2026届高三数学上学期一轮专题复习：空间向量与立体几何（含答案）

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2026届高三数学上学期一轮专题复习：空间向量与立体几何
一、选择题
1．已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在平行六面体中，点为的中点，设，则（　　）
A． B．
C． D．
3．下列命题正确的是（　　）
A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B．若，则存在唯一的实数，使
C．若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为
D．若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为
4．在四面体中，空间一点满足，若四点共面，则的值为 （　　）
A． B． C． D．
5．如图，在三棱锥中，平面，，，点为的中点，则（　　）
A．8 B．4 C．－8 D．－4
6．已知二面角的大小为，棱l上有A，B两点，线段AC与BD分别在这个二面角的两个半平面内，并且线段AC与BD都垂直于若，，，则CD的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（　　）
A． B． C． D．2
8．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（　　）
A．
B．直线与所成角的正弦值为
C．向量与的夹角是
D．平面
二、多项选择题
9．下列关于空间向量的说法正确的是（　　）
A．零向量与任意向量平行
B．相反向量就是方向相反的向量
C．零向量不能作为任意直线的方向向量
D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量
10．如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（　　）
A．满足平面的点的轨迹长度为
B．满足的点的轨迹长度为
C．存在唯一的点满足
D．存在点满足
11．如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．异面直线所成角的余弦值为
C．
D．若四点共面，则点是线段的中点
三、填空题
12．已知向量，若，则　 　.
13．在空间直角坐标系中，若，四点共面，则　 　．
14．如图，直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为　 　．
四、解答题
15．如图，在三棱锥中，分别是的中点．求
（1），用表示
（2）求异面直线所成角的余弦值．
16．如图.在四棱锥中，四边形是直角梯形.，且为中点.
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.
17．马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到中的某一根绳子上.
（1）当点取在距离点米处时，证明拉绳所在直线和平面垂直；
（2）经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置.
18．如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，，平面，，.
（1）已知点G为上一点，，求证：与平面不平行；
（2）已知点F到平面的距离为，求平面与平面的夹角的余弦值.
19．如图，在四棱锥中，四边形是梯形，其中，，平面平面．
（1）证明：．
（2）若是棱上的动点，且与平面所成角的正切值为．
（i）求二面角的余弦值；
（ii）记直线与平面所成角为，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】A
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,B,C
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：因为，
所以，
又因为是的中点，
所以.
（2）解：连接，取的中点，连接，
则，
是异面直线，所成的角，
因为分别是的中点，
所以，
，，
又，
，
，
异面直线，所成的角的余弦值为．
16．【答案】（1）证明：中点为，连接，，
则四边形为正方形，且根据勾股定理得，
所以，则，所以.
又因为，，平面，所以平面.
因为平面，所以，又因为，所以，
且，平面，所以平面.
（2）解：由（1）知，平面，且.
以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，，则，
则，，，
设平面与平面的法向量分别为和
则，令，得.
，令，得.
设平面与平面的夹角为，，
则，解得.
因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）证明：因为，，所以是正三角形，则，
易知底面圆，而底面圆，所以，
又在中，，所以，
因为是正三角形，所以，
且，，所以，，
同理可证，
又，平面，所以平面，
即拉绳所在直线和平面垂直；
（2）解：如图，建立以为原点的空间直角坐标系，
设，
所以
设平面的法向量为，则，
令，则，故，
设直线和平面所成的角为，
则
，
当且仅当，即米时，拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大，
故应该把点取在距离点米处.
18．【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以，.
又，所以以为坐标原点，AF，AB，AD分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
因为，即与不垂直，
所以与平面不平行.
（2）解：设且，则，所以.
由（1）知平面的一个法向量，
所以到平面的距离，
解得或（舍去），故.
，，
设平面的法向量为，则，
令，则，所以，
∴平面与平面的夹角的余弦值为.
19．【答案】（1）证明 因为，所以为正三角形，所以，
又因为，所以，在中，，
所以，所以，所以，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以
（2）解：（i）因为，，，平面，所以平面，
所以与平面所成角即为，所以，所以；
以为原点，分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系，如下图所示，
因为，所以，
设平面的一个法向量为，所以，
所以，取，则，所以，
取平面的一个法向量为，
设二面角的平面角大小为，
所以，
由图知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为；
（ii）因为，即，设，且，
因为，所以，
所以，所以，
设直线与平面所成角为，
所以
令，所以，
由二次函数性质可知，当，即，即时，有最大值.
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