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北师大版2025—2026学年八年级上册期末名校真题汇编卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·坪山期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·南关期末）已知一次函数y＝kx﹣k，当k＜0时，此函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·新都期末） 下列命题为真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．若，则
C．在同一平面内，垂直同一条直线的两条直线互相平行
D．如果一个整数能被3整除，那么这个数也能被6整除
4．（2024八上·福田期末）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地.乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶.甲车先到达地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇.图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间（h）的函数关系的图象，则（ ）
A．甲车的速度是120km/h B．A，B两地的距离是360km
C．乙车出发4.5h时甲车到达地 D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇
5．（2024八上·瑞安期末）某文具超市有四种水笔销售，它们的单价分别是5元，4元，3元，1.2元．某天的水笔销售情况如图所示，那么这天该文具超市销售的水笔的单价的平均值是（ ）
A．4元 B．4.5元 C．3.2元 D．3元
6．（2024八上·永定期末）a，b是两个连续整数，若，则是（ ）
A．12 B．13 C．20 D．21
7．（2024八上·宣汉期末）已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组 则此等腰三角形的周长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．5或4
8．（2024八上·武义期末）下列选项中，可以用来证明命题“若 ，则 ”是假命题的反例的是（ ）
A．a=－1 B．a=0 C．a=1 D．a=2
9．（2024八上·奉化期末）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
10．（2024八上·大竹期末）在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），，，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6…若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·龙泉驿期末）已知一次函数y＝kx+4（k≠0）和y＝﹣3x+b的图象交于点A（﹣3，2），则关于x，y的二元一次方程组的解是 ，
12．（2024八上·达州期末）如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是 三角形．
13．（2024八上·郫都期末）如图，在数轴上点 A 表示的实数是 ．
14．（2024八上·毕节期末）如图，将长为的弹性绳放置在直线上，固定端点和，然后把中点竖直向上拉升至点，则拉长后弹性绳的长为 ．
15．（2024九上·柳州期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，3）关于原点对称点P′的坐标是 ．
16．（2025八上·上虞期末）如图所示，，，…，都是边长为2的等边三角形，边在x轴上，点，，，…，都在直线上，则点的坐标是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·平南期末） 计算：
（1）
（2）
18．（2024八上·峡江期末）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为10分，平均成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，
（1）分别求出甲、乙三项平均成绩，并指出会录用谁；
（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．
19．（2025八上·桥西期末）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为．
（1）求原来正方形区域的边长；
（2）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断．
20．（2024八上·大竹期末）中国象棋是经典国粹，备受人们喜爱．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处等．如对象棋棋盘建立恰当平面直角坐标系，可以便于研究和解决问题．
（1）如图，若“帅”所在点的坐标为，“马”所在的点的坐标为，则“相”所在点的坐标为 ；
（2）如图，若C点的坐标为，D点的坐标为，按“马”走的规则，图中“马”由所在的位置走一步可以直接到的点的坐标为 ．
21．（2025八上·丽水期末）某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册该纪念册每册需要张大小一样的纸，其中张为彩页，张为黑白页印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页元张，黑白页元张印刷费与印数的关系如下表．
印数千册
彩色元张
黑白元张
（1）印制这批纪念册需制版费多少元？
（2）求出关于的函数表达式．
（3）如果该校希望印数至少为千册，总费用最多为元，求印数的取值范围精确到千册
22．（2024八上·南海期末）如图，是学生用两块三角板拼成的图形，其中，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上，，，，过点作平分交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
23．（2024八上·温州期末）如图，在中，，延长，至点，，过点，分别作，交于点，，已知．
（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
24．（2024八上·邛崃期末）如图，直线和直线相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线和于点B、C，若，求p的值；
（3）在（2）的条件下，点M为y轴正半轴上任意一点，当是以为斜边的直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
25．（2024八上·南关期末）如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，动点P从点C出发沿C﹣A﹣B以每秒2个单位的速度运动，到达点B时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）AC＝ ．
（2）时，AP的长为 ．点P在AB边上时，线段AP的长为 （用含t的代数式表示）．
（3）当点P在AB的中垂线上时，求t的值．
（4）如图②，当点P在AB上运动时，连结CP，作点A关于CP的对称点A'，连结A'C，A'P．当存在△A'PC的边与△ABC的边平行时，直接写出t的值．
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北师大版2025—2026学年八年级上册期末名校真题汇编卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·坪山期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误；
B、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误；
C、，故该选项正确；
D、和不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误；
故选：C．
【分析】根据二次根式的四则运算逐项进行判断即可求出答案.
2．（2024八上·南关期末）已知一次函数y＝kx﹣k，当k＜0时，此函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵一次函数中，，，
∴该函数图象必经过一、二、四象限．
故答案为：A．
【分析】直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k决定增减性，b决定与y轴的交点；时，图像从左到右呈上升趋势，k＜0时，图象从左到右呈下降趋势；b＞0时，图象交于y轴正半轴，b=0时，图象过原点，b＜0时，图象交于y轴负半轴；由题意可知k＜0，图像从左到右呈下降趋势，排除B与C选项.b＞0时，图像交于y轴正半轴，故答案为A.
3．（2024八上·新都期末） 下列命题为真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．若，则
C．在同一平面内，垂直同一条直线的两条直线互相平行
D．如果一个整数能被3整除，那么这个数也能被6整除
【答案】C
【解析】【解答】A、∵两直线平行，同旁内角互补，∴A不正确，不符合题意；
B、∵若，且a、b同号，则，∴B不正确，不符合题意；
C、∵在同一平面内，垂直同一条直线的两条直线互相平行，∴C正确，符合题意；
D、∵如果一个整数能被3整除，那么这个数不一定能被6整除，比如3，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用真命题的定义及平行线的性质、等式的性质逐项分析判断即可.
4．（2024八上·福田期末）甲、乙两车从地出发，匀速驶往地.乙车出发1h后，甲车才沿相同的路线开始行驶.甲车先到达地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与乙车相遇.图中的折线段表示从开始到相遇止，两车之间的距离与甲车行驶的时间（h）的函数关系的图象，则（ ）
A．甲车的速度是120km/h B．A，B两地的距离是360km
C．乙车出发4.5h时甲车到达地 D．甲车出发4.5h最终与乙车相遇
【答案】C
【解析】【解答】解：A、乙车先行1小时的路程是60千米，因此乙车的速度为60千米/小时，甲车出发1.5小时就追上乙，故甲车的速度为(1+1.5)×60÷1.5=100千米/小时，故选项A不合题意；
B、甲车追上乙车后到两车距离为80千米需要时间为80÷(100-60)=2(小时)，
甲车行全程需要2+1.5=3.5(小时)，全程为100×3.5=350千米，故选项B不合题意；
C、此时乙车出发3.5+1=4.5(小时)，故选项C符合题意；
D、甲车休息半小时准备返回时乙车行3.5+1+0.5=5 (小时)，
此时乙车距B地350-60×5=50(千米)，
返回时相遇所用时间为50÷(100+60)=小时，
此时甲车行驶的时间为3.5+0.5+=4小时，故选项D错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由图象可知甲车出发时，两车距离为60千米，从而得到乙车的速度，而甲车出发1.5小时候追上了乙车，从而说明乙车2.5小时所走的路程等于甲车1.5小时所走的路程，据此可算出甲车的速度，从而可判断A选项；从图象看两车相距80千米的时候甲车到达了B地，据此可算出甲车到达B的时间，进而可算出A、B两地的距离，据此可判断B、C；找出甲车在B地休息半小时后乙车距离B地的路程，进而根据相遇问题求出返回时相遇所用时间，进而即可判断D选项.
5．（2024八上·瑞安期末）某文具超市有四种水笔销售，它们的单价分别是5元，4元，3元，1.2元．某天的水笔销售情况如图所示，那么这天该文具超市销售的水笔的单价的平均值是（ ）
A．4元 B．4.5元 C．3.2元 D．3元
【答案】D
【解析】【解答】解：设这天该文具超市销售的水笔共有只，则其单价的平均值是元
故答案为：D.
【分析】设这天该文具超市销售的水笔共有只，然后根据加权平均数计算方法列式计算即可.
6．（2024八上·永定期末）a，b是两个连续整数，若，则是（ ）
A．12 B．13 C．20 D．21
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，其中a、b为两个连续的整数，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】通过估算的取值范围，确定连续整数a，b的值，再代入计算即可．
7．（2024八上·宣汉期末）已知一个等腰三角形的两边长a、b满足方程组 则此等腰三角形的周长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．5或4
【答案】A
【解析】【解答】解方程组 得：
所以，等腰三角形的两边长为2，1．
若腰长为1，底边长为2，由1+1=2知，这样的三角形不存在．
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．
所以这个等腰三角形的周长为5．
故答案为：A.
【分析】解方程组求得a、b的值，然后分腰长为a和腰长为b分别进行计算，注意还要判断每种情况是否能组成三角形.
8．（2024八上·武义期末）下列选项中，可以用来证明命题“若 ，则 ”是假命题的反例的是（ ）
A．a=－1 B．a=0 C．a=1 D．a=2
【答案】A
【解析】【解答】当a=－1时， =1＞0，但-1＜0，即可判定命题“若 ，则 ”是假命题.
故答案为：A.
【分析】将各选项中的a的值代入验证，就可得出答案。
9．（2024八上·奉化期末）如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则的值为（ ）
A．18 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【解析】【解答】解：过点F作FD⊥AM，连接FP，如图，
∵ AF=BA，FD=AC，∠TAC=∠KFD，
∴ Rt△ADF≌Rt△BCA（HL）， Rt△TAC≌Rt△KFD（HL），
∴ S2=S△ABC，
∵ Rt△TAC≌Rt△KFD，
∴ AT=FK，
∴ AF-AT=FE-FK，
∴ FT=EK，
∴ △FPT≌△EMK（AAS），
∴ S1+S3=S△ABC，
∵ AB=EB，∠ABC=∠EBN，
∴ △ABC≌△EBN（AAS），
∴ S4=S△ABC，
∴ S1+S2+S3+S4=3S△ABC=3××AC×BC=3××12=18.
故答案为：A.
【分析】过点F作FD⊥AM，连接FP，通过证明Rt△ADF≌Rt△BCA， Rt△TAC≌Rt△KFD，△FPT≌△EMK，△ABC≌△EBN可得 S1+S2+S3+S4=3S△ABC，即可求得.
10．（2024八上·大竹期末）在如图所示的方格纸上（小正方形的边长均为1），，，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，且它们的斜边长分别为2，4，6…若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意，得A2(1，-1)，A4(2，2)，A6(1，-3)，A8(2，4)，A10(1，-5)，…，观察点的坐标变化发现当n为偶数，且n不是4的倍数，即 n为 2，6，10，…时， 的坐标为 当n为偶数，且 n是 4 的倍数，即 n为 4，8，12，…时， 的坐标为(
∵∴的坐标为（1，-1011）.
故答案为：B.
【分析】须仔细观察图形，对坐标点进行分类，总结出偶数点的坐标变化规律，从而结合题意求解.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·龙泉驿期末）已知一次函数y＝kx+4（k≠0）和y＝﹣3x+b的图象交于点A（﹣3，2），则关于x，y的二元一次方程组的解是 ，
【答案】
【解析】【解答】 一次函数y＝kx+4（k≠0）和y＝﹣3x+b的图象交于点A（﹣3，2） ；
即二元一次方程组的解为 ；
故答案为：第1空、
【分析】根据一次函数和二元一次方程组的关系可知，两个一次函数的交点，即为以两个一次函数为方程组的解。
12．（2024八上·达州期末）如图，在的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则是 三角形．
【答案】直角
【解析】【解答】解：由图可知：，
，，
，
是直角三角形.
故答案为：直角.
【分析】结合图形，先利用勾股定理求出AC2、AB2、BC2，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
13．（2024八上·郫都期末）如图，在数轴上点 A 表示的实数是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
根据勾股定理得：，
，
点表示的实数是，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理求的长度，即可得到的长度，根据点的位置即可得到点表示的数．
14．（2024八上·毕节期末）如图，将长为的弹性绳放置在直线上，固定端点和，然后把中点竖直向上拉升至点，则拉长后弹性绳的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵占C是AB的中点，
∴AC=CB=6cm，
在中，（cm）
∴拉长后弹性绳的长为 ：AD+BD=2AD=15cm。
故答案为：15cm。
【分析】根据勾股定理计算即可。
15．（2024九上·柳州期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣5，3）关于原点对称点P′的坐标是 ．
【答案】（5，﹣3）
【解析】【解答】解：点P（﹣5，3）关于原点对称点P′的坐标是（5，﹣3），
故答案为：（5，﹣3）．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征横纵坐标互为相反数可得方程求解。
16．（2025八上·上虞期末）如图所示，，，…，都是边长为2的等边三角形，边在x轴上，点，，，…，都在直线上，则点的坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过作轴于，
∵，，…，都是边长为2的等边三角形，边在x轴上，
∴，，后面每一等边三角形都是在前一个等边三角形的基础上沿射线平移2个单位长度，
∴，，
∴，
∴后面每一等边三角形都是在前一个等边三角形的基础上向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度得到的图形；
∴点是在基础上平移2024次，每次向右移动1个单位长度，再向上移动个单位长度，
∴点的坐标是，
∴．
故答案为：．
【分析】
先过点B1作x轴的垂线段B1N，则由等腰三角形三线合一知ON=1，由直线上点的坐标特征知，即点、，则；同理可得：，从而可得坐标变化规律为．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024八上·平南期末） 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【解析】【分析】（1）先利用负整数指数幂、0指数幂和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
18．（2024八上·峡江期末）某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为10分，平均成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，
（1）分别求出甲、乙三项平均成绩，并指出会录用谁；
（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．
【答案】（1）解：由题意得，甲三项成绩平均数为：（9+5+9）÷3＝（分），
乙三项成绩平均数为：（8+9+5）÷3＝（分），
∵＞，
∴会录用甲.
（2）解：由题意得，甲三项成绩之加权平均数为：9×+5×+9×
＝3+2.5+1.5＝7（分），乙三项成绩之加权平均数为：8×+9×+5×＝+4.5+＝8（分），
∵7＜8，
∴会改变（1）的录用结果
【解析】【分析】（1）利用平均数的计算方法分析求出甲、乙的平均数，再比较大小即可；
（2）利用加权平均数的计算方法分别求出甲、乙的平均数，再比较大小即可.
19．（2025八上·桥西期末）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为．
（1）求原来正方形区域的边长；
（2）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断．
【答案】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为
（2）解：由（1）得这根铁丝长为，设长方形的长为，则宽为，其面积为，
所以，
即，
解得，
长方形的周长为，
，
∴，
∴铁丝够用．
【解析】【分析】（1）根据正方形的面积公式S=a2（其中S表示正方形面积，a表示正方形边长），已知正方形区域面积为400cm2，则原来正方形区域的边长为=20cm；
（2）判断铁丝是否够用，先求出铁丝长度（即正方形周长），再根据长方形长和宽的比例关系以及面积求出长和宽，进而得到长方形周长，最后通过比较长方形周长和铁丝长度的大小来判断铁丝是否够用。在比较大小时，将含有根式的长方形周长转化为平方的形式，与铁丝长度的平方进行比较，从而得出结论。
（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为，
（2）解：由（1）得这根铁丝长为，
设长方形的长为，则宽为，其面积为，
所以，
即，
解得，
长方形的周长为，
，
∴，
∴铁丝够用．
20．（2024八上·大竹期末）中国象棋是经典国粹，备受人们喜爱．如图是中国象棋棋盘的一半，棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走．例如：图中“马”所在的位置可以直接走到点A或点B处等．如对象棋棋盘建立恰当平面直角坐标系，可以便于研究和解决问题．
（1）如图，若“帅”所在点的坐标为，“马”所在的点的坐标为，则“相”所在点的坐标为 ；
（2）如图，若C点的坐标为，D点的坐标为，按“马”走的规则，图中“马”由所在的位置走一步可以直接到的点的坐标为 ．
【答案】（1）
（2），，
【解析】【解答】解：
(1) 依据“帅”所在点的坐标、“马”所在点的坐标，建立如下图所示的平面直角坐标系：
所以，“相”所在点的坐标为(5，1).
故答案为： (5，1)；
(2)依据C点、D点两点的坐标，建立同（1）中的平面直角坐标系：
依据题意，因为棋子“马”走的规则是沿“日”形的对角线走，所以棋子“马”可以直接走到的点坐标为(0，0)、（-1，1）、（-3，1）.
故答案为： (0，0)， (-1，1)， (-3，1).
【分析】(1)依据已知点的坐标，结合图示确定原点，画出满足题意的平面直角坐标系，从而确定所求点的坐标；
(2)平面直角坐标系的确定方法同（1）.读懂棋子“马”走的规则，先确定“马”可以直接走到的点，再写出对应的坐标.本题须注意题中仅明确“马”走的规则，但未明确走的方向，须分多种情况综合分析.
21．（2025八上·丽水期末）某中学为筹备校庆，准备印制一批纪念册该纪念册每册需要张大小一样的纸，其中张为彩页，张为黑白页印制该纪念册的总费用由制版费和印刷费两部分组成，制版费与印数无关，价格为：彩页元张，黑白页元张印刷费与印数的关系如下表．
印数千册
彩色元张
黑白元张
（1）印制这批纪念册需制版费多少元？
（2）求出关于的函数表达式．
（3）如果该校希望印数至少为千册，总费用最多为元，求印数的取值范围精确到千册
【答案】（1）解：制版费：元，
答：印制这批纪念册的制版费为元
（2）当时，；
当时，，
关于的函数表达式为
（3）当时，，
解得，
；
当时，，
解得，
，
印数的取值范围为或
【解析】【分析】（1）根据纪念册中彩面的数量和黑白面的数量及对应的单价，即可计算出制版费；
（2）按印数x的取值范围将函数分为两段，分别列出关于的函数表达式即可；
（3）因为印数至少为千册，所以应分当时和当时，两种情况分别求的取值范围．
22．（2024八上·南海期末）如图，是学生用两块三角板拼成的图形，其中，，三点在同一条直线上，，，三点在同一条直线上，，，，过点作平分交于点．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：，是的平分线，
，
，
；
（2）解：，，
，
由（1）知，
．
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义求出，再结合，即可证出；
（2）先利用三角形的内角和求出∠E的度数，再利用角的运算求出即可.
23．（2024八上·温州期末）如图，在中，，延长，至点，，过点，分别作，交于点，，已知．
（1）求证：．
（2）当，时，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴．
在△DFA和△CEB中，
，
∴△DFA≌△CEB（AAS）
∴
（2）解：∵，∴．
设，则
∵，∴．
∵，∴．
∴．
∵，
∴．
∴
【解析】【分析】(1)先由CE⊥AB，DF⊥AB得∠DFA=∠CEB=90°，再根据∠A=∠B，CE=DF可依据“AAS”判定△DFA和△CEB全等，进而根据全等三角形的性质可得出结论；
(2)先由(1)结论得BF=AE，再根据BF=EF=2得AE=EF=BF=2，进而得AB=AE+EF+BF=6，然后根据∠A=∠B得AO=BO，最后在Rt△AOB中，由勾股定理即可求出OB的长.
24．（2024八上·邛崃期末）如图，直线和直线相交于点A．
（1）求点A的坐标；
（2）在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，分别交直线和于点B、C，若，求p的值；
（3）在（2）的条件下，点M为y轴正半轴上任意一点，当是以为斜边的直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解：联立方程组得：，
解得：，
故点A的坐标为
（2）解：∵在y轴上有一动点，过点P作y轴的垂线，
∴点B、C的纵坐标是p，
令，解得，即，
令，解得，即，
又∵，即，
解得：或，
故p的值是4或；
（3）或或
【解析】【解答】解：（3）设BC的中点为Q，，
①当时，即为，即为，
∴的中点为，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，即，
解得：，
∴或，
②当时，即为，即为，
∴的中点为，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，即，
解得：或(舍去)，
∴
综上所述：或或．
【分析】
（1）联立方程组得，再求解即可；
（2） 依题意可知，点B、C的纵坐标是p，令，求出点B、C的坐标，根据列出方程求解即可；
（3）设BC的中点为Q，，根据p的值求出点B、C的坐标，继而求出点Q的坐标，再根据“是以为斜边的直角三角形”得出，利用两点间的距离公式列方程求解即可．
25．（2024八上·南关期末）如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，动点P从点C出发沿C﹣A﹣B以每秒2个单位的速度运动，到达点B时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）AC＝ ．
（2）时，AP的长为 ．点P在AB边上时，线段AP的长为 （用含t的代数式表示）．
（3）当点P在AB的中垂线上时，求t的值．
（4）如图②，当点P在AB上运动时，连结CP，作点A关于CP的对称点A'，连结A'C，A'P．当存在△A'PC的边与△ABC的边平行时，直接写出t的值．
【答案】（1）4
（2）3；2t﹣4
（3）解：如图，设的垂直平分线与交于点 ，
∵，
∴，
当点在上时，，
∴，
∴，
∴；
当点与点重合时，，
∴；
综上所述，的值为或；
（4）解：的值为或．
【解析】【解答】（1）解：在中，，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵点在边上，
∴，
∴，
故答案为：，
（4）解：如图，当 时，延长交于点，
∵点关于的对称点为，
∴，
又∵，，
∴，，
在中，，
∴，
解得或，
当时，，
∴不合，舍去；
如图，当 时，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴时，，；
综上所述，的值为或．
【分析】本题考查了勾股定理，三角函保存进入下一题数，线段的和差，平行线的判定和性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，利用分类讨论和数形结合思想进行解答是解题的关键．
（）利用勾股定理直接求AC得长即可；
（）根据，2t=AC+AP=4+AP，即可求解；
（）设的垂直平分线与交于点 ，分点在上和点与点重合两种情况解答；当点在上时，， 求出，则；当点与点重合时，.
（）分和两种情况画出图形解答.当 时，延长交于点， ，， 在中，，由勾股定理可求或（舍）；当 时，可推导出AC=PA，则4=2t-4，此时，.
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