2026届高三数学上学期一轮专题复习：圆锥曲线的方程（含答案）

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2026届高三数学上学期一轮专题复习：圆锥曲线的方程
一、选择题
1．已知直线与椭圆交于两点，若（是椭圆的两个焦点），则四边形的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
2．“”是“椭圆的离心率为”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知等轴双曲线的实轴长为，左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的两条渐近线从左到右依次交于，两点，且，则（　　）
A． B． C． D．
4．设椭圆的左右焦点为，右顶点为，已知点在椭圆上，若，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
5．已知与分别是椭圆的左、右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆C的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，直线与另一条渐近线相交于点，若是线段的中点，则双曲线的渐近线为（　　）
A． B． C． D．
7．设抛物线C：的焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，其中点A位于第一象限，当l斜率为正时，x轴上存在三点D，E，H满足，，，则（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
8．已知斜率为的直线过双曲线的左焦点F，且与C的左，右两支分别交于A，B两点，设O为坐标原点，P为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率（　　）
A．2 B． C．3 D．
二、多项选择题
9．已知抛物线上一点到焦点 F 的距离为2，又过点 F 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，则下列说法正确的是（　　）
A．抛物线C方程为：
B．设，则周长的最小值为
C．若，则直线AB的倾斜角为
D．x 轴上存在一点N，使为定值
10．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，下列命题正确的是（　　）
A．若椭圆上存在一点使，则椭圆离心率的取值范围是
B．若椭圆上存在四个点使得，则的离心率的取值范围是
C．若椭圆上恰有6个不同的点， 使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是
D．若任意以椭圆的上顶点为圆心的圆与椭圆至多3个公共点，则椭圆的离心率的取值范围是
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（　　）
A．曲线有两条对称轴
B．曲线上的点到原点的最大距离为
C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为
D．四叶草面积小于
三、填空题
12．已知双曲线，则双曲线的离心率是　 　．
13．已知椭圆的两个焦点为、，是椭圆上一点，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为　 　．
14．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为　 　.
四、解答题
15．已知椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，当时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的下顶点为，的面积为，的面积为，求的最大值.
16．已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点P的轨迹记为曲线
（1）求曲线C的方程；
（2）过的直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点.
（i）若，求直线l的方程；
（ii）若，求的面积.
17．已知双曲线的左、右顶点为，右焦点为，离心率为．
（1）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
（2）过点的直线交双曲线于点（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值．
18．已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值．
19．已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线被曲线所截的弦长为，求的值；
（3）若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于两点（点在之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值.
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】A,B,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】B,C,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由右焦点，则，故，即，
若，当时，为的中点，即椭圆的通径，
所以，即，可得（负值舍），故，
所以.
（2）解：当直线斜率为0时，要使最大，则，，
所以，此时最大；
当直线斜率不为0或斜率不存在时，令且，，
联立，得，显然，
所以，，
所以，
直线，且，
则到直线的距离分别为，，
所以，，则，
要使最大，则，此时且，
由
当时，，结合对勾函数的性质，
当时，当且仅当时取等号，
当时，当且仅当时取等号，
所以或且，
当时，，
综上，的最大值为.
16．【答案】（1）解：由已知条件，得：，
则两边平分并化简，得：，
所以，即为曲线C的方程.
（2）解：（i）设直线l的方程为，
将其代入，得，
则，
所以或，
则，
，
，
，
解得，
所以，直线.
（ii）由
得，
所以，
则，
或，
由
当时，；当时，，
所以或.
17．【答案】（1）解： 由题意，双曲线的中心为坐标原点，
右焦点为，离心率为，
可得，解得，，
所以双曲线的标准方程为，其渐近线方程为．
（2）证明：由（1）知，，．
显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
设，，由，消去，得，
显然，，则，，，
直线的斜率，直线的斜率，
所以，为定值．
18．【答案】（1）解：易知抛物线的焦点，
到抛物线的焦点的距离为 ，即，解得，
则的方程为；
（2）解：设，，
联立，消去整理可得，，则，
由韦达定理可得：，
由，可得，解得，
则，
当且仅当时等号成立，即面积的最小值为.
19．【答案】（1）解：由题意可得：，解得，
则曲线的方程为；
（2）解：设直线与曲线的两交点的坐标分别为，
联立，消元整理可得，
可得：，
则弦长为
，化简得，
即，得，故的值为；
（3）解：设，直线的方程为，
联立，消元整理可得，
由韦达定理可得，
设点，由，可得，
则，得，故，
又因为，则，可得，所以，可得，
解得或（舍），则.
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