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人教版2025—2026学年九年级上册期末聚优全能练考卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·肃南期末）将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·仁寿期末） 已知m，n是方程的两根，则的值是（ ）
A．8 B． C．0 D．
3．（2024九上·简阳期末）某一芯片实现国产化，经过两次降价，每块芯片单价由118元降为98元，若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·惠东期末）如图，将绕点A逆时针转80°，得到，若点D在线段BC的延长线上，则的大小是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．100°
5．（2024九上·广州期末）如图，正六边形内接于，的半径是1，则正六边形的周长是（ ）
A． B．6 C． D．12
6．（2023九上·洪山期末）已知一个圆心角为，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A，B两点触地放置），向右滚动工件至点B再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是（ ）
A．6 B． C． D．
7．（2024九上·曲靖期末）如图抛物线的对称轴是直线下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．（m为任意实数）
8．（2024九上·河东期末）某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·阿克苏期末）对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2024九上·岳阳期末）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·江津期末）如果关于 的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ．
12．（2024九上·北碚期末）在一个布袋里装着标号分别为的3个小球，它们除标号外无其他区别，从布袋中随机摸出一个小球后不放回，将小球上的数字记为，摇匀再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为，则使二次根式的值为有理数的概率是 ．
13．（2024九上·贵州期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为 ．
14．（2024九上·贵州期末） 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O的半径等于 ．
15．（2024九上·仙居期末）如图，某校计划在边长为的正方形花坛内种花，过上一点P作，，分别交正方形的四边于点E，F，G，H，连接，在区域种百合花，在四边形区域种玫瑰花．若种植百合花的成本为20元/，玫瑰花的成本为15元/，则种植两种花卉的计划成本最少为 元．
16．（2024九上·武汉期末）如图，在等腰中，，，D在边上，E在上，若，，，则的值是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·昭阳期末）解方程．
（1）
（2）
18．（2025九上·东阳期末）糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃．已知糖炒板栗每斤成本大约为10元．某夜市摊主试销阶段每斤的销售价（元）与糖炒板栗日销售量（斤）之间的关系如下表：若日销售量是销售价的一次函数，试求：
（元） 15 20 30 …
（斤） 100 80 40 …
（1）日销售量（斤）与销售价（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
19．（2025九上·黄埔期末）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，
请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
20．（2024九上·长沙期末） 如图，在中，弦，相交于点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）连接、，若，的半径为，求的长．
21．（2024九上·三门期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，．
（1）四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点；
（2）若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______．
22．（2024九上·蓬溪期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售300个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到432个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2、3两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？
23．（2024九上·温岭期末）如图1，有两面互相垂直且长度均为10米的墙，现要建一个矩形花圃，矩形两边由墙围成，另两边和中间隔离带用篱笆围成，篱笆总长24米，隔离带，均与接触的墙垂直．
（1）若矩形花圃面积为32平方米，求长；
（2）求能围成的矩形花圃的最大面积；
（3）因种植需要，仍利用24米的篱笆将花圃重建成如图2所示的矩形花圃，求能围成的矩形花圃的最大面积．
24．（2024九上·潮南期末）圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形.
（1）如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，直接写出的度数；
（2）如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，，求的长.
（3）如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且.设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值.
25．（2024九上·绵阳期末）如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，与交于点D，与交于点E，与交于点F，当B、D、F重合时停止旋转．
（1）证明：在旋转过程中；
（2）如图1，当平分时，证明：；
（3）如图2，若，，在旋转过程中，当是等腰三角形时，求该等腰三角形底边的长度．
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数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·肃南期末）将二次函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】将抛物线的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得关系式为．
故选：D．
【分析】根据二次函数的平移变换（上加，下减，左加，右减）结合题意即可求解。
2．（2024九上·仁寿期末） 已知m，n是方程的两根，则的值是（ ）
A．8 B． C．0 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵m，n是方程的两根，
∴，，
∴．
故答案为：D
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而根据整式的混合运算化简代入即可求解。
3．（2024九上·简阳期末）某一芯片实现国产化，经过两次降价，每块芯片单价由118元降为98元，若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，根据题意列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】设每次降价的百分率为，根据题意得 ，
故答案为：B.
【分析】设每次降价的百分率为，根据每块芯片单价由118元降为98元，若两次降价的百分率相同，即可列出关于x的一元二次方程.
4．（2024九上·惠东期末）如图，将绕点A逆时针转80°，得到，若点D在线段BC的延长线上，则的大小是（ ）
A．45° B．50° C．60° D．100°
【答案】B
【解析】【解答】解：将绕点A逆时针旋转80°得到
故答案为：B
【分析】先根据旋转的性质得到再根据等腰三角形的性质（等边对等角）即可求解。
5．（2024九上·广州期末）如图，正六边形内接于，的半径是1，则正六边形的周长是（ ）
A． B．6 C． D．12
【答案】B
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴正六边形的周长是．
故答案为：B
【分析】连接，先根据题意结合正多边形的性质得到，，进而根据等边三角形的判定与性质得到，从而即可求解。
6．（2023九上·洪山期末）已知一个圆心角为，半径为3的扇形工件，没搬动前如图所示（A，B两点触地放置），向右滚动工件至点B再次触地时停止，则圆心O所经过的路线长是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AOB=360°-240°=120°
∴∠ABO=30°
∴圆心O旋转的长度为，圆心O移动的距离为
∴圆心O所经过的路线长为
故答案为：C
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ABO=30°，根据旋转性质，结合弧长公式即可求出答案.
7．（2024九上·曲靖期末）如图抛物线的对称轴是直线下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．（m为任意实数）
【答案】C
【解析】【解答】解：A、根据函数图象可得：a<0，b>0，c>0，∴abc<0，∴A不正确，不符合题意；
B、∵二次函数与x轴有两个交点，∴△=，∴B不正确，不符合题意；
C、∵二次函数的对称轴为直线x=1=，∴b=-2a，∴，∴C正确，符合题意；
D、∵抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x=1时，函数值最大，∴，∴，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
8．（2024九上·河东期末）某种品牌手机经过两次降价，每部售价由2000元降到1620元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为为，
则，
解得：，（舍去），
故答案为：A．
【分析】基本关系：初量×（1-降低率）2=末量。据此列一元二次方程求解．
9．（2024九上·阿克苏期末）对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：①由图像可知，a>0，c<0，对称轴，
，
故①正确；
②由图像可知，抛物线与x轴有两个交点，
故②正确；
③由图像可知，当x=2时，函数值小于零，即，故③错误；
④由图像可知，当x=-1时，函数值大于零，即a-b+c>0，
a-(-2a)+c>0，即3a+c>0，故④正确；
⑤当x=1时，y=a+b+c，此时y取到最小值，
当x=m时，y=am2+bm+c，
a+b+cam2+bm+c，
即 ，故⑤正确；
⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥正确.
综上所述，正确的有①②④⑤⑥，共5个.
故答案为：C.
【分析】①根据抛物线的开口方向和与y轴的交点，判断出a、c的符号，再结合对称轴得出b的符号，进而可判断①；②根据抛物线与x轴的交点个数即可判断②；③当x=2时，结合图像即可判断；④当x=-1时，得出a-b+c>0，再将b=-2a代入即可判断④；⑤根据图像得出当x=1时函数取到最小值，再结合不等式的性质判断即可；⑥根据抛物线的性质判断即可.
10．（2024九上·岳阳期末）图①是一张长，宽的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为的有盖长方体盒子．设该盒子的高为，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且盒子的高为xcm，
折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为cm，
折成的长方体底面积为80cm2，
.
故答案为：D.
【分析】根据长方形和折叠后的长方体各边长之间的关系，可得折成的长方体底面的宽应为(16-2x)cm，长为cm，再结合长方体底面积为80cm2，根据长×宽=80即可列出方程.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·江津期末）如果关于 的一元二次方程有实数根，且关于的分式方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】-15
【解析】【解答】解：∵关于 的一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
解分式方程得，，
∵关于的分式方程有正整数解，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴符合条件的整数有，
∴为，
故答案为：．
【分析】根据“关于 的一元二次方程有实数根”可求得m的取值范围，再求解分式方程并结合“关于的分式方程有正整数解”可确定m符合条件的取值，将其求和即可求解。
12．（2024九上·北碚期末）在一个布袋里装着标号分别为的3个小球，它们除标号外无其他区别，从布袋中随机摸出一个小球后不放回，将小球上的数字记为，摇匀再随机摸出一个小球，将小球上的数字记为，则使二次根式的值为有理数的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：所有机会均等的结果列表如下：
ba 1 2 3
1
2
3
由列表可知一共有6种等可能结果，其中使二次根式的值为有理数有2种等可能结果，
∴使二次根式的值为有理数的概率，
故答案为：．
【分析】本题考查简单概率的计算.通过列表可列出所有等可能结果，进而找出使二次根式的值为有理数的所有情况，再根据概率公式进行计算可求出答案．
13．（2024九上·贵州期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点P是的外接圆的圆心，则点P的坐标为 ．
【答案】（2，1）
【解析】【解答】解：分别作出边，的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，如图所示：
则，
故答案为：．
【分析】先根据作图-垂直平分线分别作出边，的垂直平分线，则它们的交点即为的外接圆的圆心P，进而直接读出坐标即可求解。
14．（2024九上·贵州期末） 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，如果 AB=8，OC=3，那么⊙O的半径等于 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示：
∵OC⊥AB，CO过圆心O，
∴AC=BC=AB=4，
由勾股定理得AO=5，
故答案为：5
【分析】连接OA，先根据垂径定理即可得到AC，进而运用勾股定理即可求解。
15．（2024九上·仙居期末）如图，某校计划在边长为的正方形花坛内种花，过上一点P作，，分别交正方形的四边于点E，F，G，H，连接，在区域种百合花，在四边形区域种玫瑰花．若种植百合花的成本为20元/，玫瑰花的成本为15元/，则种植两种花卉的计划成本最少为 元．
【答案】600
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，，，，，
∴四边形、四边形是正方形，
设，则，，
∴，，
设种植两种花卉的计划成本W元，则
，
∵，，
∴时，种植两种花卉的计划成本最小，最小值为600，
故答案为：600．
【分析】本题考查二次函数的应用、正方形的判定与性质．根据题意判断出四边形、四边形是正方形，利用正方形的性质可得：，，根据，，利用平行线的的性质可得，，，，，利用正方形的判定定理可证明四边形、四边形是正方形，设，利用三角形的面积计算公式和正方形的面积计算公式可得，，设种植两种花卉的计划成本W元，进而可推出，根据二次函数的性质可求出最大值，据此可求出答案.
16．（2024九上·武汉期末）如图，在等腰中，，，D在边上，E在上，若，，，则的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，，
∴将绕点逆时针旋转到的位置，连接，
则，，，，
∴，
作交于，则，，
∴，
∴，
过点作交于，设，则，
由勾股定理可得：，即：，
解得：，则，
延长，使得，则，
又∵，，
∴，
∴，则，亦即是等边三角形，
∴，则，
∴，
∴，
过点作交延长线于，则，
设，则，
由勾股定理可得：，
即：，解得：，
∴，则，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据旋转性质可得，，，， 则， 作交于，则，， 根据勾股定理可得，则， 过点作交于，设，则， 根据勾股定理建立方程，解方程可得， 延长，使得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，则，亦即是等边三角形，即，则， 再根据勾股定理可得AB2=AC2， 过点作交延长线于，则， 设，则， 根据勾股定理建立方程，解方程可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，即，即可求出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·昭阳期末）解方程．
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
（2）解：
，
，
或，
解得：．
【解析】【分析】（1）用公式法解一元二次方程．求根公式是：；
（3）利用因式分解法解一元二次方程。把方程右边的项全部移到左边，再提公因式（2x+1)分解因式求解即可。
18．（2025九上·东阳期末）糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃．已知糖炒板栗每斤成本大约为10元．某夜市摊主试销阶段每斤的销售价（元）与糖炒板栗日销售量（斤）之间的关系如下表：若日销售量是销售价的一次函数，试求：
（元） 15 20 30 …
（斤） 100 80 40 …
（1）日销售量（斤）与销售价（元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设，
把，代入中得：
，
解得：；
（2）解：由题意得：
，
，
当时，元，
每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据总利润=单斤利润总数量建立出w关于x的函数关系式，然后将解析式配成顶点式，根据二次函数性质求出最值即可．
（1）解：设，
把，代入中得：
，
解得：；
（2）解：由题意得：
，
，
当时，元，
每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元．
19．（2025九上·黄埔期末）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，
请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有______名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是______；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少？
【答案】（1）100，
喜爱足球的人数为：（人），
条形图如图所示，
（2）
（3）解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P（甲、乙两人被选中）．
【解析】【解答】（1）解：根据题意得本次被调查的学生人数（人），
故答案为：100；
（2）解：“羽毛球”人数所占比例为：，
所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数，
故答案为：.
【分析】（1）利用“篮球”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“足球”的人数并作出条形统计图即可；（2）先求出“羽毛球”的百分比，再乘以360°可得答案；（3）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：根据题意得本次被调查的学生人数（人），
喜爱足球的人数为：（人），
条形图如图所示，
故答案为：100；
（2）解：“羽毛球”人数所占比例为：，
所以，扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数，
故答案为：；
（3）解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P（甲、乙两人被选中）．
20．（2024九上·长沙期末） 如图，在中，弦，相交于点，连接，已知．
（1）求证：；
（2）连接、，若，的半径为，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，即，
；
（2）解：
连接、，
，，
，
由圆周角定理得：，
的长．
【解析】【分析】（1）先根据弧与弦的关系得到， 进而结合题意进行运算，再根据弧与圆周角的关系即可求解；
（2）连接、，进而结合题意运用圆周角定理得到，再根据弧长的计算公式即可求解。
21．（2024九上·三门期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为：，，，．
（1）四边形是中心对称图形吗？若是，请画出对称中心E点；
（2）若点在上，在上确定一点G，使得平分四边形的面积，则G点的坐标为______．
【答案】（1）解：是
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是中心对称图形，
如图，对角线的交点即为旋转中心．
（2）
【解析】【解答】（2）因为平分四边形的面积，
所以点是的中点，
设，则有，
，
．
故答案为：．
【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形解题，然后连接对角线得到交点是对称中心；
（2）根据中心对称图形的性质解题即可．
（1）解：是
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是中心对称图形，
如图，对角线的交点即为旋转中心．
（2）因为平分四边形的面积，
所以点是的中点，
设，则有，
，
．
故答案为：．
22．（2024九上·蓬溪期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售300个，2、3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到432个，设2、3两个月的销售量月平均增长率不变．
（1）求2、3两个月的销售量月平均增长率；
（2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利2880元？
【答案】（1）解：设2、3两个月的销售量月平均增长率为x，
，
解得：（舍去），
答：2、3两个月的销售量月平均增长率为．
（2）解：设降价y元，
，
整理得：，
解得：（舍去），
∴这种台灯售价定为（元），
答：这种台灯售价定为36元时，商场4月销售这种台灯获利2880元．
【解析】【分析】（1）设2、3两个月的销售量月平均增长率为x，根据题意即可列出一元二次方程，从而即可求解；
（2）设降价y元，根据题意列出关于y的一元二次方程，进而即可求解。
23．（2024九上·温岭期末）如图1，有两面互相垂直且长度均为10米的墙，现要建一个矩形花圃，矩形两边由墙围成，另两边和中间隔离带用篱笆围成，篱笆总长24米，隔离带，均与接触的墙垂直．
（1）若矩形花圃面积为32平方米，求长；
（2）求能围成的矩形花圃的最大面积；
（3）因种植需要，仍利用24米的篱笆将花圃重建成如图2所示的矩形花圃，求能围成的矩形花圃的最大面积．
【答案】（1）设米，
根据题意可得，
解得，，
答：长4米或8米；
（2）解：设米，矩形花圃面积为平方米，
则，
当时，此时，，有最大值36，
∴矩形花圃的最大面积为36平方米；
（3）解：设米，矩形花圃面积为平方米，
则有，
∴，
∴，
∴当时，矩形花圃的最大值为70平方米．
【解析】【分析】（1）设米，根据矩形面积，列出关于x的方程求解；
（2）设米，矩形花圃面积为平方米，根据题意可得关于的二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可获得答案；
（3）设米，矩形花圃面积为平方米，根据题意确定的取值范围，列出关于的二次函数解析式，再根据二次函数的性质求解．
（1）解：设米，
根据题意可得，
解得，，
答：长4米或8米；
（2）设米，矩形花圃面积为平方米，
根据题意，可知，
当时，此时，，有最大值36，
所以，矩形花圃的最大面积为36平方米；
（3）设米，矩形花圃面积为平方米，
则有，
∴，
∴，
∴当时，矩形花圃的最大值为70平方米．
24．（2024九上·潮南期末）圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形.
（1）如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，直接写出的度数；
（2）如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，，求的长.
（3）如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且.设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值.
【答案】（1）解：
（2）解：连接，过点作，交于点.如图：
在中，，，，
此时为等腰直角三角形，，
在中，，，，.
（3）解：如图，连接，.
，，垂直平分，
为中点，为的中位线，有，，
设，则，，，
在中，，
在中，，
于是有：，整理得，，
，
当时，
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∴
∵
∴
∴.
【分析】（1）根据题意得到：根据"等弧所对的圆周角相等"，据此得到进而即可求解；
（2）连接，过点作，交于点，在中，利用三角函数求出CH和AH的长度，此时为等腰直角三角形，，再在中利用勾股定理即可求解；
（3）连接，交于点F，过点O作OF⊥BC于点F，设，则，，进而利用勾股定理即可求解.
25．（2024九上·绵阳期末）如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，与交于点D，与交于点E，与交于点F，当B、D、F重合时停止旋转．
（1）证明：在旋转过程中；
（2）如图1，当平分时，证明：；
（3）如图2，若，，在旋转过程中，当是等腰三角形时，求该等腰三角形底边的长度．
【答案】（1）证明：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵将绕点A逆时针旋转得到，
∴，，，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵中，，，，
∴，
作，垂足为，
∵，
解得，
∴，
①当时，则，
∴；
②当时，则，
∴；
③当时，则，
综上，该等腰三角形底边的长度为3或或．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出，进而得到，再利用对顶角相等，等量代换后即可得证；
（2）根据旋转的性质和角平分线的定义先证，得出，进而可得；
（3）根据勾股定理求出AB的长，作，垂足为， 利用等面积法求得BG的长，再分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别计算出底边的长度即可.
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