4.4 解直接三角形的应用 学案（无答案）

4.4
解直角三角形的应用
学案
学习目标
知识与能力：
1、能够把数学问题转化成数学问题.
2、能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力.
过程与方法：
经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.
学习重点
能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算.
学习难点
能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系.
学习过程
一、问题引入，了解仰角、俯角的概念.
提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18°，求A、B间的距离.
提问：
1、俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称∠ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？
2、这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？
教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式.
二、测量物体的高度或宽度问题.
1、提出老问题，寻找新方法.
我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢.
利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？
学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型.
2、运用新方法，解决新问题.
(1)从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30°，测量仪距古塔60米，则古塔高(
)米.
(2)从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45°、30°，已知C、D相距100米，那么山高(
)米.
(3)要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得∠ACB＝45°，∠ABC＝60°，求河宽(精确到0.1米).
在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形解决实际问题，渗透建模的数学思想.
三、与方位角有关的决策型问题
1、提出问题
一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在北偏东60°的方向上；40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区.这艘渔船如果继续向东追赶鱼群，有有进入危险区的可能？
2、师生共同分析问题按以下步骤时行：
(1)根据题意画出示意图，
(2)分析图中的线段与角的实际意义与要解决的问题，
(3)不存在直角三角形时需要做辅助线构造直角三角形，如何构造？
(4)选用适当的边角关系解决数学问题，
(5)按要求确定正确答案，说明结果的实际意义.
3、学生练习
某景区有两景点A、B，为方便游客，风景管理处决定在相距2千米的A、B两景点之间修一条笔直的公路(即线段AB).经测量在A点北偏东60°的方向上在B点北偏西45°的方向上，有一半径为0.7千米
的小水潭，问水潭会不会影响公路的修建？为什么？
学生可以分组讨论来解决这一问题，提出不同的方法.
课堂小结
1、由学生谈利用三角函数知识来解决实际问题的步骤，再次体会建立数学模型解决问题的过程.
2、总结具体几种类型的图形构造直角三角形的方法：
基础练习
1、如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米？
2、如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝5米，斜坡AD＝16米，坝高6米，斜坡BC的坡度.求斜坡AD的坡角∠A(精确到1分)和坝底宽AB.(精确到0.1米)
3、在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案(如图1所示)：
(1)在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；
(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m；
(3)量出测倾器的高度AC＝h.
1）、根据上述测量数据，求出旗杆的高度MN.
2）、如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度(如图2)
3)、在图2中，画出你测量小山高度MN的示意图(标上适当的字母)
4)、写出你的设计方案.
4、已知斜坡AB的铅直高度为6m.
(1)若水平宽度为8m，则坡面的坡比为_______；
(2)若坡比为3：4，则坡面长为_______.
5、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°.
问：距离B点8米远的保护物是否在危险区内？
6、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为，路基高度为5.8米，求路基下底宽(精确到0.1米).
7、已知跷跷板长4
m，当跷跷板的一端碰到地面时，另一端离地面1.5
m.求此时跷跷板与地面的夹角(精确到0.1°).
8、“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min.小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光.
1、2min后小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)？
2、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次打到10m？
6m
C
B
8m
10m