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浙教版2025—2026学年九年级上册期末命题趋势预测押题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·番禺期末）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·楚雄期末）如图，正方形ABCD中，AB＝2，E为BC中点，过点E作EF⊥AE交CD于F，则CF的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024九上·石林期末）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．
4．（2024九上·仁寿期末） 如图下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·渠县期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点，，C在上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·绵阳期末）如图，的直径与弦相交，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·温岭期末）如图，在中，平分，交于点D，过D作的平行线交于M，若，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·高州期末）将直线向上平移3个单位长度，得到的直线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·渠县期末）如图，已知是的中线，E是线段上一点，且，的延长线交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024九上·怀化期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点和点，且．有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·蛟河期末）小刚的爸爸是养鱼专业户，他想对自己鱼池中的鱼的总数进行评估，第一次捞出条，将每条鱼做出记号放入水中，待它们充分混入鱼群后，又捞出条，且带有记号的鱼有条，其鱼池中估计有鱼 条．
12．（2024九上·贵州期末）一个扇形的半径是，圆心角是，则此扇形的面积是 ．
13．（2024九上·增城期末）如图，平面直角坐标系中有一点 ，在以 为圆心，2为半径的圆上有一点P，将点P绕点A旋转 后恰好落在x轴上，则点P的坐标是 .
14．（2024九上·威宁期末）两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°，那么另一个三角形的最大内角是 度．
15．（2024九上·宁江期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是 ．
16．（2024九上·进贤期末）已知，如图，矩形中，、分别是边、上的点，，，，若与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·湛江期末）北京冬奥会于年2月4日正式拉开帷幕．某校对九年级部分学生对冰上运动项目：A：速度滑冰、B：短道速度滑冰、C：花样滑冰、D：冰球的知晓情况进行了调查．并将调查情况制成了两幅不完整的统计图．试根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次调查的方式是 调查，共调查了 名学生； 抽样，
（2）扇形统计图中项目D所对应的圆心角为 ▲ 度；请补齐条形统计图；
（3）已知项目D中男女学生人数相等，若从项目D的学生中随机抽取2名学生参加冰上运动宣讲会，请用列表或画树状图的方法，求抽取学生恰好为一男一女的概率．
18．（2024九上·乐山期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，连结并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）点是线段上一点，满足交于点，若，求的值．
19．（2025九上·上城期末）已知二次函数（其中，为常数）．
（1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象经过点，求的值；
（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围．
20．（2024九上·武汉期末）如图1，，是的弦，且，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，，，求的半径．
21．（2025九上·遵义期末）现有三张卡片正面分别写有整式，它们除了正面的整式不同外，其余完全相同．将三张卡片背面朝上并洗匀．
第一次
和
第二次 b
b
（1）从中随机抽取一张，卡片上的整式是单项式的概率为 ；
（2）从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请在表格中补全两次取出的卡片上整式之积的所有可能出现的结果（结果化为最简），并求出整式积为单项式的概率．
22．（2024九上·钟山期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求证：四边形ABCD时菱形；
（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若，求．
23．（2024九上·上城期末）滑雪大跳台是冬奥会比赛项目之一，运动员的着陆点需在，之间(如图2)，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分(如图1)．若甲运动员刚好落在基准点，到起跳台的水平距离为米，高度为(为定值)．甲运动员的竖直高度单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数，且记录了一次甲运动员起跳后的数据；而乙运动员满足函数，且达到最大高度为米．
（1）求甲，乙运动员起跳后的函数的表达式．
（2）起跳后甲运动员达到最高点之前的水平距离前进了多少米．
（3）请你判断乙运动员着陆点能否超过甲运动员？并说明理由．
24．（2024九上·宁波期末）如图，为的直径，点是半径上一动点（不与，重合），过点作弦垂直，连接，，以为直角边作等腰，且，连接，分别与和交于、两点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当点在半径上运动时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值，请说明理由．
25．（2024九上·江津期末）如图，在中，，点D为边上一动点，连接，将线段绕着D点逆时针方向旋转与相同的度数得到线段，连接．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，当时，连接AE，将线段绕着A点逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：；
（3）如图3，当时，若，连接，作点C关于的对称点，点H是的中点，连接，当的长度最大时，直接写出的长度．
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浙教版2025—2026学年九年级上册期末命题趋势预测押题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·番禺期末）如图所示的电路中，当随机闭合开关、、中的两个时，灯泡能发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由电路图可知，当同时闭合开关和，和时，灯泡能发光，
画树状图如下：
共有6种等可能结果，其中灯泡能发光的有4种，
∴灯泡能发光的概率为，
故选：A．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中灯泡能发光的结果，再根据概率公式即可求出答案.
2．（2024九上·楚雄期末）如图，正方形ABCD中，AB＝2，E为BC中点，过点E作EF⊥AE交CD于F，则CF的长为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝2，∠B＝∠C＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEC＝90°，
∴∠BAE＝∠FEC，
∴△ABE∽△ECF，
∴
∵AB＝2BE＝EC＝1，
∴，
∴CF＝，
故答案为：B
【分析】根据正方形性质可得AB＝BC＝CD＝2，∠B＝∠C＝90°，再根据角之间的关系可得∠BAE＝∠FEC，由相似三角形判定定理可得△ABE∽△ECF，则，代值计算即可求出答案.
3．（2024九上·石林期末）已知抛物线的对称轴是直线，其部分图象如图所示，下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据图象可得： ，
对称轴：直线
∵
∴ ，
∴， 故A正确；
把代入函数关系式中得
由题意知关于对称轴的对称点为
∴，故B错误；
由图象与性质可知当时，，故C正确；
由图象可知抛物线与轴有两个交点
∴的判根公式，故D正确；
故答案为：B
【分析】根据二次函数图象开口方向可得 ，根据图象与y轴交点可得，再根据二次函数的对称轴，结合a的取值可判定出，根据的正负即可判断出①的正误；把代入函数关系式中得，由题意知关于对称轴的对称点为，结合图象，可判断②③的正误；由图象可以直接看出抛物线与轴的交点个数，进而可判断④的正误．
4．（2024九上·仁寿期末） 如图下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、，
补充，
∴，A不符合题意；
B、，
补充，
∴，B不符合题意；
C、，
补充，
∴，C不符合题意；
D、根据相似三角形的判定可知补充无法证明，D不符合题意；
故答案为：D
【分析】根据相似三角形的判定定理结合题意对选项逐一判定即可求解。
5．（2024九上·渠县期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角是等腰直角以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，点，，C在上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：点，，
，
是等腰直角三角形，
点C的坐标为（4，2），
是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为2：1，
点C'的坐标为（4×2，2×2），
即C'（8，4）.
故答案为：B.
【分析】先根据等腰直角三角形的性质结合点A、点B的坐标求出点C的坐标，再再根据位似图形变换的性质计算即可.
6．（2024九上·绵阳期末）如图，的直径与弦相交，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：AB是的直径 ，
∠ACB=90°，
，
∠ACD=55°，
∠BCD=∠ACB-∠ACD=90°-55°=35°.
故答案为：A.
【分析】先根据圆周角定理的推论得出∠ACB=90°，∠ACD=∠ABD=55°，再利用角的和差计算即可.
7．（2024九上·温岭期末）如图，在中，平分，交于点D，过D作的平行线交于M，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵DM∥BC，
∴∠CDM=∠BCD，
∴∠CDM=∠ACD，
∴CM=DM，
∵DM∥BC，
∴，
∴，即，
∵BC=3，AC=2，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质得∠CDM=∠ACD，然后由等腰三角形的判定得CM=DM，接下来由DM∥BC得，从而根据相似三角形对应边成比例得，进而进行等量代换后，代入BC、AC的值，即可求出DM的值.
8．（2023九上·高州期末）将直线向上平移3个单位长度，得到的直线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵直线y=2x-1向上平移3个单位长度，
∴y =2x-1+3=2x+2.
故答案为：C.
【分析】根据图象的平移规律“上加下减”可求解.
9．（2024九上·渠县期末）如图，已知是的中线，E是线段上一点，且，的延长线交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：，
AE：DE=1：2，
如图所示：取BF的中点H，连接DH，
是的中线，
点D是BC的中点，
DH是的中位线，
，且DH∥CF，
DH∥CF，
∠HDE=∠FAE，∠DHE=∠AFE，
，
，
，即CF=4AF，
.
故答案为：C.
【分析】由，得出AE：DE=1：2，取BF的中点H，连接DH，可得DH是的中位线，进而可证，再利用相似三角形的性质得到，进而得到CF=4AF，据此即可得到的值 .
10．（2024九上·怀化期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点和点，且．有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】 解：抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点， 且，
抛物线开口向下，a<0，故①错误；
抛物线开口向下， 对称轴为 ，
当x=-2时，函数有最大值，且最大值为4a-2b+c，
对任意实数m都有：，
，故②正确；
对称轴为 ，且c>0，
当x=-4时，函数值大于0，
即16a-4b+c>0，移项得： ，故③正确；
对称轴为，
点（0，c）的对称点为（-4，c），
抛物线开口向下，
当时， ，当时，，故④错误.
正确结论的个数为2个.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点， 且，可得开口向下，即可判断①；根据对称轴为，可知x=-2时取最大值，即可判断②；根据抛物线的对称性以及c>0，可得x=-4时，函数值大于0，即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·蛟河期末）小刚的爸爸是养鱼专业户，他想对自己鱼池中的鱼的总数进行评估，第一次捞出条，将每条鱼做出记号放入水中，待它们充分混入鱼群后，又捞出条，且带有记号的鱼有条，其鱼池中估计有鱼 条．
【答案】4000
【解析】【解答】解：设鱼的总数为条，
鱼的概率近似等于
解得．
故答案为：．
【分析】基本关系：概率=频率=所求情况数÷总情况数，据此列方程求解即可．
12．（2024九上·贵州期末）一个扇形的半径是，圆心角是，则此扇形的面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，此扇形的面积，
故答案为：．
【分析】利用扇形面积公式求解即可。
13．（2024九上·增城期末）如图，平面直角坐标系中有一点 ，在以 为圆心，2为半径的圆上有一点P，将点P绕点A旋转 后恰好落在x轴上，则点P的坐标是 .
【答案】（ ，4）或（﹣ ，4）
【解析】【解答】解：如图，
∵将点P绕点A旋转180°后恰好落在x轴上，点 ，
∴点P的纵坐标为4，
当点P在第一象限时，过点P作PT⊥y轴于T，连接PM.
∵T（0，4），M（0，3），
∴OM＝3.OT＝4，
∴MT＝1，
∴PT＝ ＝ ＝ ，
∴P（ ，4），
根据对称性可知，点P关于y轴的对称点P′（﹣ ，4）也满足条件.
综上所述，满足条件的点P的坐标为（ ，4）或（﹣ ，4）.
故答案为：（ ，4）或（﹣ ，4）.
【分析】画出示意图，由题意可得点P的纵坐标为4，当点P在第一象限时，过点P作PT⊥y轴于T，连接PM，根据点T、M的坐标可得OM＝3，OT＝4，则MT＝1，利用勾股定理求出PT，可得点P的坐标，根据对称性可知：点P关于y轴的对称点P′也满足条件，据此解答.
14．（2024九上·威宁期末）两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°，那么另一个三角形的最大内角是 度．
【答案】80
【解析】【解答】∵三角形的内角和为180°， 其中一个三角形的两个内角是40°、60°，
∴第三个角=180°-40°-60°=80°，
∵相似三角形的对应角相等，
∴另一个三角形的三个内角为40°、60°和80°，
∴最大的内角是80°，
故答案为：80.
【分析】先利用三角形的内角和求出第三个角=180°-40°-60°=80°，再利用相似三角形的性质及角的大小求解即可.
15．（2024九上·宁江期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的部分图象如图所示，直线x=1是它的对称轴．若一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，则它的另一个根x2的取值范围是 ．
【答案】﹣1＜x2＜0
【解析】【解答】根据题意可得：当x=2时，y<0，当x=3时，y>0，
∵直线x=1是它的对称轴及二次函数的图象对称性，
∴x=0时，y<0，当x=-1时，y>0，
∴它的另一个根x2的取值范围是﹣1＜x2＜0，
故答案为：﹣1＜x2＜0.
【分析】利用二次函数的轴对称的性质及一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根x1的取值范围是2＜x1＜3，再求出它的另一个根x2的取值范围是﹣1＜x2＜0即可.
16．（2024九上·进贤期末）已知，如图，矩形中，、分别是边、上的点，，，，若与以、、为顶点的三角形相似，则的长为 .
【答案】2或6或
【解析】【解答】解：根据题意，
三角形相似有两种情况
当时
解得BE=2或6
当时
解得
综上，BE=2或6或
故答案为：2或6或
【分析】根据题意分析图，由相似三角形的性质易证得BE的长为2或6，特别容易忽略第二个三角形相似的情况；题中说与以、、为顶点的三角形相似，因为直角已定，另两组角对应相等有两种情况，故对应线段成比例也有两种情况。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025九上·湛江期末）北京冬奥会于年2月4日正式拉开帷幕．某校对九年级部分学生对冰上运动项目：A：速度滑冰、B：短道速度滑冰、C：花样滑冰、D：冰球的知晓情况进行了调查．并将调查情况制成了两幅不完整的统计图．试根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次调查的方式是 调查，共调查了 名学生； 抽样，
（2）扇形统计图中项目D所对应的圆心角为 ▲ 度；请补齐条形统计图；
（3）已知项目D中男女学生人数相等，若从项目D的学生中随机抽取2名学生参加冰上运动宣讲会，请用列表或画树状图的方法，求抽取学生恰好为一男一女的概率．
【答案】（1）抽样；
（2）解：，
补全条形图如下：
（3）解：项目D中男女学生人数相等，
∴男生2名，女生2名，
画树状图如下：
共有个等可能的结果，其中抽取学生恰好为一男一女的结果有8种，
∴抽取学生恰好为一男一女的概率为．
【解析】【解答】解：（1）由题可得：调查方式为抽样调查，
调查学生人数为：（名），
故答案为：抽样，；
（2）项目人数为（名），
∴项目人数为（名），
∴图2中D选项所对应的圆心角度数为，
故答案为：，
【分析】
（1）根据题干信息某校对九年级部分学生调查得出调查方式为抽样调查，再由A项目的人数11除以所占百分比22%，计算即可解答；
（2）由项目的人数百分比为40%乘以总人数可得B的项目人数，再用总数分别减去其它项目人数可得D项目人数，即可求得D项目的扇形圆心角度数，补全条形统计图即可；
（3）先画树状图得到共有个等可能的结果，其中抽取学生恰好为一男一女的结果有8种，再由概率公式计算即可解答．
（1）解：由题可得：调查方式为抽样调查，
调查学生人数为：（名），
故答案为：抽样，；
（2）解：项目人数为（名），
∴项目人数为（名），
∴图2中D选项所对应的圆心角度数为，
故答案为：，
补全条形图如下：
（3）解：项目D中男女学生人数相等，
∴男生2名，女生2名，
画树状图如下：
共有个等可能的结果，其中抽取学生恰好为一男一女的结果有8种，
∴抽取学生恰好为一男一女的概率为．
18．（2024九上·乐山期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，连结并延长交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）点是线段上一点，满足交于点，若，求的值．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的中点，
，
，
，
∴，
；
（2）解：四边形是平行四边形，，设
，，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
可得方程，
解得，
∴．
【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行线的性质得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再结合题意即可求解；
（2）设，先根据平行四边形的性质结合平行线的性质得到，，，进而证明得到，设，则，再结合题意解分式方程，从而相比即可求解。
19．（2025九上·上城期末）已知二次函数（其中，为常数）．
（1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式；
（2）若该二次函数图象经过点，求的值；
（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点，
∴，解得：，
∴；
（2）解：把代入，得：，
∴，
∴，
∴或；
（3）解：∵，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵对于，，总有，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）待定系数法把代入解析式，进而即可求出函数解析式；
（2）把，代入函数解析式，得到：，进行求解即可；
（3）根据二次函数的增减性，进行求解即可．
（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点，
∴，解得：，
∴；
（2）把代入，得：，
∴，
∴，
∴或；
（3）∵，对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵对于，，总有，
∴，
∴．
20．（2024九上·武汉期末）如图1，，是的弦，且，连接，．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，若，，，求的半径．
【答案】（1）证明：，
，
，即，
；
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
【解析】【分析】（1）根据相等弦长所对弧长相等可得，再根据弧之间的关系可得，即AB=CD，即可求出答案.
（2）过点作于点，交于点F，连接，，根据垂径定理可得，，
根据得出，在中，根据勾股定理可得EF=8， 设的半径为，中， 根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案。
（1）证明：，
，
，即，
；
（也可通过证明三角形全等解决）
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
21．（2025九上·遵义期末）现有三张卡片正面分别写有整式，它们除了正面的整式不同外，其余完全相同．将三张卡片背面朝上并洗匀．
第一次
和
第二次 b
b
（1）从中随机抽取一张，卡片上的整式是单项式的概率为 ；
（2）从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，请在表格中补全两次取出的卡片上整式之积的所有可能出现的结果（结果化为最简），并求出整式积为单项式的概率．
【答案】（1）
（2）解：表格如下：
第一次
和
第二次 b
b
∴所有等可能的结果数有9种，积为单项式的结果数有4种，
∴积为单项式的概率为．
【解析】【解答】（1）解：三张卡片正面分别写有整式，其中卡片上的整式是单项式的有，
故卡片上的整式是单项式的概率为；
【分析】(1)本题考察单项式的概念和概率公式，单项式是指由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。在三张卡片的整式、、中，和是单项式，共2个；根据概率公式“概率=所求情况数与总情况数之比”，总情况数是3，因此概率为。
(2)本题考察整式的乘法运算和列表法求概率，首先根据整式乘法法则补全表格：第一次抽取与第二次抽取的、、相乘，结果分别为、、；第一次抽取与第二次抽取的各项相乘，结果分别为、、；第一次抽取与第二次抽取的各项相乘，结果分别为、、。然后找出积为单项式的结果，分别是、、、，共4种；总共有9种等可能的结果，根据概率公式，可得整式积为单项式的概率为。
（1）解：三张卡片正面分别写有整式，其中卡片上的整式是单项式的有，
故卡片上的整式是单项式的概率为；
（2）解：表格如下：
第一次
和
第二次 b
b
∴所有等可能的结果数有9种，积为单项式的结果数有4种，
∴积为单项式的概率为．
22．（2024九上·钟山期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求证：四边形ABCD时菱形；
（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若，求．
【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
∵ AB=BC
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
（2）解：如图，过点O作OF∥BC，交CD于点F ，
∵ OB=OD ，
∴
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴在Rt△OCB中，
OC=，OB=
由勾股定理可得BC=10 ，
∴OF=，
∵，
，
∴CM=OC=6，
∵ 点B，C，M在同一条直线上
∴OF∥CM
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形 ，结合AB=BC ，由菱形的判定定理即可求解；
（2）过点O作OF∥BC，交CD于点F ，由平行线分线段成比例可得，根据菱形的性质以及勾股定理得到OC、OB、BC的值，进而求的OF的值，结合以及外角性质可得，从而得到CM=OC=6，再根据平行线分线段成比例得到，代入数据进行计算即可求解.
23．（2024九上·上城期末）滑雪大跳台是冬奥会比赛项目之一，运动员的着陆点需在，之间(如图2)，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分(如图1)．若甲运动员刚好落在基准点，到起跳台的水平距离为米，高度为(为定值)．甲运动员的竖直高度单位：)与水平距离(单位：)近似满足函数，且记录了一次甲运动员起跳后的数据；而乙运动员满足函数，且达到最大高度为米．
（1）求甲，乙运动员起跳后的函数的表达式．
（2）起跳后甲运动员达到最高点之前的水平距离前进了多少米．
（3）请你判断乙运动员着陆点能否超过甲运动员？并说明理由．
【答案】（1）解：依题意，将代入，
∴
解得：
∴；
∵乙运动员满足函数，达到最大高度为米．
又，
∴
解得：，
∴；
（2）解：∵，对称轴为直线
∴起跳后甲运动员达到最高点之前的水平距离前进了米；
（3）解：∵甲运动员刚好落在基准点，到起跳台的水平距离为米，当时，
将代入
即
解得：（负值舍去）
∵，
∴乙运动员着陆点能超过甲运动员．
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数的解析式即可．
（2）根据公式甲抛物线的对称轴为直线，解题即可．
（3）将代入求出，进而代入解方程求出x值，比较解题即可．
24．（2024九上·宁波期末）如图，为的直径，点是半径上一动点（不与，重合），过点作弦垂直，连接，，以为直角边作等腰，且，连接，分别与和交于、两点．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当点在半径上运动时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值，请说明理由．
【答案】（1）证明：，
∵是等腰直角三角形，
∴
（2）证明：如图，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理，得
∵， ，
（3）解：不变，，理由如下：如图，连接，
，
∵
根据勾股定理，得即
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可证得弧AC=弧AD，利用圆心角、弧、弦的关系，可证得AC=AD，利用等腰直角三角形的定义可推出AC=AF，利用等边对等角可证得∠ACF=∠AFC，再根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案.
（2）先根据SAS证明，利用全等三角形的性质可证得， ，由（1）得，进而得出，然后根据是等腰直角三角形，可知，接下来说明，再最后根据勾股定理可证得结论.
（3）连接，先说明，利用相似三角形的性质可证得，再证明，然后根据勾股定理可求出的值，由此可得到的值.
（1）证明：
，
∵是等腰直角三角形，
∴
；
（2）证明：如图，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理，得
∵， ，
；
（3）解：不变，，理由如下：
如图，连接，
，
∵
根据勾股定理，得即
．
25．（2024九上·江津期末）如图，在中，，点D为边上一动点，连接，将线段绕着D点逆时针方向旋转与相同的度数得到线段，连接．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，当时，连接AE，将线段绕着A点逆时针方向旋转得到线段，连接．求证：；
（3）如图3，当时，若，连接，作点C关于的对称点，点H是的中点，连接，当的长度最大时，直接写出的长度．
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：作交的延长线于点，如图，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵将线段绕着A点逆时针方向旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴；
（3）解：．
【解析】【解答】解：（3）由对称的性质知，又，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∵，点H是的中点，
∴，
∴当共线时，的长度最大，延长交于点，作交于点，
同理得是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质结合题意得到，，进而根据旋转的性质得到，，从而得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解；
（2）作交的延长线于点，根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据旋转的性质得到，，再证明得到，同理，进而结合题意进行线段的运算即可求解；
（3）由对称的性质知，又，进而即可得到，从而当共线时，的长度最大，延长交于点，作交于点，同理得是等腰直角三角形，进而得到，，再根据题意进行角的运算结合等腰三角形的性质得到，进而进行线段的运算即可求解。
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