取值范围为；
2.5
6.25
（4）由（3）可知：当长方形的一边长为2.5时，面积取得最大值，此时长方形变为正方形；
答：长方形的周长一定时，围成正方形才能使它的面积最大．
【知识技能类练习】选做题：
4．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某年11月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是7．
【知识技能类练习】选做题：
(1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
(2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
解：（1）框住了两块，一块有数字，另一块有数字，
，
，
结果是7，符合规律；
【知识技能类练习】选做题：
(1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
(2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
（2）证明：设左上角的数字为n，则其后面的数为，下面左下角的数为，右下角的数为
；
∴在日历上，将每个方框部分中的4个位置上数字交叉相乘，再相减，结果都是7．
【综合拓展类练习】
5．阅读材料：
求多项式的最值．分析：求二次三项式的最大值或最小值可以通过配成完全平方式的形式来求出．
，
无论取何值，，
∴，
∴时，有最小值是2．
【综合拓展类练习】
解决问题：
(1)请在序号处填上数字，完成多项式的配方过程：
解：（1）
，
【综合拓展类练习】
(2)求多项式的最值．
(3)式子有最______值（填“大”或“小”），是______．
(4)如图，一边靠墙（墙足够长），其余三边用长为12米的栅栏围成一个长方形鸡舍，则围成的鸡舍的最大面积是______平方米．
大
4
18
（2），
无论取何值，，
∴，
∴时，有最小值是1．
数学活动
和为定值的两数积规律
月历中的奥秘
【知识技能类作业】必做题：
1．用长为20m的篱笆围一个矩形菜园，菜园的面积最大是（ ）m
A．20 B．25 C．30 D．35
B
【知识技能类作业】必做题：
2．如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如
）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为，则这9个数中最小数为（ ）
A．18 B．13
C．7 D．3
C
【知识技能类作业】必做题：
3．用长为16cm的铁丝围成一个正方形时，面积是_________cm ；若围成一个长方形（非正方形），面积最大为_________cm
16
15
【知识技能类作业】选做题：
4．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为．
【知识技能类作业】选做题：
(1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______；
(2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由．
22
解：（2）不可以，理由如下：
由题意，得：，
解得：，
此时不存在“十字型”，故的值不可以是90．
【综合拓展类作业】
5．如图是某月份的日历，将“H”形框上下左右移动，可框住七个数，设“H”形框中的七个数中最中间一个数是．
(1)请求出“H”形框中的七个数的和（用含的代数式表示，并化简）；
(2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于．若能，请写出这七个数：若不能，请说明理由．
【综合拓展类作业】
解：（1）设“H”形框中的七个数中最中间一个数是，则其他六个数是、、、、、，
七个数的和是；
（2）“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于，理由如下：
由（1）得，，
解得，
此时最大的数，而日历中没有，
故“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于．中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第十二课时《数学活动 月历中的奥秘与和为定值的两数积规律》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课围绕整式的乘法相关知识，设计了“月历中的奥秘”和“和为定值的两数积规律”两个数学活动。前者通过月历中数字的交叉相乘运算，引导学生发现并证明规律，感受数字排列的趣味性；后者从具体算式出发，探究和为定值的两数积的变化规律，结合整式运算解释原理，并应用于实际问题解决。课程内容注重从具体情境到抽象推理，从特殊案例到一般结论，既巩固整式乘法的运算能力，又培养学生的观察、猜想、验证和推理能力。
学习者分析 学生已学习整式的乘法运算，具备一定的代数运算基础；在日常生活中熟悉月历的形式，对数字规律探究有天然的好奇心；但抽象概括能力和逻辑推理能力仍需提升，从具体实例中提炼一般规律、并用整式运算证明的过程可能存在困难，需要教师逐步引导。
教学目标 1．发现月历中4个数交叉相乘再相减的规律，掌握和为定值的两数积的变化规律；能运用整式运算证明规律，会用规律解决实际问题。 2．通过观察、猜想、验证、证明的过程，提升抽象概括和逻辑推理能力；在小组合作探究中，培养合作交流和问题解决能力。 3．感受数学与生活的联系，激发对数学规律探究的兴趣；体验从特殊到一般、数形结合的数学思想，增强学习数学的自信心。
教学重点 1．发现并证明月历中数字交叉相乘相减的规律； 2．探究和为定值的两数积的规律，并用整式运算解释； 3．运用规律解决长方形面积最大值问题。
教学难点 1．用整式运算证明月历中的数字规律； 2．理解和为定值的两数积的规律本质（两数越接近，积越大），并完成一般性证明。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．发现月历中4个数交叉相乘再相减的规律． 2．掌握和为定值的两数积的变化规律；能运用整式运算证明规律． 3．会用规律解决实际问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 出示月历图片 问题：月历中藏着很多数学奥秘，大家观察蓝色方框里的4个数，它们之间有什么关系？学生活动2： 学生仔细观察活动意图说明： 以生活中熟悉的月历为载体，引导学生探寻数字排列的隐藏奥秘，充分激发其学习兴趣与主动探究的欲望。环节三：新知讲解教师活动3： 活动1：请同学们计算蓝色方框4个数交叉相乘再相减的结果，再选择2-3个类似方框重复操作，记录结果，你发现了什么规律？ 预设：6×14-7×13=84-91=-7 16×24-17×23=384-391=-7 20×28-21×27=560-567=-7 …… 猜想：月历中上下相邻的4个数交叉相乘再相减的结果是-7。 证明：设左上角数为x，其余数为x+1、x+7、x+8 则x(x+8)-(x+1)(x+7) =x2+8x-(x2+7x+x+7) =x2+8x-x2-8x-7 =-7 即：月历中上下相邻的4个数交叉相乘再相减的结果是-7。 追问：你还能发现其他规律吗？ 活动2：计算下列两个数的积（每组中两个数的和为定值），你能发现结果有什么规律吗？你能用本章所学知识解释你发现的规律吗？ （1）30×30，35×25，43×17，52×8； （2）50×50，53×47，74×26，91×9． 预设： （1）30×30=900 35×25=875 43×17=731 52×8=416 （2）50×50=2500 53×47=2491 74×26=1924 91×9=819 猜想：和为定值的两个数，差越小，积越大 证明：设这两个数的和为S，差为d， 则较大的数为，较小的数为 这两数的积为： == 因为两数和S是定值，所以S2也是定值， 分母4是个固定的正数， 积的大小由“分子S2-d2”决定：d越小，S2-d2越大，积就越大；d越大，S2-d2越小，积就越小。 当两数差d=0时，即两数相等为，积=，此时积达到最大值。 所以，和为定值的两个数，差越小，积越大。 追问：利用你发现的规律解决下面的问题：用10m长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是多少？此时长方形的两条邻边长有什么关系？你能得出更一般的结论吗？ 解：因为绳子长10m，即长方形的周长为10m。 所以这个长方形的 长+宽==5（m） 因为和为定值的两个数，差越小积越大，当两数相等时积最大， 即长和宽相等时，长方形的面积最大为： （m2） 此时，长方形的两条邻边的长度相等。 结论：周长为定值的长方形，当且仅当它是正方形时，面积最大。学生活动3： 学生自主尝试，小组合作交流，班内汇报后听老师的讲解与点评活动意图说明： 通过两个活动的探究过程，以具体算式引导观察猜想，借整式运算证明规律，关联实际问题，培养学生的抽象概括、逻辑推理与合作能力。环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：数学活动 月历中的奥秘与和为定值的两数积规律一、月历中的奥秘 二、和为定值的两数积规律教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．两个数的积为625，且它们的和为定值，这个定值最小是（ ） A．40 B．50 C．60 D．70 答案：B 2．图1是某月日历，平移图2所示不透明“十字星”硬纸板去覆盖日历的日期部分，日历中的五个数字恰好被完全遮住．若代表对应被遮住的数字，则代数式的值为（ ） A． B． C．48 D．50 答案：C 3．用长的绳子围成长方形，试改变长方形一边的长，观察长方形的面积怎样变化．设长方形一边的长为，面积为． (1)补全下表； 一边的长432.52x相邻的一边长面积
(2)试用含x的式子表示S，并写出x的取值范围； (3)x取______时，S最大，为_____； (4)由上可得长方形的周长一定时，怎样围长方形才能使它的面积最大？ 解：（1）补全表格如下： 一边的长432.52x相邻的一边长122.53面积466.256
（2）由（1）可得：， ∵， ∴x的取值范围为； （3）由（2）可知：， ∵， ∴当时，面积最大，最大值为； 故答案为2.5；6.25； （4）由（3）可知：当长方形的一边长为2.5时，面积取得最大值，此时长方形变为正方形； 答：长方形的周长一定时，围成正方形才能使它的面积最大． 选做题： 4．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是某年11月份的日历，我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，不难发现，结果都是7． (1)请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律； (2)请你利用整式的运算对以上的规律加以证明． 解：（1）框住了两块，一块有数字，另一块有数字， ， ， 结果是7，符合规律； （2）证明：设左上角的数字为n，则其后面的数为，下面左下角的数为，右下角的数为 ； ∴在日历上，将每个方框部分中的4个位置上数字交叉相乘，再相减，结果都是7． 【综合拓展类练习】 5．阅读材料： 求多项式的最值．分析：求二次三项式的最大值或最小值可以通过配成完全平方式的形式来求出． ， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是2． 解决问题： (1)请在序号处填上数字，完成多项式的配方过程： (2)求多项式的最值． (3)式子有最______值（填“大”或“小”），是______． (4)如图，一边靠墙（墙足够长），其余三边用长为12米的栅栏围成一个长方形鸡舍，则围成的鸡舍的最大面积是______平方米． 解：（1） ， 故答案为：①2；②1；③3． （2）， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最小值是1． （3）， 无论取何值，， ∴， ∴， ∴时，有最大值是4． 故答案为：大，4； （4）设垂直于墙的长为x米，则平行于墙的边长为米， ， 无论取何值，， ∴， ∴时，有最大值是18． 即围成的鸡舍的最大面积是18平方米． 故答案为：18．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．用长为20m的篱笆围一个矩形菜园，菜园的面积最大是（ ）m A．20 B．25 C．30 D．35 答案：B 2．如图是某月日历表的一部分，在此日历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的数（如）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为，则这9个数中最小数为（ ） A．18 B．13 C．7 D．3 答案：C 3．用长为16cm的铁丝围成一个正方形时，面积是_________cm ；若围成一个长方形（非正方形），面积最大为_________cm 答案：16；15 选做题： 4．如图所示的是2025年1月日历，“U型”、“十字型”两个阴影图形分别覆盖其中五个数字（“U型”、“十字型”两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左右移动），设“U型”覆盖的五个数字之和为，“十字型”覆盖的五个数之和为． (1)“U型”中最小的数为13，则最大的数为_______； (2)设“十字型”覆盖的五个数中最中间的数为x，则的值可以是90吗？请说明理由． 解：（1）由图可知：“U型”中最大数字与最小数字的差值为9， ∴当“U型”中最小的数为13时，最大的数为； 故答案为：22； （2）不可以，理由如下： 由题意，得：， 解得：， 此时不存在“十字型”，故的值不可以是90． 【综合拓展类作业】 5．如图是某月份的日历，将“H”形框上下左右移动，可框住七个数，设“H”形框中的七个数中最中间一个数是． (1)请求出“H”形框中的七个数的和（用含的代数式表示，并化简）； (2)请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于．若能，请写出这七个数：若不能，请说明理由． 解：（1）设“H”形框中的七个数中最中间一个数是，则其他六个数是、、、、、， 七个数的和是； （2）“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于，理由如下： 由（1）得，， 解得， 此时最大的数，而日历中没有， 故“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于．
教学反思 在活动1中，学生对月历规律的探究参与度较高，能快速通过举例发现规律，但在字母表示和整式证明环节，部分学生存在运算失误，需在课堂上加强示范和个别指导。在活动2中，学生对“和定积最大”的规律感知较快，但用整式变形解释时，由于没有学习到二次函数的相关知识，可适当简化推导过程，侧重直观感受和实例验证。在小组讨论环节，部分小组存在分工不明确的问题，下次教学可提前明确小组任务，确保每位学生都能参与探究。
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