中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025—2026学年九年级下册期末模拟解透教材卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=3cm，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．68πcm2 B．74πcm2 C．84πcm2 D．100πcm2
2．由6个同样的立方体摆出从正面看是 的几何体，下面摆法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．8 B．18 C．16 D．14
4．已知，在△ABC中，AB=AC，求作△ABC的外心O，以下是甲、乙两同学的作法：对于两人的作法：
甲：如图
⑴作AB的垂直平分线DE；
⑵作BC的垂直平分线FG：
⑶DE，FG交于点O，则点O即为所求.
乙：如图
，
⑴作∠ABC的平分线BD；
⑵作BC的垂直平分线EF；图5图6
⑶BD，EF交于点O，则点O即为所求.
对于两人的作法，正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
5．如图，在矩形ABCD 中，E，F是边 BC上两点，且 BE=EF=FC，连结DE，AF，DE 与AF 相交于点 G，连结 BG.若AB=4，BC=6，则sin∠GBF的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．如图，在ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，D是AC的中点，则tan∠DBC的值是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE=4EB，EF⊥AC于点F，连结FB，则tan∠CFB=（ ）
A．5 B． C． D．
8．与如图所示的三视图对应的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
9．底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，以的三边为边分别向外作正方形． 连结交于点，作JKAC交于点，连结交于点． 若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，小明将矩形纸片ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEGH，点E恰好落在AC上，EG交AD于点F.若AB＝3，tan∠ACB＝ ，则FG的长为 .
12．荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为 米（ ≈1.73，结果精确到0.1）．
13．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
14．无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障．测得处到处的距离为 500 m ，从点观测点的仰角为，则处到处的距离为
15．如图，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是 形．
16．如图，在矩形中，已知，点是对角线上一动点，边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结，．当点落在边上时，的值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）．
（1）求斜坡的坡比；
（2）求飞机此时距离地面的高度．
18．如图 ， 是 的直径， 是 的两条切线，切点分别为 ． 延长 相交于点 ．
（1）求证： ．
（2） 设 的半径为 ， 求 的长．
19．小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼.如图所示为小明锻炼时上半身由 EM 位置运动到与地面垂直的EN 位置时的示意图.测得BC=0.64m，AD=0.24m，AB=1.30m.
（1）求AB 的倾斜角α的度数(结果精确到1°).
（2） 若测得EN=0.85m，试计算小明的头顶由点M 运动到点N 的路径. 的长(结果精确到0.01m).
20．如图①，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置.当点 B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE 相切时(如图②)，在切点 P 处感觉看到的塑像最大，此时 为最大视角.
（1） 请仅就图②的情形证明：∠APB>∠ADB.
（2）经测量，最大视角∠APB 为30°，在点 P 处看塑像顶部点A 的仰角. 为 点 P到塑像的水平距离 PH 为6m，求塑像AB 的高(结果精确到0.1m，参考数据： 1.73).
21．为了同学们的身体健康，学校需要做到经常开窗通风．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边上的点A处，另一端B在边上滑动，如图2为某一位置从上往下看的平面图，测得此时，长为．（结果精确到，参考数据：，，，，）
（1）求固定点到窗框的距离；
（2）若测得，求的长度．
22．已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径OA=12，水的最大深度CD为6cm.
（1）求水面宽AB的长.
（2）求阴影部分面积
23．我校七年级（3）班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米）．
（1）此长方体包装盒的体积为 立方毫米（用含x，y的式子表示）．
（2）若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，则当，时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米？
24．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．
（1）求CE的长；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
25．已知点A在上，折叠使点A与点O重合，折痕为．
（1）如图1，连结，求的度数．
（2）如图2，D是上一点，连结，与关于直线对称，延长交于点F，连结．
①求证：；
②若，，求的半径．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版2025—2026学年九年级下册期末模拟解透教材卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB=8cm，圆柱体部分的高BC=6cm，圆锥体部分的高CD=3cm，则这个陀螺的表面积是（ ）
A．68πcm2 B．74πcm2 C．84πcm2 D．100πcm2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，
∴母线长为5cm，
∴其表面积=π×4×5+42π+8π×6=84πcm2，
故选C．
【分析】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积．
2．由6个同样的立方体摆出从正面看是 的几何体，下面摆法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、主视图得到两行两列，故A不符合题意
B、主视图是，故B符合题意
C、主视图是两行三列，且第一二列都是两个，故C不符合题意
D、主视图是两行四列，故D不符合题意
故答案为：B．
【分析】从一个几何体正面投射得到的视图叫几何体的主视图.
3．如图，PA，PB切⊙O于点A，B，PA=8，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．8 B．18 C．16 D．14
【答案】C
【解析】【解答】解：∵PA，PB切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E
∴PA=PB=8，AC=CE，DB=DE
△PCD的周长为：PC+CE+DE+PD=PC=CA+DB+PD=PA+PB=8+8=16
故答案为：C
【分析】利用切线长定理可得出PA=PB=8，AC=CE，DB=DE，从而可求△PCD的周长就转化为求PA+PB的值。
4．已知，在△ABC中，AB=AC，求作△ABC的外心O，以下是甲、乙两同学的作法：对于两人的作法：
甲：如图
⑴作AB的垂直平分线DE；
⑵作BC的垂直平分线FG：
⑶DE，FG交于点O，则点O即为所求.
乙：如图
，
⑴作∠ABC的平分线BD；
⑵作BC的垂直平分线EF；图5图6
⑶BD，EF交于点O，则点O即为所求.
对于两人的作法，正确的是（ ）
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
【答案】C
【解析】【解答】解：在图1中，点O到三角形三个顶点的距离相等，点O为三角形的外心，正确。
在图2中，点O为三角形的内心，错误。
故答案为：C。
【分析】结合三角形的外心的概念，分别判断两个图的所做的点的类型即可。
5．如图，在矩形ABCD 中，E，F是边 BC上两点，且 BE=EF=FC，连结DE，AF，DE 与AF 相交于点 G，连结 BG.若AB=4，BC=6，则sin∠GBF的值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过G作GH⊥BC于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，AD//BC，
∵BC=6，BE=EF=FC，
∴BE=EF=CF=2，
∴BF=CE=4，
∴AB=BF=CE=DC=4，
∴△ABF和△DCE是等腰直角三角形，
∴∠AFE=∠DEC=45°
∴△EGF是等腰直角三角形，
∴
∴BH=3，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】过G作GH⊥BC于H，根据矩形的性质得到AB=CD=4，AD//BC，得到BE=EF=CF=2，求得BF=CE=4，推出△ABF和△DCE是等腰直角三角形，得到∠AFE=∠DEC=45°，求得△EGF是等腰直角三角形，根据三角函数的定义即可得到结论.
6．如图，在ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，D是AC的中点，则tan∠DBC的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，
设，则，
D是AC的中点，
.
故答案为：D.
【分析】根据∠ABC的正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，设，则，根据中点的定义得出，最后根据正切三角函数的定义计算即可.
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE=4EB，EF⊥AC于点F，连结FB，则tan∠CFB=（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，EF⊥AC，
∴∠AFE=∠C=90°，
∴EF//BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，即.
∵ Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴.
∴
故答案为：D.
【分析】证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得，从而可用AC表示出FC，再在Rt△ABC中解直角三角形，用AC表示出BC，即可根据正切的定理表示 tan∠CFB .
8．与如图所示的三视图对应的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：观察图形，可知A、B、D的主视图不符合题意；
故答案为：C
【分析】观察几何体的三视图，利用排除法，由主视图，排除A、B、D，即可得出正确答案。
9．底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、是俯视图，正确；
BC、不是任何一种三视图，错误；
D、是左视图，错误；
故 选 ：A.
【分析】从物体正面观察得到的图形叫主视图，从物体上面观察得到的图形叫俯视图，从物体左面观察得到的图形叫左视图.
10．如图，以的三边为边分别向外作正方形． 连结交于点，作JKAC交于点，连结交于点． 若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，延长至，使得，连接，过点作，设交于点，
∴
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∴，
又
∴，
在与中，
，
∴
∴，
∵
∴
∴是的中点，
∴，
∵是正方形的对角线的中点，
∴
∵
∴
∴
∵
∴，
∴，
∴，
故答案 为：B．
【分析】延长至，使得，连接，过点作，设交于点，根据AAS证明，根据AAS证明，得出，利用平行线分线段成比例得出得出是的中点，求出JL的长，解，即可求解．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，小明将矩形纸片ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEGH，点E恰好落在AC上，EG交AD于点F.若AB＝3，tan∠ACB＝ ，则FG的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEGH，
∴∠AEF=∠ADC=90°，
又∵∠EAF=∠DAC，
∴△AEF∽△ADC，
∴AE：AD=EF：DC，
∵AB=3，tan∠ACB＝ ，
∴AE=3，BC=AB÷tan∠ACB=4，
∴3：4=EF：3，
解得：EF= ，
∴FG=4- ，
故答案为 .
【分析】由矩形和旋转的性质可得∠AEF=∠ADC=90°，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AEF∽△ADC，于是可得比例式AE：AD=EF：DC，根据tan∠ACB=可求出BC的值，代入比例式可求得EF的值，由线段的构成FG=EG-EF=BC-EF可求解.
12．荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a米后到达B处，在B处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a的值约为 米（ ≈1.73，结果精确到0.1）．
【答案】24.1
【解析】【解答】解：如图，设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，
∴CE=33，
∵∠CBE=45°=∠BCE，∠CAE=30°，
∴BE=CE=33，
∴AE=a+33，
∵tanA= ，
∴tan30°= ，即33 =a+33，
解得a=33（ ﹣1）≈24.1，
∴a的值约为24.1米，
故答案为：24.1．
【分析】设CD为塔身的高，延长AB交CD于E，则CD=40，DE=7，进而得出BE=CE=33，AE=a+33，在Rt△ACE中，依据tanA= ，即可得到a的值．
13．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：的圆心P的坐标为，
，
的半径为2，
，
，，
当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1，
当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5，
平移的距离d的取值范围是，
故答案为：．
【分析】
设圆到直线的距离为d，圆的半径为r，则当时，圆与直线相离，此时圆与直线无交点；当时，圆与直线相切，此时圆与直线有一个交点；当时，圆与直线相交，此时圆与直线有两个交点；故应分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．
14．无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点处有汽车发生故障．测得处到处的距离为 500 m ，从点观测点的仰角为，则处到处的距离为
【答案】490
【解析】【解答】解：在中、
答：A、B之间的距离为480m.
故填：490.
【分析】直接解直角三角形即可.
15．如图，圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是 形．
【答案】正方
【解析】【解答】解：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OE⊥AC，OF⊥BC，
∴四边形OECF是矩形，
∵OE=OF，
∴四边形OECF是正方形．
故答案为：正方．
【分析】根据圆O内切Rt△ABC，则四边形OECF是矩形，由OE=OF，则四边形OECF是正方形．
16．如图，在矩形中，已知，点是对角线上一动点，边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结，．当点落在边上时，的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：作EF⊥AB于点F， EH⊥BC于点H， 则∠EFB=∠EHB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FBH =90°，
∴四边形EFBH是矩形，
∴∠FBH = 90°，
∴当EH= EF时，边AB绕点E按逆时针方向旋转90°，则点M、点N都在BC边上，点F的对应点为点H，
当EH =EF时，则四边形EFBH是正方形，设AF =3m， 则MH =AF =3m，
∴AB=AF+BF=3m+5m=8m，
于点H，
故答案为：
【分析】作EF⊥AB于点F， EH⊥BC于点H， 则∠EFB=∠EHB=90°， 则∠FEH =90°， 可知当EH =EF时，边AB绕点E按逆时针方向旋转90°，则点M、点N都在BC边上，点F的对应点为点H， 此时四边形EFBH是正方形，设AF=3m， 则MH=AF=3m， 由可得 则BF=BH =EF=5m， 求得AB=8m，BM=2m， 所以则由NH=BH=5m， 得BN=10m， 则 于是得到问题的答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．自2024年10月29日起，巴中恩阳机场开通了到无锡的新航线，进一步方便了广大市民．如图，市民甲在处看见飞机的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机的仰角为，已知甲、乙两市民的距离米，铅垂高度米（点E，G，C，B在同一水平线上，结果保留根号）．
（1）求斜坡的坡比；
（2）求飞机此时距离地面的高度．
【答案】（1）解：在中，米，米由勾股定理得：（米），
∴斜坡的坡比．
（2）解：过点作于点，如图，
，，，
∴，
四边形是矩形，
米，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
米，
，
，
解得，
米，
答：飞机距离地面的高度为米．
【解析】【分析】
（1）先利用勾股定理求出米，则斜坡的坡比；
（2）过点作于点可构造和矩形DGBH，则米，，再由等腰三角形的性质可得，为便于计算可设米，再解即可．
（1）解：在中，米，米
由勾股定理得：（米），
∴斜坡的坡比．
（2）解：过点作于点，如图，
，，，
∴，
四边形是矩形，
米，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
米，
，
，
解得，
米，
答：飞机距离地面的高度为米．
18．如图 ， 是 的直径， 是 的两条切线，切点分别为 ． 延长 相交于点 ．
（1）求证： ．
（2） 设 的半径为 ， 求 的长．
【答案】（1）证明：连接OC，OP，如图所示：
∵ 是 的两条切线，
∴PC=PB.
∵OC=OB，
∴OP垂直平分BC.
∴∠CPB=2∠BPO，∠BPO+∠CBP=90°=∠CBP+∠ABC.
∴∠BPO=∠ABC.
∴．
（2）解：∵ 是 的两条切线，
∴PB⊥DB，
∴，
∵OC=2，
∴OD=3.
∴BD=5.
设PB=2x，则PD=3x，
∵PD2=PB2+BD2，
∴(3x)2=(2x)2+52
解得：.
∴.
【解析】【分析】（1）连接OC，OP，证明OP垂直平分BC，于是可得∠CPB=2∠BPO，由同角的余角相等可证明∠BPO=∠ABC，即可得到结论；
（2）根据可求出OD长，设PB=2x，可得PD，在Rt△PBD中利用勾股定理即可求得x，于是可得PB长，也即PC长.
19．小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼.如图所示为小明锻炼时上半身由 EM 位置运动到与地面垂直的EN 位置时的示意图.测得BC=0.64m，AD=0.24m，AB=1.30m.
（1）求AB 的倾斜角α的度数(结果精确到1°).
（2） 若测得EN=0.85m，试计算小明的头顶由点M 运动到点N 的路径. 的长(结果精确到0.01m).
【答案】（1）解：过点A 作AF∥DC，交BC 于点F，交 NE 的延长线于点 H.
∵AD⊥CD，BC⊥CD，
∴AD∥BC.
∴ 易得四边形AFCD 为矩形.
∴ BF = BC - FC = BC-AD =0.64-0.24=0.4(m).
在 Rt△ABF 中，
∴α≈18°，即 AB 的倾斜角α的度数约为18°
（2）解：易知 NE⊥AF，
的 长 为 1.60(m)，
即小明的头顶由点 M 运动到点 N 的路径MN的长约为1.60m
【解析】【分析】（1）过A作 分别交BC，N E延长线于F，H ，则 四边形AFCD为矩形，AF=CD，AD=CF，可求得BF，在直角三角形ABF中，已知两边，满足解直角三角形的条件，就可求得α的值，
（2）再由在直角三角形中两个锐角互余，求得 的度数，由弧长公式求得弧MN的长.
20．如图①，塑像AB 在底座BC 上，点D 是人眼所在的位置.当点 B 高于人的水平视线DE 时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE 相切时(如图②)，在切点 P 处感觉看到的塑像最大，此时 为最大视角.
（1） 请仅就图②的情形证明：∠APB>∠ADB.
（2）经测量，最大视角∠APB 为30°，在点 P 处看塑像顶部点A 的仰角. 为 点 P到塑像的水平距离 PH 为6m，求塑像AB 的高(结果精确到0.1m，参考数据： 1.73).
【答案】（1）解：设AD 与圆交于点 M，连结BM，则∠AMB=∠APB.
∵ 易知∠AMB>∠ADB，
∴∠APB>∠ADB.
（2）解：∵ ∠APH = 60°，PH = 6 m，
∵∠APB=30°，
∴ ∠BPH =∠APH - ∠APB =
6.9(m).
∴ 塑像AB 的高约为6.9m.
【解析】【分析】（1）通过构造圆周角，利用三角形外角的性质证明角的大小关系；
（2）先在两个直角三角形中，分别利用正切函数的定义求出相关线段的长度；再求出塑像AB的高度即可．
21．为了同学们的身体健康，学校需要做到经常开窗通风．如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边上的点A处，另一端B在边上滑动，如图2为某一位置从上往下看的平面图，测得此时，长为．（结果精确到，参考数据：，，，，）
（1）求固定点到窗框的距离；
（2）若测得，求的长度．
【答案】（1）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∴固定点到窗框的距离约为；
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）可得，
在中，有，
∴的长度约为．
【解析】【分析】（1）过点作于点，在中，解直角三角形求出的值即可；
（2）过点作于点，在中，解直角三角形求出的值即可.
（1）解：如图，过点作于点，
在中，，，
则，
答：固定点到窗框的距离约为．
（2）解：如图，过点作于点，
由（1）已得：，
在中，，
答：的长度约为．
22．已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径OA=12，水的最大深度CD为6cm.
（1）求水面宽AB的长.
（2）求阴影部分面积
【答案】（1）解：依题意
∴AB=2AD
∵OC=OA=12，CD=6
∴OD=OC-CD=6
在Rt△ODA中，由勾股定理可求
∴AB=2AD=12
（2）解：在Rt△ODA中，
∵
∴
∴
∴
【解析】【分析】(1)首先利用垂径定理可知AB=2AD，根据勾股定理求出AD的长度，进而可求AB；
(2)利用特殊角的锐角三角函数值可知，进而可求，再利用扇形面积与三角形的面积差即可求出阴影面积。
23．我校七年级（3）班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒，其平面展开图和相关尺寸如下，其中阴影部分为内部粘贴角料（单位：毫米）．
（1）此长方体包装盒的体积为 立方毫米（用含x，y的式子表示）．
（2）若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，则当，时，制作这样一个长方体共需要纸板多少平方毫米？
【答案】（1）
（2）解：长方体的长为毫米，宽为毫米，高为65毫米，
长方体的表面积平方毫米，
又内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的，
制作这样一个长方体共需要纸板的面积为：
（平方毫米），
∵，，
制作这样一个长方体共需要纸板（平方毫米）．
答：制作这样一个长方体共需要纸板605平方毫米．
【解析】【解答】（1）根据题意可得，该长方体的长为y毫米，宽为x毫米，高为10毫米，
∴长方体包装盒的体积为：10xy立方毫米，
故答案为：.
【分析】（1）利用长方体体积的计算方法列出算式求解即可；
（2）先求出作这样一个长方体共需要纸板的面积为，再将x、y的值代入计算即可.
24．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，BC=8，AD=3．
（1）求CE的长；
（2）求证：△ABC为等腰三角形．
（3）求△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
【答案】（1）解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，
∵CE∥AD，
∴AD为△BCE的中位线，
∴CE=2AD=6；
（2）证明：∵CE∥AD，
∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE，
而∠BAD=∠CAD，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
而AB=AE，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形．
（3）解：如图，连接BP、BQ、CQ，
在Rt△ABD中，AB= =5，
设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，
在Rt△PBD中，（R﹣3）2+42=R2，解得R= ，
∴PD=PA﹣AD= ﹣3= ，
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，
∴ r 5+ r 8+ r 5= 3 8，解得r= ，
即QD= ，
∴PQ=PD+QD= + = ．
答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为 ．
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，即可求出CE；
（2）由（1）可知，AB与AE相等，则证AE与AC相等即可，由线段平行可得出同位角以及内错角相等，再进行等量替换，得出 ∠ACE=∠E ，AE=AC，因此AB=AC得证。
（3）先作图，PQ=PD+DQ即为所求。PD由大圆半径PA-AD即可得出，大圆半径利用勾股定理可求出。DQ即小圆半径，利用小三角形面积之和等于大三角形，求出即可。
25．已知点A在上，折叠使点A与点O重合，折痕为．
（1）如图1，连结，求的度数．
（2）如图2，D是上一点，连结，与关于直线对称，延长交于点F，连结．
①求证：；
②若，，求的半径．
【答案】（1）解：连接，如图，
由折叠的性质，得，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）①证明：∵与关于直线对称，
∴
∵四边形是圆的内接四边形，
∴
∵，
∴；
②解：连接，，，如图，
由(1)，可得，弧=弧，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
过圆心O作于点M，连接并延长交于点P，如图，
∴，
即，．
∵圆心O在的垂直平分线上， ，
∴点E在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线所在直线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，或（不符合题意，舍去），
∴，
∴，
∴．
∴的半径为．
【解析】【分析】（1）连接，由折叠的性质得出，再证出是等边三角形，即可得出；
（2）①根据对称的性质得出根据圆内接四边形的性质得出，根据等角的补角相等，即可得出；
②连接，，，先证出为等边三角形，得出，从而得出，过点O作于点M，连接并延长交于点P，证明是的垂直平分线，求出PB和OP的长，再利用勾股定理求出OB的长，即可得出的半径.
（1）解：连接，如图，
由折叠，得，
∵
∴
∴是等边三角形
∴．
（2）①∵与关于直线对称
∴
∵四边形是圆的内接四边形，
∴
∵，
∴．
②连接，，，如图，
由(1)，可得，弧=弧，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
过圆心O作于点M，连接并延长交于点P，如图
∴，即，．
∵圆心O在的垂直平分线上， ，
∴点E在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线所在直线，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴，
∴．
答：的半径为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
