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人教版2025—2026学年八年级上册期末临考预测押题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2024八上·罗湖期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．相等的角是对顶角
C．4的算术平方根是
D．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
2．（2024八上·寻甸期末）如图，上午10时，一条船从海岛出发，以（海里/时，）的速度向正北航行，12时到达海岛处．从，望灯塔，测得，．求从海岛到灯塔的距离为（ ）
A．12海里 B．24海里 C．20海里 D．36海里
3．（2024八上·云南期末）已知，则（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
4．（2024八上·河北期末）如图，若≌，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．平分 D．
5．（2024八上·仙居期末）如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（ ）．
A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和
6．（2024八上·临海期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2023八上·鄂州期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，，则线段的长为（ ）
A．4 B．5.5 C．6.5 D．7
8．（2024八上·黄石港期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·寻乌期末）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024八上·璧山期末）阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以． 请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·万州期末）若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为 ．
12．（2024八上·江北期末）计算： ．
13．（2023八上·鄂州期末）如图，等边的边长为12，点为上一点，于点，于点，连接．若．也是等边三角形，则的长 ．
14．（2023八上·铁锋期末）如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线于点，，连接．若，则的度数为 ．
15．（2023八上·湖北期末）如图1，已知直线，且和分别相交于A，B两点，和分别交于C，D两点，点P在线段上若，则 ．
16．（2024八上·汉阳期末）已知如图，中，，平分交于点D，，有以下结论：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若、则．
其中正确的有 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·怀化期末）计算：
（1）
（2）
18．（2024八上·洪山期末）因式分解：
（1）
（2）
19．（2025八上·邻水期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．
（1）求计划种植草坪的面积；
（2）已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？
20．（2024八上·云南期末）如图，在中，线段是边上的高．
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小．
21．（2024八上·广东期末）如图，在中，点是的中点，于，点在的垂直平分线，
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的度数．
22．（2024八上·余杭期末）如图，在和中，，E是的中点，于点F，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
23．（2025八上·雨花期末）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”．
（1）写出一个30到50之间的“正巧数”；
（2）设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明．
（3）m，n为正整数，且，若是“正巧数”．
①求的值；
②若是“正巧数”，请说明是“正巧数”．
24．（2024八上·湛江期末）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：的最小值解：原式∵∴当x=6时，的值最小，最小值为0∴∴当时，的值最小，最小值为1984∴代数式：的最小值是1984 例如：分解因式：解：原式
（1）分解因式；
（2）若，求y的最大值；
（2）当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值．
25．（2024八上·景县期末）如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FG⊥AC交于G点，求证：AG＝EC；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E点为BC中点；
（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，求的值是 ．
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人教版2025—2026学年八年级上册期末临考预测押题卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·罗湖期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．相等的角是对顶角
C．4的算术平方根是
D．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
【答案】D
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、4的算术平方根是2，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，正确，是真命题，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用平行线的性质、对顶角的定义、算术平方根的定义及三角形的外角的性质分别判断后即可解答．
2．（2024八上·寻甸期末）如图，上午10时，一条船从海岛出发，以（海里/时，）的速度向正北航行，12时到达海岛处．从，望灯塔，测得，．求从海岛到灯塔的距离为（ ）
A．12海里 B．24海里 C．20海里 D．36海里
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意得：（海里），
∵，，
∴，
∴，
∴海里．
即从海岛B到灯塔C的距离是24海里．
故选：B．
【分析】先求得的长，根据三角形的外角性质计算∠C的度数，可知，即可知，则可得从海岛B到灯塔C的距离．
3．（2024八上·云南期末）已知，则（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
【答案】C
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】把代入即可得到答案.
4．（2024八上·河北期末）如图，若≌，则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．平分 D．
【答案】D
【解析】【解答】解： A.∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
∴∠BAD=∠CAE，故本选项不符合题意；
B.
∵△ABC≌△ADE
∴∠C=∠E
又∵∠AOE=∠DOC（对顶角相等）
∠E+∠CAE+ ∠AOE=180°
∠C+∠COD+∠CDE=180°（三角形内角和）
∴∠CAE=∠CDE
∵∠BAD=∠CAE（由A项可得）
∴∠BAD=∠CDE，故本选项不符合题意；
C.∵△ABC≌△ADE
∴∠B=∠ADE， AB=AD，
∴∠B=∠BDA，
∴∠BDA=∠ADE，
∴DA平分BDE，故本选项不符合题意；
D. ∵△ABC≌△ADE
∴BC=DE，故本选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据全等三角形的性质得出∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE，∠C=∠E，AB=AD，等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠E+∠CAE+ ∠AOE=180°，∠C+∠COD+∠CDE=180°，据此判断即可。
5．（2024八上·仙居期末）如图，在“V”字形图形中，，，，，，若要求出这个图形的周长，则需添加的一个条件是（ ）．
A．的长 B．的长 C．的长 D．与的和
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，延长BE、CF交点M，
∵∠D=60°，DE=DF，
∴△DEF是等边三角形
∴DE=EF=DF，
∵CF∥AB，
∴∠MFE=∠FED=60°，
同理，∠MEF=∠EFD=60°
∴△MEF是等边三角形
∴ME=MF=EF
∴ME=DE=MF=DF
同理可得△MBC是等边三角形
∴AB=AC=MB=ME+BE=DE+BE，
∴“V”形图的周长=4AB
故答案为：C.
【分析】本题根据两直线平行，同位角相等或内错角相等进行推角，利用等边三角形的判定定理判定△DEF，△ABC等为等边三角形，进行线段转化即可。
6．（2024八上·临海期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是
故答案为：D.
【分析】 利用关于x轴对称点的坐标特点可得答案．
7．（2023八上·鄂州期末）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，若，，，则线段的长为（ ）
A．4 B．5.5 C．6.5 D．7
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上
∴PM=MQ=2.5，PN=NR=3.5
∴QN=MN-MQ=3-2.5=0.5
∴QR=QN+NR=0.5+3.5=4
故答案为：A.
【分析】根据轴对称的性质，可得PM=MQ=2.5，PN=NR=3.5；根据线段的计算，列代数式即可求出QR的值.
8．（2024八上·黄石港期末）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：
；
故答案为：B.
【分析】根据分式的混合运算法则进行计算即可得出答案.
9．（2024八上·寻乌期末）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：
①；
故①结论正确
②；
故②结论正确
③；
故③结论正确
④和都是等腰三角形．
同理
故④结论正确
其中正确的结论有：①②③④
故答案为：D
【分析】已知条件相等角度较多，在草图中标示清楚以便分析；根据角平分线的定义可得等角或二倍角或半角关系式，根据外角定理可写出与不相邻的两个内角的等量关系式；从结论的一侧出发，不断进行等量代换，可得到角的倍或半的关系；由同位角相等两直线平行可以判定平行关系，由等角对等边的定理可以判定等腰三角形；本题需要逐一判定，故相关的定理要灵活应用以快速推导。
10．（2024八上·璧山期末）阅读理解：如果，我们可以先将等式两边同时平方得到，再根据完全平方公式计算得：，即，所以． 请运用上面的方法解决下面问题：如果，则的值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：，两边同时除以x，得，移项，得， 等式两边同时平方得到，所以，即=6.
故答案为：B.
【分析】先两边同时除以x，将问题转化为阅读理解中的问题，再用其中的方法解决问题.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·万州期末）若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵
，
∵乘积不含一次项，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．先根据多项式乘多项式的法则化简后可得：原式，根据乘积不含一次项，则使一次项的系数为0，据此可列出方程，解方程可求出答案．
12．（2024八上·江北期末）计算： ．
【答案】
【解析】【解答】解：原式
．
故答案为：
【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂．直接利用零指数幂的性质：除零外任何数的零次方都等于1，负整数指数幂的性质：一个数的负1次方相当于求这个数的倒数，分别计算各部分再相加可求出答案.
13．（2023八上·鄂州期末）如图，等边的边长为12，点为上一点，于点，于点，连接．若．也是等边三角形，则的长 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵三角形ABC和三角形DEF都是等边三角形
∴∠A=∠B=60°，DE=DF，∠EDF=60°
∵DE⊥BC，EF⊥AC
∴∠BDE=30°
∴∠ADF=90°=∠DEB
∵∠ADF=∠DEB，∠A=∠B，DE=DF
∴△ADF≌△BED（AAS）
∴BD=AF，∠AFD=30°
设AD=x，则AF=BD=12-x，
∴12-x=2x，解得x=4，
∴AD=4
故答案为：4.
【分析】根据等边三角形的性质，可得∠A=∠B=60°，DE=DF，∠EDF=60°；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得BD=AF，∠AFD=30°；根据直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半，列一元一次方程，即可求解.
14．（2023八上·铁锋期末）如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线于点，，连接．若，则的度数为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得AB=AC，
∠ABC=∠ACB，
， ，
故答案为：70°.
【分析】根据作图的到∠ABC=∠ACB，再利用平行线的性质得到再利用三角形的内角和定理列式计算即可求解
15．（2023八上·湖北期末）如图1，已知直线，且和分别相交于A，B两点，和分别交于C，D两点，点P在线段上若，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在中，，
∴；
故答案为：.
【分析】利用平行线的性质可得，再利用三角形的内角和及角的运算求出求出即可.
16．（2024八上·汉阳期末）已知如图，中，，平分交于点D，，有以下结论：
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若、则．
其中正确的有 ．
【答案】①②④
【解析】【解答】解：∵AC=BC，∠B=α ，
∴∠CAB=∠B=α，
∠C=180°-∠CAB-∠B=180°-2α；
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠EAD；
当α=45°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，如图：
在△CAD和△EAD中，
，
∴△CAD≌△EAD（SAS），
∴AC=AE，∠DEA=∠C，
∵∠CAB=∠B=45°，
∴∠C=180°-90°=90°，
故∠DEA=90°，
∴∠BDE=∠DEA-∠B=90°-45°=45°，
则∠B=∠BDE，
∴DE=BE，
又∵AB=AE+EB，
∴AB=AC+CD；①正确；
当α=40°时，在AB上取点E，使AE=AD，连接DE，取点F，使AF=AC，连接DF，如图：
在△CAD和△FAD中，
，
∴△CAD≌△EAD（SAS），
∴AC=AF，∠DFA=∠C，
∵∠CAB=∠B=40°，
∴∠C=180°-80°=100°，
故∠DFA=100°，
∴∠DFE=180°-100°=80°，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE，
∵，
∴，
∴∠AED=∠DFE，
∴DF=DE，
∵∠B=40°，
∴∠BDE=∠DEA-∠B=80°-40°=40°，
即∠BDE=∠B，
∴DE=BE，
∴BE=DE=DF=CD，
又∵AB=AE+EB，
∴AB=AD+CD；②正确；
当α=36°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，如图：
在△CAD和△EAD中，
，
∴△CAD≌△EAD（SAS），
∴AC=AE，∠DEA=∠C，
∵∠CAB=∠B=36°，
∴∠C=180°-72°=108°，
故∠DEA=108°，
∴∠BDE=∠DEA-∠B=108°-36°=72°，
∠BED=180°-∠DEA=180°-108°=72°，
即∠BDE=∠BED，
∴BD=BE，
又∵AB=AE+EB，
∴AB=AC+BD；③错误；
当α=30°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，如图：
在△CAD和△EAD中，
，
∴△CAD≌△EAD（SAS），
∴AC=AE，∠DEA=∠C，
∵∠CAB=∠B=30°，
∴∠C=180°-60°=120°，
故∠DEA=120°，
∴∠BDE=∠DEA-∠B=120°-30°=90°，
在Rt△BDE中，∠B=30°，
∴BE=2DE，
即BE=2CD，
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+2CD；④正确；
故答案为：①②④.
【分析】根据等边对等角可得∠CAB=∠B=α，根据三角形内角和是180°可得∠C=180°-2α，根据从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线可得∠CAD=∠EAD，当α=45°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AC=AE，∠DEA=∠C，求得∠DEA=90°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BDE=45°，根据等角对等边可得DE=BE，即可推得AB=AC+CD；①正确；当α=40°时，在AB上取点E，使AE=AD，连接DE，取点F，使AF=AC，连接DF，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AC=AF，∠DFA=∠C，求得∠DFA=100°，求得∠DFE=80°，∠AED=80°，根据等角对等边可得DF=DE，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BDE=40°，根据等角对等边可得DE=BE，即可推得AB=AD+CD；②正确；当α=36°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AC=AE，∠DEA=∠C，求得∠DEA=108°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BDE=72°，求得∠BED=72°，根据等角对等边可得BD=BE，即可推得AB=AC+BD；③错误；当α=30°时，在AB上取点E，使AE=AC，连接DE，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AC=AE，∠DEA=∠C，求得∠DEA=120°，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠BDE=90°，根据直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半可得BE=2DE，即可推得AB=AC+2CD；④正确；即可得出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·怀化期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【解析】【分析】（1）先算负整数指数幂、零指数幂和绝对值，再计算加减即可.
（2）先将 拆为，再根据积的乘方的逆运算计算法则计算即可.
18．（2024八上·洪山期末）因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）先提取公因式x，再利用完全平方式即可解题.
（2）先提取公因式，再利用平方差公式即可解题.
19．（2025八上·邻水期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为，宽为；另一块长为，宽为．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．
（1）求计划种植草坪的面积；
（2）已知，，若种植草坪的价格为30元/ ，求种植草坪应投入的资金是多少元？
【答案】（1）解：两块空地总面积：，
，
栽花面积：，
草坪面积：．
（2）解：，，草坪价格为30元/，
应投入的资金元．
【解析】【分析】（1）计划种植草坪的面积等于长为(3a+2b)、宽为(a+b)的矩形的面积+长为(a+b)、宽为(a-b) 的矩形的面积-边长为(a-b)正方形的面积列式，然后再根据多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可；
（2）将a与b的值代入（1）中求得最简式子算出种植草坪的面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解．
（1）解：（1）两块空地总面积：，
，
栽花面积：，
草坪面积：．
（2），，草坪价格为30元/，
应投入的资金元．
20．（2024八上·云南期末）如图，在中，线段是边上的高．
（1）若是边上的中线，，，求的长；
（2）若是的平分线，，，求的大小．
【答案】（1）解：是边上的高，，，
．
∴．
又是边上的中线，
．
（2）解：∵ 线段是边上的高 ，∠C=60°，
∴∠EAC=180°-∠AEC-∠C=180°-90°-60°=30°
，，
．
又为∠BAC的平分线，
．
∴．
【解析】【分析】（1）结合已知条件以及三角形的面积公式先求得出，进而根据三角形的中线的性质求出BD的长；
（2）根据三角形内角和定理求得∠EAC和，进而根据角平分线的性质可得，根据，即可求出的度数．
（1）解：是边上的高，，，
．
，
解得．
又是边上的中线，
．
（2），，
．
又为角平分线，
．
又，
，．
21．（2024八上·广东期末）如图，在中，点是的中点，于，点在的垂直平分线，
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵点是的中点，，∴垂直平分，
∴，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵，，∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据点是的中点，于 可知垂直平分，即可得出，再根据垂直平分线的性质，得出，进而得出，即可证明是等腰三角形；
（2），，得出，，根据，得出，根据三角形内角和定理得出，即可得出，最后根据等腰三角形的性质即可求出的度数 ．
22．（2024八上·余杭期末）如图，在和中，，E是的中点，于点F，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，，∴，
∵E是的中点，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得到，然后根据AAS得到全等即可；
（2）由全等得到，然后根据中点的定义解题即可.
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴．
23．（2025八上·雨花期末）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，，因此8，16，24都是“正巧数”．
（1）写出一个30到50之间的“正巧数”；
（2）设两个连续正奇数为和（其中是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明．
（3）m，n为正整数，且，若是“正巧数”．
①求的值；
②若是“正巧数”，请说明是“正巧数”．
【答案】（1）解：∵，
∴40是正巧数.
（答案不唯一）
（2）解：能，理由如下：
，
∵8k能被8整除，
∴由和构成的“正巧数”能被8整除.
（3）解：①
，
∵是“正巧数”，
∴m-n是与7相邻的奇数，
∴.
②∵m-n=9，
∴m=9+n，
∴，
∵是“正巧数”，
∴也是“正巧数”，
由（2）可得，“正巧数”能被8整除，
∴能被8整除，
，
∵能被8整除，80能被8整除，
∴能被8整除，
∴是“正巧数”．
【解析】【分析】（1）直接根据“正巧数”的定义找出合适的数即可；
（2）化简，进而可以证明；
（3）①先对原式进行变形，再根据“正巧数”的定义可得；
②根据已知“正巧数”得到也是“正巧数”，再将变形得到，结合（2）的结论，即可判断．
（1）解：如：，
∴40是正巧数；
（2）由题意可得：
∴由和构成的“正巧数”能被8整除；
（3）①
∵是“正巧数”，
∴；
②∵是“正巧数”，
∴也是“正巧数”，
∴能被8整除，
，
∵能被8整除，80能被8整除，
∴能被8整除，
即是“正巧数”．
24．（2024八上·湛江期末）阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题．
例如：求代数式：的最小值解：原式∵∴当x=6时，的值最小，最小值为0∴∴当时，的值最小，最小值为1984∴代数式：的最小值是1984 例如：分解因式：解：原式
（1）分解因式；
（2）若，求y的最大值；
（2）当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】解：（1）
，
（2）
=
=
∵，
∴，
∴，
当时，y的最大值为1314；
（3）
∵
∴
即当时，原式取最小值，为2020．
∴当时，多项式有最小值2020．
【解析】【分析】（1）根据题意，先对式子进行配方得到原式，再根据平方差公式求解即可；
（2）先对式子进行配方，得到，再根据平方的非负性等求解即可；
（3）先对式子进行分组，然后配方，得到原式，再根据平方的非负性，求解最值即可.
25．（2024八上·景县期末）如图，等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连接AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FG⊥AC交于G点，求证：AG＝EC；
（2）如图2，连接BF交AC于G点，若AC＝BC＝4，AG＝3，求证：E点为BC中点；
（3）如图3，当E点在CB的延长线上时，连接BF与AC的延长线交于D点，若，求的值是 ．
【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵AF⊥AE，
∴∠CAE+∠FAG＝90°
∴∠FAG＝∠AEC，
∵FG⊥AC，
∴∠FGA＝90°＝∠ACE，
在△AGF和△ECA中，
，
∴△AGF≌△ECA（AAS）；
∴AG＝EC；
（2）证明：如图2，过点F作FD⊥AC于D，
∵AC＝4，AG＝3，
∴CG＝4﹣3＝1，
由（1）可知，△FAD≌△AEC，
∴CE＝AD，FG＝AC＝BC，
在△FDG 和△BCG中，
，
∴△FDG≌△BCG（AAS），
∴DG＝GC＝1，
∴CE＝AD＝2，
∴BE＝BC﹣CE＝2，
∴CE＝EB，即E点为BC中点；
（3）
【解析】【解答】解：（3）过F作FG⊥AD的延长线交于点G，如图3，
∵，BC＝AC，CE＝CB+BE，
∴
由（1）（2）知：△AGF≌△ECA，△DGF≌△DCB，
∴CD＝DG，AG＝CE，
∴
∴
∴
∴＝．
故答案为：．
【分析】（1）利用余角的性质可得∠FAG=∠CEA，根据AAS证明；
（2）过点F作，根据AAS证明，得到DG=GC，进而求出CE=EB即可；
（3）作，交AC的延长线于一点H，由（1）（2）可知，，，利用全等三角形的性质计算即可．
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