4.1.1 变量与函数 教案

4.1.1
变量与函数
教案
教学目标
知识与技能
理解函数的概念，了解变量与常量以及自变量的意义.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会求自变量的取值范围，会根据自变量的取值求函数的值.
过程与方法
经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想.让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式.
情感、态度与价值观
通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力.通过教学活动，培养学生乐于探究，合作学习的习惯，培养学生努力解决问題的进取心.
教学重点
函数的概念和函数自变量的取值范围.
教学难点
求函数自变量的取值范围.
教学设计
一、导入新课
问题1
下图是某地一天内的气温变化图.
1.这天的6时、10时和14时的气温分别是多少？任意给出
这天中的某一时刻，你能说出这一时刻的气温是多少吗？
2.这一天中，最髙气温是多少？最低气温是多少？
3.这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
从图中我们可以看出，随着时间t（时）的变化，相应的气温T℃也随之变化.
问题2
圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：
S=πr2，你能算出半径为1cm、l.5cm、2cm、2.6cm时圆的面积吗？
二、讲授新课
1.常量和变量
在上述问题中分别有几个量？分别指出每个问题中的各个量.
第1个问题中，有两个变量，一个是时间，另一个是温度，温度随着时间的变化而变化.
第2个问题中，S和r是变量，而π、2是常量.
常量:在某一变化过程中始终保持不变的量称为常量.
变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量.
2.函数的概念
上面的各个问题中，都出现了两个变量，它们相互依赖，密切相关，例如：
在上述的第1个问题中，一天内任意选择一个时刻，都有唯一的温度与之对应，t是自变量，T是因变量(T是t的函数).
在上述第2个问题中，S=πr2，给出变量r的一个值，便可以得到变量S唯一值和它对应，r是自变量，S是因变量(S是r的函数).
函数的概念:如果在一个变化过程中，有两个变量，假设x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数.
要引导学生在以下几个方面加强对于函数概念的理解.
变化过程中有两个变量，不研究多个变量；对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，如果y有两个值与它对应，那么y就不是x的函数.例如y2=x.
三、例题讲解
例1
如课本第111页图4-2，已知圆柱的高是4cm，底面半径是r(cm)，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V(cm3)是r的函数.
(1)用含r的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围.
(2)当r=5，10时，V是多少(结果保留π)？
四、拓展练习
1
等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
2
如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10cm，CA与MN在同一条直线上，开始时点A与M重合，让△ABC向右移动，最后点A与点N重合.
（1）试写出两图形重叠部分的面积y（cm2）与线段MA的长度x（cm）之间的函数关系式.
（2）当点A向右移动1cm时，重叠部分的面积是多少？
五、课堂小结
1.关于函数的定义的理解应注意两个方面，其一是变化过程中有且只有两个变量，其二是对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应.对于实际问题，同学们应该能够根据题意写出两个变量的关系，即列出函数关系式.
2.通过本节课的学习，一方面，我们进一步认识了如何列函数关系式，对于几何问题中列函数关系式比较困难，有的题目的自变量的取值范围也很难确定，只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题；另一方面，对于用数学式子表示的函数关系式的自变量的取值范围，考虑两个方面，其一是分母不能等于0，其二是开偶次方的被开方数是非负数.