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2025-2026学年人教版数学八年级上学期 期末模拟试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版新教材八年级上册全册内容。
第一部分（选择题共30分）
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）（22-23八年级上·北京海淀·期中）我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．乒乓球B．跳远 C．举重D．武术
2．（3分）（21-22八年级上·北京丰台·期末）在物联网时代的所有芯片中，nm芯片正在成为需求的焦点. 已知即纳米，是长度的度量单位，=．将用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（25-26八年级上·湖北孝感·期末）若分式的值为零，则的取值为（ ）
A． B． C． D．的值不存在
4．（3分）（2025八年级上·全国·专题练习）把多项式因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则（ ）
A． B．1 C．7 D．3
6．（3分）（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到里的城市，所需时间比规定时间多用1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍．设规定时间是x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）（24-25八年级上·福建福州·期中）如图；平分，于点F，点D在上，于点H，若，，，则的长为（ ）
A． B．5 C．7 D．
9．（3分）（24-25八年级上·北京朝阳·期末）在中，，，将按如图所示的方式依次折叠：
有下面四个结论：①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为（ ）
A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
10．（3分）（2011·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）秒
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
第二部分（非选择题共90分）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）（2025·黑龙江·一模）把多项式分解因式的结果是 ．
12．（3分）（2023·上海·中考真题）化简：的结果为 ．
13．（3分）（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，已知，点，，，在同一条直线上，交于点．若四边形的面积为，则四边形（即阴影部分）的面积为
14．（3分）（25-26八年级上·四川内江·期中）已知三角形的三条边为a，b，c，满足，c为最长边且为奇数，则这个三角形的周长为
15．（3分）（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若，，则的值为 ．
16．（3分）（22-23八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，的面积为20，的垂直平分线分别交于E点，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）（24-25八年级上·天津红桥·期末）计算：
(1)；
(2)．
18．（6分）（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，是的高，是的角平分线，F是中点，．
(1)求的度数；
(2)若与的周长差为3，，则 ．
19．（8分）（18-19八年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：．
20．（8分）（22-23八年级上·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．
(1)画出，使与关于x轴对称；
(2)求的面积；
(3)请在图中找到一点D，使，请直接写出点D的坐标．
21．（10分）（24-25七年级下·安徽六安·期末）关于的方程．
(1)当时，求该方程的解；
(2)若该方程无解，求的值．
22．（10分）（2025·广西南宁·一模）某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等．
(1)求每套A型储能锂电池系统的进价；
(2)该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？
23．（12分）（25-26八年级上·安徽·期末）（1）一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．
方法1：______．方法2：______．
（2）利用等量关系解决下面的问题：
，，求和的值；
已知，求的值．
24．（12分）（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图1，在等腰中，，D在边上（端点除外），，且，连接，探究与的数量关系．
(1)先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系；
(3)将图1特殊化，如图3，当时，连接，M是的中点，N是的中点，判定以D，M，N为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版新教材八年级上册全册内容。
第一部分（选择题共30分）
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）（22-23八年级上·北京海淀·期中）我们生活在一个充满对称的世界中，生活中的轴对称图形随处可见，下面几幅图片是校园中运动场上代表体育项目的图标，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．乒乓球B．跳远 C．举重D．武术
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）（21-22八年级上·北京丰台·期末）在物联网时代的所有芯片中，nm芯片正在成为需求的焦点. 已知即纳米，是长度的度量单位，=．将用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解: ==
故选：A
3．（3分）（25-26八年级上·湖北孝感·期末）若分式的值为零，则的取值为（ ）
A． B． C． D．的值不存在
【答案】B
【分析】本题考查分式的值为零的条件．分式的值为零需满足分子为零且分母不为零，据此求解即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴且，
由得，即或，
又∵，即，
∴，
故选：B．
4．（3分）（2025八年级上·全国·专题练习）把多项式因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查因式分解中公因式的确定，熟练掌握方法是关键．
根据找公因式的方法，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂即可得出．
【详解】∵系数、、的最大公约数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为，
∴公因式为．
故选：D．
5．（3分）（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，则（ ）
A． B．1 C．7 D．3
【答案】A
【分析】本题考查的是关于轴对称点的坐标特点．
根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求解a和b，再计算即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点和点关于y轴对称，
，，
解得：，，
．
故选：A．
6．（3分）（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据幂的乘方、积的乘方、完全平方公式，同底数幂的乘除法等基本规则，逐一验证每个选项的正确性．
【详解】解：A、 ， 故 A错误．
B、 ， 故 B错误．
C、 ， 故 C错误．
D、 ， 故 D正确．
故选：D．
7．（3分）（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到里的城市，所需时间比规定时间多用1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍．设规定时间是x天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。设规定时间为天，则慢马用时天，快马用时天，根据快马速度是慢马速度的2倍列方程即可.
【详解】解：慢马速度，快马速度，且快马速度慢马速度，
∴ ，
故选：A.
8．（3分）（24-25八年级上·福建福州·期中）如图；平分，于点F，点D在上，于点H，若，，，则的长为（ ）
A． B．5 C．7 D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
作，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：作于，
平分，
，
，
，
解得，，
故选：D．
9．（3分）（24-25八年级上·北京朝阳·期末）在中，，，将按如图所示的方式依次折叠：
有下面四个结论：①平分；②；③；④的周长等于的长．所有正确结论的序号为（ ）
A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据折叠的性质得到，得到平分；于是得到故①正确；根据折叠的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，求得，得到，由，得到，故②错误；由，得到，根据三角形的外角的性质得到，故③正确；根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到的周长，故④正确．
【详解】解：∵沿着直线折叠得到，
，
平分，
∴故①正确；
∵沿着直线折叠得到，
，
，
，
，
，
，
，
∵沿着折叠得到，
，
，
，
，
∴，故②错误；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵是等腰直角三角形，，
，
，
∴的周长，故④正确，
故选：B．
10．（3分）（2011·内蒙古赤峰·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）秒
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】D
【分析】设运动时间为x秒时，AP＝AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设运动的时间为x秒，
在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，
点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，
当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，AP＝AQ，AP＝20﹣3x，AQ＝2x，
即20﹣3x＝2x，
解得x＝4
故选：D．
第二部分（非选择题共90分）
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（3分）（2025·黑龙江·一模）把多项式分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
先提取公因式x，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：原式
故答案为：．
12．（3分）（2023·上海·中考真题）化简：的结果为 ．
【答案】2
【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．
【详解】解：；
故答案为：2．
13．（3分）（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，已知，点，，，在同一条直线上，交于点．若四边形的面积为，则四边形（即阴影部分）的面积为
【答案】9
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，即全等三角形的面积相等，以及图形面积的转化．解题的关键在于理解全等三角形面积相等这一性质，并能发现四边形与四边形的面积都可以通过全等三角形面积与面积的差来表示，从而建立起它们之间的等量关系．因为三角形全等，所以这两个三角形的面积相等．观察图形可知，的面积减去的面积就是四边形的面积，的面积减去的面积就是四边形（阴影部分）的面积，由此可通过面积的等量关系求出阴影部分面积．
【详解】∵
∴
∴
即
故答案为：9．
14．（3分）（25-26八年级上·四川内江·期中）已知三角形的三条边为a，b，c，满足，c为最长边且为奇数，则这个三角形的周长为
【答案】22或24
【分析】本题主要考查了完全平方式、非负数的性质以及三角形三边关系等知识．已知等式配方变形后，利用非负数的性质求出与的值，即可确定出三角形周长．
【详解】解：已知等式变形得：，
即，
∵，，
∴，，
解得：，，
∵c为最长边，
∴，即，
∵c为奇数，
∴c为9或11，
则这个三角形的周长为或．
故答案为：22或24．
15．（3分）（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若，，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查因式分解的应用，通过因式分解将原式化为 ，再代入已知条件计算．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：6．
16．（3分）（22-23八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，，，的面积为20，的垂直平分线分别交于E点，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 ．
【答案】10
【分析】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，结合三角形三边关系，证明线段的最值，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
∵是等腰三角形，点D是边的中点，，
∴，
∴，
，
∵是线段的垂直平分线，
∴点B关于直线的对称点为点A，
连接，则，
∴当点M在线段上时，的值最小，
∴的长10为的最小值．
故答案为：10．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（6分）（24-25八年级上·天津红桥·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键．
（1）根据整式的除法运算法则计算，系数除以系数，同底数幂相除，底数不变，指数相减，由此即可求解；
（2）运用完全平方公式展开，多项式乘以多项式的运算展开，最后再运用整式加减运算即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．（6分）（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，是的高，是的角平分线，F是中点，．
(1)求的度数；
(2)若与的周长差为3，，则 ．
【答案】(1)
(2)10
【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高．
（1）根据三角形的高的概念得到，根据直角三角形的性质求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算即可；
（2）根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：是的高，
，
，
，
是的角平分线，，
，
；
（2）解：是中点，
，
与的周长差为3，
，
，
，
，
故答案为：10．
19．（8分）（18-19八年级上·吉林白城·期末）如图，在中，，点D是的中点，点E在上．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．先证明，再证明，即可得出结论．
【详解】证明：点D是的中点，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
20．（8分）（22-23八年级上·河南开封·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．
(1)画出，使与关于x轴对称；
(2)求的面积；
(3)请在图中找到一点D，使，请直接写出点D的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求出点A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用割补法求解即可；
（3）取，利用勾股定理证明，再由即可证明．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由题意得，
（3）解；如图所示，点即为所求．
∵，
∴．
21．（10分）（24-25七年级下·安徽六安·期末）关于的方程．
(1)当时，求该方程的解；
(2)若该方程无解，求的值．
【答案】(1)
(2)2或1
【分析】本题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数：
（1）先将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可；
（2）先解方程，用含k的式子表示出x，，若该方程无解，则或，分别求解即可．
【详解】（1）解：时，关于的方程为，
化为整式方程，得：，
去括号，得：，
移项，合并同类项，得：，
解得，
当时，，
因此该方程的解为；
（2）解：，
等号两边同时乘以，得：，
解得，
若该方程无解，有两种情况：
，解得；
，即，解得，经检验符合，
综上可知，的值为2或1．
22．（10分）（2025·广西南宁·一模）某公司计划采购A型和B型储能锂电池系统．已知每套B型的进价比每套A型的进价多0.5万元，用6万元购进A型的数量与用9万元购进B型的数量相等．
(1)求每套A型储能锂电池系统的进价；
(2)该公司计划采购这两种系统共15套，总费用不超过20万元，则购买A型系统最少多少套？
【答案】(1)每套A型系统进价为1万元
(2)该公司购买A型系统最少5套
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解决本题的关键．
（1）设每套A型系统进价为万元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设该公司决定购买A型系统套，则B型系统购买套，根据总费用不超过20万元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每套A型系统进价为万元，
则每套B型系统进价为万元．
依题意，得，
解得，
检验：把代入，
所以是原分式方程的解．
答：每套A型系统进价为1万元．
（2）解：每套B型系统进价为（万元），
设该公司决定购买A型系统套，则B型系统购买套．
，
解得．
所以的最小整数解为5．
答：该公司购买A型系统最少5套．
23．（12分）（25-26八年级上·安徽·期末）（1）一个如图中的②所示的正方形．请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积．
方法1：______．方法2：______．
（2）利用等量关系解决下面的问题：
，，求和的值；
已知，求的值．
【答案】（1），，（2）①，，②
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解题的关键．
（1）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积；也可以直接利用小正方形的面积公式得到；
（2）①根据（1）的结论代入进行计算即可求解；②根据（1）的结论代入进行计算即可求解．
【详解】解：（1）阴影部分的面积等于大正方形与原长方形的面积差，或小正方形的面积，
∵小正方形的边长为，大正方形的边长为，
∴阴影部分的面积表示为或，
故答案为：，．
（2）①∵，，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．（12分）（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图1，在等腰中，，D在边上（端点除外），，且，连接，探究与的数量关系．
(1)先将问题特殊化，如图2，当时，直接写出的大小；
(2)再探究一般情形，如图1，求与的数量关系；
(3)将图1特殊化，如图3，当时，连接，M是的中点，N是的中点，判定以D，M，N为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3)为等腰直角三角形，见解析
【分析】（1 ）在上截取，使，连接，根据角的关系可证，可得，进而可证是等边三角形，即可得解；
（2）在上截取，使，连接，证明，可得，再根据等腰三角形的性质即可得解；
（3）连接，延长交于G，连接，设与交于H，证明，再证明，即可证明为等腰直角三角形，再根据等腰三角形的性质即可得证．
【详解】（1）解：在上截取，使，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2）解：在上截取，使，连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：为等腰直角三角形，证明如下：
连接，延长交于G，连接，设与交于H，
由（2）得：当时，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
，
，
N是的中点，
，
，
，
，
∵，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
为等腰直角三角形．
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