期末模拟练习卷（含答案）-2025-2026学年数学九年级上册人教版

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期末模拟练习卷-2025-2026学年数学九年级上册人教版
一、选择题
1．下列雪花图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为4，则⊙O的半径可能是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
3．下列事件是不确定事件的是(　　)
A．从只装有3个白球的袋子中摸出一个球，是白球
B．打开电视，正在播放新闻
C．抛掷一枚硬币，硬币终将落下
D．太阳从东边升起
4．已知抛物线 当0≤x≤m时， y的最小值为-1， 最大值为3，则m的取值范围为(　　)
A．m≥2 B．0≤m≤2 C．2≤m≤4 D．m≤4
5．已知抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线开口向下
B．抛物线的对称轴为直线
C．当时，y随x的增大而增大
D．抛物线与y轴交点的坐标是
6．如图，抛物线与直线交于点和点，则当时，的取值范围为（　　）
A． B．或
C． D．或
7．为了促进经济发展，从年月日至年月日，国家对贷款市场报价利率（）进行了两次下调，年期以上从降到了，设年期以上平均每次下调的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过点和是抛物线上第四象限内一动点，过点作轴的垂线，垂足为，当取最大值时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在直角坐标系中，以点为圆心，画半径的圆，点为直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（　　）
A．3 B．4 C． D．
二、填空题
11．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．从中任意摸出1个球，取出白球的概率为．则这个布袋中红球的个数为　 　．
12．若扇形的圆心角为，半径为3，则它的弧长为　 　．
13．若抛物线的对称轴为直线，则　 　．
14．斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于金州勇士队，下表是库里一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录：
罚球总数 400 1000 1600 2000 2887
命中次数 348 893 1432 1802 2617
罚球命中率 0.87 0.893 0.895 0.901 0.906
根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为　 　（精确到0.1）
15．如图，中，，，与的各边分别相切于点D，E，F，若的半径为2，则的周长是　 　．
16．我们定义：形如的函数叫做“鹊桥”函数．“鹊桥”函数 的图象如图所示．则下列结论：①； ②；③；④若直线与 的图象有2个公共点，则或．正确的有　 　 （填序号）
三、解答题
选择适当的方法解下列方程：
17．；
18．
19．已知关于的方程：．
（1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）设非0实数是方程的两根，试求的值．
20．如图，是半圆O的直径，C，D是半圆上的点，，过点C作于点E，连接相交于点 F．
（1）求证：；
（2）若，．求的长．
21．已知抛物线（m为常数，且）．
（1）不论为何值，抛物线的图象一定经过某些定点．请求出这些定点的坐标；
（2）若对于任意自变量，都有点与点分别到点的距离相等，则与形成的函数称为抛物线（异于）是抛物线的“倍相伴函数”．
①求抛物线的“2倍相伴函数”是的解析式；
②在①的情况下，的图象经过两个定点和（在左边），横坐标分别为、，若存在时，与都随着的增大而增大，求的取值范围．
22．如图，AB是⊙O的直径，P在AB的延长线上，PD与⊙O相切于D，C在⊙O上，PC＝PD.
（1）求证：PC是⊙O的切线.
（2）连接AC，若AC＝PC，PB＝1，求⊙O的半径.
23．为了解某区八年级学生体质测试情况，该区从全区八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试，把测试结果分为四个等级：A 级（优秀）、B 级（良好）、C 级（及 格）、D 级（不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图。请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 　 　人；
（2）图 1 中 A 级所在区域圆心角是 ▲ 度，并把图 2 条形统计图补充完整；
（3）该区八年级有学生 3500 名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为　 　人；
（4）测试老师想从 4 位同学（分别记为 E，F，G，H，其中 E 为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率。
24．对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上或图形M围成的区域内，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”．已知点．
（1）在点中，点______是线段关于原点O的“伴随点”；
（2）如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；
（3）已知抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，求n的最大值和最小值．
25．图，抛物线与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C．
（1）直接写出点 A，B，C 的坐标；
（2）如图1，连接，点 D 在抛物线上，连接，若，求点 D 的坐标；
（3）如图2，点P 在对称轴右侧的抛物线上，非平行y轴的直线l与抛物线有唯一公共点P．平移直线l，使其经过点，与抛物线交于 M，N 两点，连接交于点 E，Q 为的中点，连接，设点 P 的横坐标为m，若的面积为2，求m 的值．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】D
10．【答案】B
11．【答案】3
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】0.9
15．【答案】
16．【答案】②③④
【答案】17．，
18．，
19．【答案】（1）证明：∵关于的方程，
∵，
∴无论取何实数时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当时，有，
整理得：，
∵是非零实数，
∴，
∵是方程的两根，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
由（1）知，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
．
21．【答案】（1）解：令，
解得：，
在抛物线中，
令得，
令，得，
∴抛物线y的图象经过定点和．
（2）解：①依题意，与关于中心对称，
故，
设函数上的任意一点坐标为，
则关于的对称点为，
依题意必在函数上，
代入，
得，
化简得：，
令，
得，
②的图象经过定点和．
根据与关于中心对称，，
可得必过定点，，
故，
即．
对称轴为直线，对称轴为直线，
当时，的图象开口向上，在对称轴右侧随x增大而增大，
则时满足题意，
解得∶，
当时，的图象开口向下，在对称轴左侧随x增大而增大，
则时满足题意，
解得∶，
所以，当时，与都随x增大而增大，满足题意
当时，的图象开口向下，在对称轴左侧随x增大而增大，
则满足题意，
解得：，
当时，的图象开口向下，在对称轴右侧随x增大而增大，
则，满足题意，
解得：，
所以，当时，与都随x增大而增大，满足题意．
综上所述，当，与都随x增大而增大，或满足题意．
22．【答案】（1）证明：如图，
连接OC、OD，
在中，
，
∴，
∴∠PDO=∠PCO，
又∵PD是圆的切线，
∴∠PDO=90°，
∴∠OCP＝90°，
∴PC是⊙O的切线．
（2）解：如图，
∵AC＝PC，
∴
又∵，
∴，
又∵°，
∴∠CPA＝30°，
∴OP=2OC，
∵PB＝1，
∴r＝1．
23．【答案】（1）60
（2）解：36；
C级人数为：60×40%=24人
补全图形如下：
（3）525
（4）解：根据题意画树形图如下：
共有12种情况，选中小明的有6种， 则P（选中小明）=
24．【答案】（1）和
（2）
（3）解：如图：绕点O逆时针旋转得到，其中．
∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，
∴当过，即，
解得：，
n的最小值为；
同理，当过，得到n的最大值为．
25．【答案】（1），，
（2）解：如图，过D作轴于，
∵A（-1，0），C（0，-3），
∴OA=1，OC=3，
设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上，点D的坐标为或；
（3）解：设，
∴设直线l的解析式为，
由得，
直线l与抛物线有唯一公共点P，
此方程有两个相等的实数根，
∴，
，
，
∴直线l的解析式为，
平移后的直线的解析式为，
由得，
，
∴，
∴的中点Q的坐标为，
∴轴，，
设直线的解析式为，
，解得，
的解析式为，
联立，解得，
，
的面积的面积的面积，
，
（舍去），，
．
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