2026届高三数学上学期一轮专题复习：平面向量及其应用（含答案）
文档属性
| 名称 | 2026届高三数学上学期一轮专题复习：平面向量及其应用（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 692.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-01-04 00:00:00 | ||
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文档简介
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2026届高三数学上学期一轮专题复面向量及其应用
一、选择题
1．若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
3．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
4．若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
7．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（ ）（动力做的功）
A． B．3 C．4 D．5
8．已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．设，是两个非零向量，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．
C．是平面的一个法向量
D．
11．已知的三个内角分别为，，，在线段上，且满足平分．则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知向量，，若，则 ．
13．在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 .
14．在中，内角所对的边分别是，已知，，则 ，的值为 ．
四、解答题
15．已知的外接圆半径为，内切圆半径为，角的对边分别为，且
（1）求的值；
（2）求的取值范围.
16．空间直角坐标系中，分别以，为邻边作一个平行四边形.
（1）分别求这个平行四边形两条对角线的长；
（2）求这个平行四边形的面积.
17．如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）当是的中点时，求与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的最大值.
18．已知，其中向量，
（1）求的最小正周期以及其在的单调增区间；
（2）在中，角的对边分别为，若，求角的值．
19．如图所示，某景区有两条公路（在同一平面内），在公路上有两个景点入口游客服务中心在点处，已知，.
（1）已知该景区工作人员所用的对讲机是同一型号，该型号对讲机的信号有效覆盖距离为3km.若不考虑其他环境因素干扰，则处的工作人员与处的工作人员能否用对讲机正常通话
（2）已知一点处接收到对讲机的信号强度与到该对讲机的距离的平方成反比.欲在公路CQ段上建立一个志愿服务驿站，且要求在志愿服务驿站接收景点入口处对讲机的信号最强.若选址使，请判断该选址是否符合要求
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】B,C,D
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】；
15．【答案】（1）解：由题意，由余弦定理得，
又，则，
又由正弦定理：，解得.
（2）解：由（1）得，则，
，
则，
方法一：由，
解得（当且仅当时取等号），
又因为，故，
从而得.
方法二：在中，由正弦定理得，
即，
则
，
又，则，
，
即，
.
16．【答案】（1）因为平行四边形是以，为邻边的平行四边形，所以这个平行四边形对角线对应的向量为和长度为、（2）因为，，所以，，所以所以故以，为邻边的平行四边形的面积：
（1）解：因为平行四边形是以，为邻边的平行四边形，
所以这个平行四边形对角线对应的向量为和长度为、
（2）解：因为，，
所以，，所以
所以故以
，为邻边的平行四边形的面积：
17．【答案】（1）解：设．建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
（2）解：当是的中点时，，
则，
设平面的法向量为，
，
令，，
设与平面所成角为，
则，
与平面所成角的正弦值为．
（3）解：设
当时，平面与平面重合；
当时，设平面的法向量为，
则，
令，则，
当时，设平面的法向量为，则，
令，则可求得平面的一个法向量为，
，
令，
则
，
当且仅当时，即当时，即d昂时取等号，
此时，
平面与平面夹角的最大值为．
18．【答案】（1）解：（1） ，
最小正周期 ，
其增区间满足 ，
即，
令，有，令，有，
故在上的单调增区间为和；
（2）解：（2）时，有，
而中，，故，即，
由正弦定理，得或（舍），
所以.
19．【答案】（1）解：由， 可知为锐角，则，
在中，由正弦定理，可得，
因为，所以A处工作人员对讲机能与C处工作人员正常通话；
（2）解：由余弦定理，，
因为，所以的长为点A与直线上所有点的距离的最小值，
则D点选址符合要求.
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2026届高三数学上学期一轮专题复面向量及其应用
一、选择题
1．若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
3．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
4．若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
7．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动．在冰球运动中冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小华同学在练习冰球的过程中，以力，作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功的最大值为（ ）（动力做的功）
A． B．3 C．4 D．5
8．已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若使得成立的点P的横坐标为3，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．设，是两个非零向量，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．
C．是平面的一个法向量
D．
11．已知的三个内角分别为，，，在线段上，且满足平分．则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知向量，，若，则 ．
13．在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 .
14．在中，内角所对的边分别是，已知，，则 ，的值为 ．
四、解答题
15．已知的外接圆半径为，内切圆半径为，角的对边分别为，且
（1）求的值；
（2）求的取值范围.
16．空间直角坐标系中，分别以，为邻边作一个平行四边形.
（1）分别求这个平行四边形两条对角线的长；
（2）求这个平行四边形的面积.
17．如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）当是的中点时，求与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的最大值.
18．已知，其中向量，
（1）求的最小正周期以及其在的单调增区间；
（2）在中，角的对边分别为，若，求角的值．
19．如图所示，某景区有两条公路（在同一平面内），在公路上有两个景点入口游客服务中心在点处，已知，.
（1）已知该景区工作人员所用的对讲机是同一型号，该型号对讲机的信号有效覆盖距离为3km.若不考虑其他环境因素干扰，则处的工作人员与处的工作人员能否用对讲机正常通话
（2）已知一点处接收到对讲机的信号强度与到该对讲机的距离的平方成反比.欲在公路CQ段上建立一个志愿服务驿站，且要求在志愿服务驿站接收景点入口处对讲机的信号最强.若选址使，请判断该选址是否符合要求
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】B,C,D
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】；
15．【答案】（1）解：由题意，由余弦定理得，
又，则，
又由正弦定理：，解得.
（2）解：由（1）得，则，
，
则，
方法一：由，
解得（当且仅当时取等号），
又因为，故，
从而得.
方法二：在中，由正弦定理得，
即，
则
，
又，则，
，
即，
.
16．【答案】（1）因为平行四边形是以，为邻边的平行四边形，所以这个平行四边形对角线对应的向量为和长度为、（2）因为，，所以，，所以所以故以，为邻边的平行四边形的面积：
（1）解：因为平行四边形是以，为邻边的平行四边形，
所以这个平行四边形对角线对应的向量为和长度为、
（2）解：因为，，
所以，，所以
所以故以
，为邻边的平行四边形的面积：
17．【答案】（1）解：设．建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，
，
异面直线与所成角的余弦值为．
（2）解：当是的中点时，，
则，
设平面的法向量为，
，
令，，
设与平面所成角为，
则，
与平面所成角的正弦值为．
（3）解：设
当时，平面与平面重合；
当时，设平面的法向量为，
则，
令，则，
当时，设平面的法向量为，则，
令，则可求得平面的一个法向量为，
，
令，
则
，
当且仅当时，即当时，即d昂时取等号，
此时，
平面与平面夹角的最大值为．
18．【答案】（1）解：（1） ，
最小正周期 ，
其增区间满足 ，
即，
令，有，令，有，
故在上的单调增区间为和；
（2）解：（2）时，有，
而中，，故，即，
由正弦定理，得或（舍），
所以.
19．【答案】（1）解：由， 可知为锐角，则，
在中，由正弦定理，可得，
因为，所以A处工作人员对讲机能与C处工作人员正常通话；
（2）解：由余弦定理，，
因为，所以的长为点A与直线上所有点的距离的最小值，
则D点选址符合要求.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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