2026届高三数学上学期一轮专题复习：立体几何初步（含答案）

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2026届高三数学上学期一轮专题复习：立体几何初步
一、选择题
1．已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（　　）
A．若，，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
2．已知圆台下底面的正底面在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
3．在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，（单位：），小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积（单位：）的最大值是（　　）
A． B． C． D．
4．两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．三棱锥的所有棱长均为2，O是的中心，在三棱锥内放置一个以直线为轴的圆柱，则圆柱的体积不能超过（　　）
A． B． C． D．
6．在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为棱，上的动点（可与端点重合），若面，则线段的长度为（　　）
A． B． C． D．
7．在三棱锥中，，其他棱长都是，则三棱锥外接球的表面积是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（　　）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题
9．在棱长为1的正方体中，下列说法正确的有（　　）
A．平面
B．平面
C．点到平面的距离为
D．与平面所成的角为
10．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（　　）
A．当平面时，不可能垂直
B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C．当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为
D．当时，的最小值为
11．如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点（含端点），下列四个结论中，正确的有（　　）
A．存在点，使得平面
B．存在点，使得直线与直线所成的角为
C．存在点，使得三棱锥的体积为
D．不存在点，使得，其中为二面角的大小，为直线与直线所成的角
三、填空题
12．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与底面所成角的大小是　 　.
13．二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，，，且，，则的长为 　 　．
14．（如图甲）是一个水平放置的装有一定量水的四棱锥密闭容器（容器材料厚度不算），底面为平行四边形. 现将容器以棱为轴向左侧倾斜（如图乙），这时水面恰好经过，且分别为棱的中点，设棱锥的高为2，则图甲中，容器内的水面高度为　 　.
四、解答题
15．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点，且，
（1）若，求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值．
16．如图，在四棱锥中，平面，，，.
（1）证明：平面平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
17．如图，在四棱锥中，是边长为1的正三角形，面面，，，，C为的中点.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点F，使二面角的余弦值为，若存在，求.若不存在，请说明理由.
18．如图，四棱锥中，平面，，，，，，，M是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值；
（3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．如图，在四棱锥中，底面，且是矩形，是的中点，过作交于点．
（1）证明：平面；
（2）若与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】A,B,C
10．【答案】B,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）证明：当时，则为的中点，
所以为的中点，
又因为的中点，
所以为的中位线，
则，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：如图，设为线段的中点，
所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则
令，则，得．
则，
设直线与平面所成的角为，
则
，
则，
化简得，
则或．
16．【答案】（1）证明：如图，取中点为，连接，
则，
又因为，
所以，
则，
所以，且，
因为平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：作，垂足为，
由（1）知：平面平面，
因为平面，且平面平面，
所以平面，
则即为与平面所成角，
所以，
解得，
在中，由，
可得，
则，
以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
得，取，
设平面的一个法向量为
则，
得，取，
所以，
由图知，二面角是锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
17．【答案】（1）证明：证法一：取中点E，连接和，
C为中点，
且，
且，
且，
四边形为平行四边形，
则，
面，面，
面.
证法二：如图所示，取的中点Q，连接，，
在，C为中点，Q为中点，
，
平面，平面，
平面，
在四边形中，，，Q为中点，
，，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面
又，平面，
平面平面，
由平面，
平面.
（2）解：解法一：取中点O，连接，
则在等边中，，
面面，面面，面，
面，面，
可得，
又因为，，面，
面，
以N为坐标原点，，为x，y轴，
过点垂直于平面的直线为z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，
则，
，
依题意，可得平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
则，
设二面角为，
则，
或（舍），
则，
所以.
解法二：取中点O，连接，
则在等边中，，
面面，面面，面，
面，面，
可得，
又因为，，面，
面，
取的中点E，以O为原点，
分别以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，，
由是平面的一个法向量，记为，
假设线段上存在点F满足已知条件，
则，且，
设，则，
，
，，，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
取，
由已知条件，得，
整理得，
化简得，
解得或（舍去），
线段上存在点F，当时，满足已知条件，
则，
，
，
求平面的一个法向量的另一种解法：
，
平面的一个法向量可取.
解法三：（几何法）作，，
，，，平面，
平面，平面，
，
为二面角的平面角，
设，在中，，
，
，
在中，
由，
得，
由，
得，
在直角三角形中，，
，
在直角三角形中，，
则在中，由，
得.
18．【答案】（1）证明：取的中点E，连接，
因为M是的中点，
所以且，
又因为且，
所以且，
则四边形是平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：由题意，得平面且，
则两两垂直，建立如图空间直角坐标系，
又因为，是的中点，
所以，
显然平面的一个法向量为，
设平面PCD的一个法向量为，，
所以，
令，则，
则，
所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.
（3）解：设且，，
则，，，
设平面PAQ的法向量为，
则，
令，所以，
因为点D到平面的距离为，又因为，
所以，
则，
所以，
解得，
所以存在点Q，使得点D到平面的距离为，此时.
19．【答案】（1）证明：因为底面，平面，
所以，
又因为又底面为矩形，所以，
因为平面，，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，为的中点，所以，
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，，
所以平面.
（2）解：由（1）知，平面，垂足为，
所以即为与平面所成的角，
由，，得，
在中，，，
所以，
则.
由，得，
由，得，
以为原点，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，
因为为中点，
所以，且，.
设平面的法向量为，
则，可取.
由（1）可知，平面的法向量可取，
设平面与平面所成的角为，
则，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.
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