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浙教版2025—2026学年七年级上册期末冲刺全能夺冠测评卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·南宁期末）如图，把一副三角板叠合在一起，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024七上·嵩明期末）随着互联网技术和社交媒体的快速发展，“直播带货”已成为火热的销售模式之一．某品牌上衣在实体店按成本价提高销售，在直播间以实体店售价的8折进行销售，结果在直播间每卖出1件该运动上衣可获利36元，设该运动上衣的成本价为x元，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024七上·平南期末）若代数式的值为14，则代数式的值为（ ）
A． B．7 C．9 D．10
4．（2024七上·钟山期末）三个有理数在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．0
5．（2024七上·高要期末）将正整数1至2023按一定规律排列如下表．现在同时平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．116 B．117 C．129 D．138
6．（2024七上·仙居期末）若，则（ ）．
A．3 B．6 C． D．
7．（2024七上·婺城期末）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴的原点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了点B的位置，则线段AB的中点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024七上·嘉兴期末）下列说法：
①在所有连结两点的线中，线段最短；
②连接两点的线段叫做这两点的距离；
③若线段，则点C是线段AB的中点；
④经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，是因为两点确定一条直线．
其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①④ C．②③ D．①②③④
9．（2025七上·鄞州期末）如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的选项是（ ）
A． 与 的和 B． 与 的积
C． 与 的差 D． 与 的商
10．（2024七上·坡头期末）规定：，．例如，．下列结论中：①若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是7．其中正确的所有结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·环江期末）如图，小颖同学用直尺画一条经过点，的数轴，数轴上点，分别位于直尺的，处，此时发现直尺的0刻度的位置与数轴上的对应，点与数轴上的对应，则线段的中点与数轴上对应的数是 ．
12．（2024七上·南充期末）若是关于的方程的解，那么的值为 ．
13．（2024七上·电白期末）若一个角的2倍比这个角的补角的3倍还少，则这个角的度数为 .
14．（2024七上·桂林期末） 三个面积均是的多边形如图叠放，其中，正方形阴影部分外的面积是，六边形阴影部分外的面积是，若两块阴影部分的面积之和正好是五边形面积的一半，则a、b、m三者之间的数量关系是 ．
15．（2024七上·龙岗期末）如图所示的网格是正方形网格，则 填“”，“”或“”
16．（2024七上·武威期末）下列说法：①，则；②数轴上到某点距离相等的两个点对应的数相等；③，则；④，则．正确的有 （填序号）．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·滕州期末）解方程
（1）；
（2）；
18．（2024七上·龙门期末）巡警车在一条南北大道上巡逻，某天巡警车从岗亭处出发，规定向北方向为正，当天行驶记录如下：（单位：千米）
（1）最终巡警车是否回到岗亭处？若没有，在岗亭何方，距岗亭多远？
（2）在巡逻过程中，最远处离出发点有多远？
（3）摩托车行驶1千米耗油0.2升，油箱有油10升，够不够？若不够，途中还需补充多少升油？
19．（2025七上·望城期末）如图，点在直线上，射线在直线上方，且，射线平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求．（请用含的代数式表示）．
20．（2024七上·金华期末）已知一个正数的平方根为和．
（1）求的值；
（2），的平方根是多少？
21．（2024七上·湖南期末）某同学做一道数学题，已知两个多项式，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为．
（1）求多项式A；
（2）请你替这位同学求出的正确答案；
（3）若的值与x的取值无关，求的值．
22．（2025七上·济南期末）在进行有理数计算时，有些题目数据较多，如果用原始数据计算，计算量大容易出错．这时我们可以先找基准量，根据基准量重新标记这些数据，然后再列式计算．
2023年是中国提出共建“一带一路”倡议的十周年，硕果累累．某市农产品已出口到33个“一带一路”沿线国家和地区．如图，表格给出了通过两种不同方式记录的该市2023上半年农产品的出口量（单位：吨．其中，方式二以m为标准，超出记为“+”，不足记为“﹣”）．
月份 1 2 3 4 5 6
农产品出口量（单位：吨）方式一 674 734 648 771 780 b
农产品出口量（单位：吨）方式二 a
请根据表中信息解决下列问题：
（1） __________， _________， __________；
（2）以下是该市下半年6个月农产品的出口量（以m为标准，超出记为“+”，不足记为“﹣”，单位：吨）
求该市下半年6个月农产品的出口总量；
（3）结合（2）中的信息，求该市2023年平均每个月的农产品出口量．
23．（2024七上·湖南期末）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”．
（1）判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由；
（2）若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值；
（3）已知为整数，若关于的方程的解是整数，且其与方程互为“互反方程”，试求所有可能的的和．
24．（2024七上·恩施期末）今年以来，由于受国际天然气形势的影响，我国天然气市场总体呈现量紧价高的态势，为确保天然气保供稳价，提高居民生活用气的保障，某地决定从今年11月开始调整居民用气价格，调整前后价格如表（每月用气量为a立方米）：
用气类别
第一档（0＜a≤60） 第二档（60＜a≤80） 第三档（a＞80）
调整前 2.60 2.90 3.65
调整后 2.95 3.25 4.10
注：该地天然气收费按月实行阶梯收费
（1）某用户10月（调整前）缴天然气费91元，求该用户这月用气量；
（2）若该用户11月（调整后）用气量与10月相同，则该用户11月比10月多缴费多少元？
（3）因天气转冷，该用户今年12月因取暖用气量急剧增加，缴天然气费283元，该用户今年12月用气量是多少立方米？
25．（2024七上·合江期末） 学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a＜0时，|a|＝﹣a，根据以上阅读完成下面的问题：
（1） ；
（2）如果有理数，则 ；
（3）请利用你探究的结论计算下面式子：
（4）如图，数轴上有a、b、c三点，化简.
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浙教版2025—2026学年七年级上册期末冲刺全能夺冠测评卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025七上·南宁期末）如图，把一副三角板叠合在一起，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由图形可知，∠AOB=60°-45°=15°．
故选：A．
【分析】本题考查了三角板的角度运算，根据等腰三角板中的锐角为45°，而直角三角板板中较大的锐角为60°，结合角的度数进行计算，即可求解.
2．（2024七上·嵩明期末）随着互联网技术和社交媒体的快速发展，“直播带货”已成为火热的销售模式之一．某品牌上衣在实体店按成本价提高销售，在直播间以实体店售价的8折进行销售，结果在直播间每卖出1件该运动上衣可获利36元，设该运动上衣的成本价为x元，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设该运动上衣的成本价为x元，则：在实体店的售价为：元，在直播间的售价为：，
由题意，得：；
故选C．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设该运动上衣的成本价为x元，得到实体店的售价为：元，结合利润等于售价减去成本，列出方程，即可求解.
3．（2024七上·平南期末）若代数式的值为14，则代数式的值为（ ）
A． B．7 C．9 D．10
【答案】C
【解析】【解答】解：∵2x2 5x＋4＝14，
∴2x2 5x＝10，
∴当2x2 5x＝10时，原式=(2x2 5x)＋4＝×10＋4＝9．
故答案为：C．
【分析】先求出2x2 5x＝10，再将其代入原式=(2x2 5x)＋4计算即可.
4．（2024七上·钟山期末）三个有理数在数轴上表示的位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【解析】【解答】根据数轴可得：a<0∴a-b<0，c-b>0，c-a>0，
∴，
故答案为：D.
【分析】先利用数轴判断出a-b<0，c-b>0，c-a>0，再去掉绝对值，最后合并同类项即可.
5．（2024七上·高要期末）将正整数1至2023按一定规律排列如下表．现在同时平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．116 B．117 C．129 D．138
【答案】A
【解析】【解答】解；设最小的数为x，则另外两个数为，
∴这三个数的和为，
A、当时，，符合排列的特点，A符合题意；
B、当时，，不符合排列的特点，B不符合题意；
C、当时，，不符合排列的特点，C不符合题意；
D、当时，，不符合排列的特点，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】设最小的数为x，则另外两个数为，这三个数的和为，进而对选项逐一解一元一次方程即可求解。
6．（2024七上·仙居期末）若，则（ ）．
A．3 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：已知：，
，
故答案为：C．
【分析】根据整式加减运算，先去括号，再合并同类项，即可得到答案．
7．（2024七上·婺城期末）如图，将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴的原点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，点A到达了点B的位置，则线段AB的中点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：将半径为1的圆形纸片上的点A与数轴的原点重合，将纸片沿着数轴向左滚动一周，滚动的距离为2π×1=2π.因为A点表示的数是0，B在A的左边，AB=2π，所以AB的中点到A的距离为π，且在A的左边，所以它表示的数是-π.
故答案为：C.
【分析】先求出AB的距离，再根据A、B的位置确定AB的中点的位置，最后确定中点表示的数.
8．（2024七上·嘉兴期末）下列说法：
①在所有连结两点的线中，线段最短；
②连接两点的线段叫做这两点的距离；
③若线段，则点C是线段AB的中点；
④经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，是因为两点确定一条直线．
其中说法正确的是（ ）
A．①②③ B．①④ C．②③ D．①②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：两点之间线段最短，①正确；连接两点的线段的长度叫做这两点的距离，②错误；若线段AC=BC，则点C在线段AB的垂直平分线上，不一定是中点，③错误；两点就可以确定一条直线，④正确；所以，正确的为①④.
故答案为：B.
【分析】根据线段的性质和两点间距离的定义解题即可.
9．（2025七上·鄞州期末）如图，将周长相等的正方形 和长方形 放入一个大长方形内，大长方形未被覆盖部分为①和②，若已知①和②的周长之差为 6，则下列可求具体数值的选项是（ ）
A． 与 的和 B． 与 的积
C． 与 的差 D． 与 的商
【答案】C
【解析】【解答】设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．中间四边形的周长为③
①+③的周长为：，
②+③的周长为：，
已知①和②的周长之差为6，
①+③的周长和②+③的周长之差为6，
即，
化简可得，
则，
因为正方形和长方形周长相等，
所以，可得，
又因为，
可通过这两个式子求出的值，
所以与的差可求．
与的和，与的积，与的商，仅根据现有条件无法求出具体数值．
故答案为：C．
【分析】设正方形的边长为，长方形的长为，宽为．根据题意得到．再由正方形和长方形周长相等得到．即可得到和，然后求出（即）与（即）的差解题即可．
10．（2024七上·坡头期末）规定：，．例如，．下列结论中：①若，则；②若，则；③能使成立的的值不存在；④式子的最小值是7．其中正确的所有结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：①中，若，即，
解得：，
则，故①正确；
②中，若，则，故②正确；
③中，若，则，即（无解）或，
解得：，即能使已知等式成立的x的值存在，故③错误；
④中，式子，此式子表示数轴上一个点到和的距离之和，当这个点所表示的数在与3之间时，的最小值是7，故④正确．
综上，正确的所有结论是：①②④．
故选：B．
【分析】本题以新规定为载体，考查了绝对值的意义和化简、整式的加减，以及一元一次方程的求解等知识，结合新定义的规定，逐项分析判断，即可求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024七上·环江期末）如图，小颖同学用直尺画一条经过点，的数轴，数轴上点，分别位于直尺的，处，此时发现直尺的0刻度的位置与数轴上的对应，点与数轴上的对应，则线段的中点与数轴上对应的数是 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵直尺的0刻度的位置与数轴上的 4对应，点A与数轴上的 2对应，
而点A位于直尺的1cm处，
∴1cm表示2个单位长度，
∵数轴上点B位于直尺的9cm处，
∴AB＝8cm，
∴在直尺上线段AB的中点到点A的距离为4cm，
∴在数轴上线段AB的中点到点的距离为4×2＝8，
在数轴上，把点A向右平移8个单位后对应点表示的数为 2＋8＝6，
即线段AB的中点与数轴上对应的数是6．
故答案为：6．
【分析】先求出1cm表示2个单位长度，再求出在数轴上线段AB的中点到点的距离为4×2＝8，最后求出线段AB的中点与数轴上对应的数是6即可．
12．（2024七上·南充期末）若是关于的方程的解，那么的值为 ．
【答案】2
【解析】【解答】是关于的方程的解，
，
，
故答案为：2.
【分析】根据一元一次方程的根的定义得到，进而得到，再将 去括号后进行整理并整体代入即可求解.
13．（2024七上·电白期末）若一个角的2倍比这个角的补角的3倍还少，则这个角的度数为 .
【答案】
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，
根据题意得：3（180° x） 20°＝2x，
解得x＝104°，
故答案为：104°．
【分析】设这个角的度数为x，根据“一个角的2倍比这个角的补角的3倍还少”列出方程3（180° x） 20°＝2x，再求解即可.
14．（2024七上·桂林期末） 三个面积均是的多边形如图叠放，其中，正方形阴影部分外的面积是，六边形阴影部分外的面积是，若两块阴影部分的面积之和正好是五边形面积的一半，则a、b、m三者之间的数量关系是 ．
【答案】a+b=m.
【解析】【解答】解：∵ 正方形阴影部分外的面积是，
∴ 正方形阴影部分外的面积为（m-a），
∵ 六边形阴影部分外的面积是，
∴六边形阴影部分外的面积为（m-b），
∵ 两块阴影部分的面积之和正好是五边形面积的一半，
∴（m-a）+（m-b）=m，
∴a+b=m.
故答案为：a+b=m.
【分析】由题意得正方形阴影部分外的面积为（m-a），六边形阴影部分外的面积为（m-b），再利用两块阴影部分的面积之和正好是五边形面积的一半， 可得（m-a）+（m-b）=m，继而得解.
15．（2024七上·龙岗期末）如图所示的网格是正方形网格，则 填“”，“”或“”
【答案】
【解析】【解答】解：如图，以OA为边，向上作∠M'P'N'=∠MPN，
∵OB∥M'P'，
∴∠AOB=∠M'P'N'，
∴∠MPN=∠AOB.
故答案为：=.
【分析】利用格点的特点，以OA为边，向上作∠M'P'N'=∠MPN，利用平行线的性质可知∠AOB=∠M'P'N'，据此可证得∠MPN=∠AOB.
16．（2024七上·武威期末）下列说法：①，则；②数轴上到某点距离相等的两个点对应的数相等；③，则；④，则．正确的有 （填序号）．
【答案】①
【解析】【解答】解：∵，
∴，，故①正确；
∵数轴上到原点距离相等的两个点；
∴这两个点对应的数的绝对值相等，
∴数轴上到某点距离相等的两个点对应的数不一定相等；故②错误；
③∵，
∴当时，则；
当时，则；
当时，则；
∴当时，则；
则或，故③错误；
∵，
∴数到数的距离等于数到数的距离，
则当时，．故④错误．
故答案为：①．
【分析】 ① 、根据可得，进一步得可判断① ．
② 、根据数轴上到原点距离相等的两个点得这两个点对应的数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，即可判断．
③ 、根据，对a、b、c的取值展开分类讨论逐个分析化简绝对值，即可判断③．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024七上·滕州期末）解方程
（1）；
（2）；
【答案】（1）解：去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：.
（2）解：方程两边同乘12，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
【解析】【分析】（1）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
（1）解：去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2）解：方程两边同乘12，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
18．（2024七上·龙门期末）巡警车在一条南北大道上巡逻，某天巡警车从岗亭处出发，规定向北方向为正，当天行驶记录如下：（单位：千米）
（1）最终巡警车是否回到岗亭处？若没有，在岗亭何方，距岗亭多远？
（2）在巡逻过程中，最远处离出发点有多远？
（3）摩托车行驶1千米耗油0.2升，油箱有油10升，够不够？若不够，途中还需补充多少升油？
【答案】（1）解：，
故最终巡警车没有回到岗亭处，在岗亭南4千米处．
（2）解：（千米），（千米），（千米），（千米），（千米），（千米），（千米）．
故在巡逻过程中，最远处离出发点有10千米远．
（3）解：共行驶路程：（千米），
需要油量为：（升），则还需要补充的油量为（升）．
故不够，途中还需补充1.6升油．
【解析】【分析】（1）将题干中的数据相加，再结合结果分析判断即可；
（2）先求出每一次巡警车距离出发点的距离，再比较大小即可；
（3）先求出总路程，再利用“总油耗=每千米的油耗×总路程”，最后求解即可.
19．（2025七上·望城期末）如图，点在直线上，射线在直线上方，且，射线平分．
（1）若，求的度数；
（2）若，求．（请用含的代数式表示）．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
又∵射线平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）解：∵，，∴，
又∵射线平分，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）利用角的和差得到，再根据角平分线得到的度数，然后利用角的和差解题即可；
（2）根据（1）的计算方法，用代数式表示角度解题．
（1）解：∵，，
∴，
又∵射线平分，
∴，
∴，
∴的度数为；
（2）∵，，
∴，
又∵射线平分，
∴，
∴，
∴．
20．（2024七上·金华期末）已知一个正数的平方根为和．
（1）求的值；
（2），的平方根是多少？
【答案】（1）解：正数的平方根为和，这两个数互为相反数或表示同一个数，
或，
解得：或
解得：或；
（2）解：，
，，，
，，，
，
的平方根是．
【解析】【分析】（1）根据平方根的性质得到：或进而解此方程即可求解；
（2）根据非负数之和为零，则每个非负数均为0，即可求出a、b、c的值，即可知进而即可求解.
21．（2024七上·湖南期末）某同学做一道数学题，已知两个多项式，其中，试求．这位同学把误看成，结果求出的答案为．
（1）求多项式A；
（2）请你替这位同学求出的正确答案；
（3）若的值与x的取值无关，求的值．
【答案】（1）解：由题意得：，
又，
∴．
（2）解：由（1）得，
∴．
（3）解：∵
的值与x的取值无关，
∴，
解得．
【解析】【分析】（1）根据利用合并同类项求出多项式A即可；
（2）合并同类项求出即可；
（3）先表示出多项式，再令x的项系数为0，计算即可．
（1）解：由题意得，
又，
所以．
（2）由（1）得，
所以．
（3）因为，
又的值与x的取值无关，
所以，
解得．
22．（2025七上·济南期末）在进行有理数计算时，有些题目数据较多，如果用原始数据计算，计算量大容易出错．这时我们可以先找基准量，根据基准量重新标记这些数据，然后再列式计算．
2023年是中国提出共建“一带一路”倡议的十周年，硕果累累．某市农产品已出口到33个“一带一路”沿线国家和地区．如图，表格给出了通过两种不同方式记录的该市2023上半年农产品的出口量（单位：吨．其中，方式二以m为标准，超出记为“+”，不足记为“﹣”）．
月份 1 2 3 4 5 6
农产品出口量（单位：吨）方式一 674 734 648 771 780 b
农产品出口量（单位：吨）方式二 a
请根据表中信息解决下列问题：
（1） __________， _________， __________；
（2）以下是该市下半年6个月农产品的出口量（以m为标准，超出记为“+”，不足记为“﹣”，单位：吨）
求该市下半年6个月农产品的出口总量；
（3）结合（2）中的信息，求该市2023年平均每个月的农产品出口量．
【答案】（1）
（2）解：
（3）解：
答：该市2023年平均每个月的农产品出口量为704吨．
【解析】【解答】（1）解：；
；
；
故答案为：.
【分析】（1）利用正、负数的定义并结合题意列出算式求解即可；（2）根据题干表格中的数据求出每个月份的出口量，再求解即可；（3）利用平均数的定义及计算方法列出算式求解即可.
（1）解：；
；
；
故答案为：；
（2）解：
（3）解：
答：该市2023年平均每个月的农产品出口量为704吨．
23．（2024七上·湖南期末）我们规定：如果两个一元一次方程的解的积为，我们就称这两个方程为“互反方程”．例如：方程与方程为“互反方程”．
（1）判断方程与是否为“互反方程”？并说明理由；
（2）若关于的两个方程与为“互反方程”，求的值；
（3）已知为整数，若关于的方程的解是整数，且其与方程互为“互反方程”，试求所有可能的的和．
【答案】（1）解：是，理由如下：
方程的解为，方程的解为，
，
方程与为“互反方程”.
（2）解：方程的解为，
方程的解为，
这两方程为“互反方程”，
，解得.
（3）解：方程的解为，
为整数，且也为整数，
，，，1，
当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意；
当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意；
当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意；
当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意，
综上可得，或1，所有可能的的和为．
【解析】【分析】（1）先分别求出两个方程的解，再根据“互反方程”定义求解即可；
（2）先分别求出两个方程的解，再根据两个根的乘积等于1列出方程求解即可；
（3）先求出第一个方程的解，再根据整数解讨论m的值，再依次计算即可.
（1）解：方程的解为，
方程的解为，
，
方程与为“互反方程”；
（2）解：方程的解为，
方程的解为，
这两方程为“互反方程”，
，解得；
（3）解：方程的解为，
为整数，且也为整数，
，，，1，
当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意；
当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意；
当时，原方程的解为，方程的解为，不满足题意；
当时，原方程的解为，方程的解为，满足题意，
综上可得，或1，故所有可能的的和为．
24．（2024七上·恩施期末）今年以来，由于受国际天然气形势的影响，我国天然气市场总体呈现量紧价高的态势，为确保天然气保供稳价，提高居民生活用气的保障，某地决定从今年11月开始调整居民用气价格，调整前后价格如表（每月用气量为a立方米）：
用气类别
第一档（0＜a≤60） 第二档（60＜a≤80） 第三档（a＞80）
调整前 2.60 2.90 3.65
调整后 2.95 3.25 4.10
注：该地天然气收费按月实行阶梯收费
（1）某用户10月（调整前）缴天然气费91元，求该用户这月用气量；
（2）若该用户11月（调整后）用气量与10月相同，则该用户11月比10月多缴费多少元？
（3）因天气转冷，该用户今年12月因取暖用气量急剧增加，缴天然气费283元，该用户今年12月用气量是多少立方米？
【答案】（1）解：调整前第一档的最高收费为2.6×60＝156（元），
∴该用户是第一档用气量，
91÷2.6＝35 （m3），
该用户10月的用气量为35m3；
（2）解：由题知：该用户11月的用气量为35m3需要缴费的金额为：35×2.95＝103.25，
103.25﹣91＝12.25（元），
故该用户11月比10月多缴费12.25元；
（3）解：调整后第1档的最高收费为：2.95×60＝177（元），
调整后第2档的最高收费为：3.25×20＝65（元），
177+65＝242（元），
故该用户12月的用气量超过了80m3，（283﹣242）÷4.1＝10（m3），
∴12月用气量为80+10＝90（m3）．
【解析】【分析】（1）先根据题意判断出该用户是第一档用气量，进而根据第一档的收费标准即可求出该用户这个月的用气量；
（2）根据调整后的第一档的收费标准计算出调整后该用户需交的费用，进而即可求解；
（3）根据第一档和第二档的收费标准判断出故该用户12月的用气量超过了80m3，进而根据收费标准计算即可.
25．（2024七上·合江期末） 学习了绝对值的概念后，我们可以认为：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a＜0时，|a|＝﹣a，根据以上阅读完成下面的问题：
（1） ；
（2）如果有理数，则 ；
（3）请利用你探究的结论计算下面式子：
（4）如图，数轴上有a、b、c三点，化简.
【答案】（1）
（2）
（3）解：
；
（4）解：由数轴可得，
，
.
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
故答案为：
（2）∵
∴a-b<0
∴
故答案为：
【分析】（1）根据题意，先比较两数的大小，再根据绝对值的性质去绝对值即可求出答案；
（2）现根据不等式的性质可得a-b<0，再根据绝对值的性质去绝对值即可求出答案；
（3）根据探究结论，去绝对值，化简即可求出答案；
（4）根据数轴上点的位置关系，比较数之间的大小，去绝对值，计算即可求出答案.
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