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北师大版2025—2026学年九年级上册期末考点集训进阶卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·乐山期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·献县期末）已知点（-2，a），（2，b），（3，c）在函数的图象上，则下列关于a，b，c的大小关系判断中，正确的是（ ）
A．a
3．（2024九上·娄底期末）在三角形中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对称点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
4．（2024九上·永定期末）关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·永定期末）定义一种新运算“”，对于任意实数m，n，则有，如，若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
6．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长12cm，BC边上的高为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点、分别在、上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A．cm B．5cm C．6cm D．7cm
7．（2024九上·梅河口期末）在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，那么摸出黑球的概率约为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·榆树期末）如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
9．（2024九上·渠县期末）如图，矩形的对角线相交于点O，F是上的一点，连接，将沿翻折，点C恰好与点O重合，延长交于点E，连接．则下列结论：①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2024九上·双峰期末）如图，反比例函数的图像与矩形的边、分别相交于点D、E，连接、，直线与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是（ ）
①
②
③
④）若，，则．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·永定期末）已知线段的长度为2，点C为线段上的黄金分割点，则的长度为 ．
12．（2024九上·常德期末）若点、、都在反比例函数（K为常数）的图象上，则、、的大小关系为 ．
13．（2024九上·桦甸期末）如图，与位似，点O为位似中心，点C为OF的中点，则与的周长比为 .
14．（2024九上·贵阳期末）调查显示，某商场一款小型电器的销售量是售价的反比例函数，（调查获得的部分数据如下表）．
售价x（元/台） 200 250 400 500
销售量y（台） 40 32 20 16
已知该小型电器的进价为180元/台，要使该小型电器每天的销售利润达到3500元，其售价应定为 元．
15．（2024九上·平湖期末）有两辆车按A，B编号，小嘉和小兴两人可任意选坐一辆车，则两人同坐A号车的概率为 ．
16．（2023九上·靖江期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根、，且，则 .
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·南川期末）解下列方程；
（1）；
（2）．
18．（2024九上·拱墅期末）一个质地均匀的木质正四面体，四个面上分别刻有1到4的点数．
（1）投掷一次，求正面向上的点数是偶数的概率．
（2）投掷两次，求两次正面向上的点数之和是偶数的概率（用树状图或列表法）．
19．（2024九上·八步期末） 如图，是的两条高．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
20．（2024九上·禅城期末） 如图所示分别是两棵树及小丽在不同光源下的影子情形.
甲 乙
（1）两幅图中的投影属于中心投影的是图 ( 用“甲”或“乙”填空)；
（2）若阳光下小丽影子长为1.2m，大树影子长为7.2m，小丽身高1.6m，则大树高度是 m.
21．（2024九上·贵阳期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点F在AD上，AF＝AB，连接BF交AE于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BF＝8，AB＝5，求AE的长．
22．（2024九上·连山期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点A，B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）对于反比例函数，当时，写出x的取值范围；
（3）在第三象限的反比例函数图象上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2024九上·杭州期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图，图为示意图已知，小静的身高，于点，．
（1）如图，当点为中点时，分别求线段，的长．
（2）如图，当点不是中点时，设，求线段的长用含有的代数式表示
（3）由此，你觉得与存在怎样的数量关系？
24．（2024九上·衡东期末）定义：平面直角坐标系中有点， 若点满足且，则称点为中心点，点是点的 “界环绕点”．例如：对于中心点，满足且的点，都是点的“界环绕点”，这些环绕点组成的图形是一个边长为的正方形，中心点是正方形的中心．
（1）点的“界环绕点”所组成的图形面积为 ；
（2）直线经过点．
①在其图象上，点的“界环绕点”组成的线段长为，求b的值；
②直线与反比例函数图象的交点横坐标为，求的取值范围；
（3）关于的二次函数（是常数），将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，若与上都存在的“1界环绕点”，直接写出的取值范围．
25．（2023九上·东莞期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）直接写出 ； ；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集是_______；
（3）在y轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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北师大版2025—2026学年九年级上册期末考点集训进阶卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·乐山期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得设，，
∴．
故答案为：D
【分析】设，，进而代入计算约分即可求解。
2．（2024九上·献县期末）已知点（-2，a），（2，b），（3，c）在函数的图象上，则下列关于a，b，c的大小关系判断中，正确的是（ ）
A．a【答案】D
【解析】【解答】解：把点（﹣2，a）代入函数y可得，a＝-3；
把点（2，b）代入函数可得，b＝3；
把点（3，c）代入函数可得，c=2．
∵3＞2＞-3，
∴b＞c＞a．
故答案为：D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点，将点（-2，a），（2，b），（3，c）分别代入反比例函数算出a、b、c的值，再进行比较即可求解。
3．（2024九上·娄底期末）在三角形中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对称点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】【解答】∵点A的坐标为（-6，3），以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
∴点A'的坐标为（-2，1）或（2，-1），
故答案为：D.
【分析】分类讨论，再利用位似图形的性质及相似比求出点A'的坐标即可.
4．（2024九上·永定期末）关于x的函数和在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
当k>0时
函数的图象y随x的增大而增大，经过一，三，四象限
函数的图象经过一，三象限
当k<0时
函数的图象y随x的增大而减小，经过一，二，四象限
函数的图象经过二，四象限
故答案为：C
【分析】分情况讨论：当k>0时，当k<0时，结合一次函数和反比例函数的性质进行判断即可求出答案.
5．（2024九上·永定期末）定义一种新运算“”，对于任意实数m，n，则有，如，若（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
∵
∴方程有两个不相等的实数根
故答案为：C
【分析】根据新运算的到关于x的一元二次方程，根据判别式即可求出答案.
6．（2024九上·乌鲁木齐期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长12cm，BC边上的高为10cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点、分别在、上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A．cm B．5cm C．6cm D．7cm
【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形EFHG是正方形
∴EF∥BC
∴△AEF∽△ABC
∵AD⊥BC
∴
设正方形零件EFHG的边长为x，则AK=10-x
∴
解得：
故答案为：A
【分析】根据正方形性质可得EF∥BC，再根据相似三角形判定定理可得△AEF∽△ABC，则，设正方形零件EFHG的边长为x，则AK=10-x，代值计算即可求出答案.
7．（2024九上·梅河口期末）在一个不透明的袋子里装有除颜色外完全相同的若干个黑球和白球，小红摸出一个小球记录颜色后放回口袋，经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，那么摸出黑球的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】∵经过大量的摸球试验后发现摸到白球的频率稳定在0.2左右，
∴摸到白球的概率为0.2，
∴摸出黑球的概率为1-0.2=0.8=，
故答案为：A.
【分析】利用摸到白球的概率为0.2，再求出摸出黑球的概率为1-0.2=0.8，即可得到答案.
8．（2024九上·榆树期末）如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积＝4：9，
而四边形ABCD的面积等于4，
∴四边形A′B′C′D′的面积为9．
故答案为：D．
【分析】利用位似的性质得到AD：A′D′＝OA：OA′＝2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积．
9．（2024九上·渠县期末）如图，矩形的对角线相交于点O，F是上的一点，连接，将沿翻折，点C恰好与点O重合，延长交于点E，连接．则下列结论：①是等边三角形；②；③四边形是菱形；④，其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵矩形的对角线相交于点O，
∴，
∵将沿翻折，点C恰好与点O重合，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，故①正确；
∵是等边三角形，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴垂直平分，
∵，
∴四边形是菱形，故③正确；
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，故④正确；
综上，①②③④都是正确的，
故答案为：A
【分析】①由矩形的性质可得OB=OC，由折叠的性质可得，进而可得，即可判定①；②由是等边三角形，得出，再利用特殊三角函数值即可得到AB与BC的数量关系，从而判断②；③先证是等边三角形，再根据菱形的判定定理即可判断③，④先证，设，则，分别表示出和，即可判断④.
10．（2024九上·双峰期末）如图，反比例函数的图像与矩形的边、分别相交于点D、E，连接、，直线与x轴、y轴分别相交于点M、N，则下列结论正确的是（ ）
①
②
③
④）若，，则．
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：设，则，，
①∵点D、E在反比例函数的图像上，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，故①正确；
②∵，，
∴，故②正确；
③∵，，
∴，，
∴，，
∴，则，故③正确；
④由得
，
则，又，
∴（负值舍去），故④正确，
综上，正确的结论为①②③④，
故答案为：D．
【分析】求出点D、E的坐标，然后求出△OCE和△OAD的面积判断①；表示与判断②；然后证明，，根据对应边成比例判断③；利用得到方程，求出k值判断④解题即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·永定期末）已知线段的长度为2，点C为线段上的黄金分割点，则的长度为 ．
【答案】
【解析】【解答】∵C为线段上的黄金分割点，AB=2
∴
∴
故答案为：
【分析】根据黄金分割点的性质即可求出答案.
12．（2024九上·常德期末）若点、、都在反比例函数（K为常数）的图象上，则、、的大小关系为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
反比例函数（K为常数）的图象经过一、三象限，
当x>0时，y>0，且y随x的增大而减小，当x<0时，y<0，且y随x的增大而减小，
点、、都在反比例函数的图象上，
，即 .
故答案为： .
【分析】根据可知反比例函数图象在一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，结合反比例函数的性质即可判断、、的大小.
13．（2024九上·桦甸期末）如图，与位似，点O为位似中心，点C为OF的中点，则与的周长比为 .
【答案】1：2
【解析】【解答】解：∵与位似，点O为位似中心，点C为OF的中点，
∴与的周长比为1：2，
故答案为：1：2
【分析】根据位似变换结合中点的性质即可得到与的周长比。
14．（2024九上·贵阳期末）调查显示，某商场一款小型电器的销售量是售价的反比例函数，（调查获得的部分数据如下表）．
售价x（元/台） 200 250 400 500
销售量y（台） 40 32 20 16
已知该小型电器的进价为180元/台，要使该小型电器每天的销售利润达到3500元，其售价应定为 元．
【答案】320
【解析】【解答】解：设售价为x元，
由题意可得：，
解得：x=320，
经检验，x=320是原方程的解，
故答案为：320.
【分析】根据题意找出等量关系求出，再解方程求解即可。
15．（2024九上·平湖期末）有两辆车按A，B编号，小嘉和小兴两人可任意选坐一辆车，则两人同坐A号车的概率为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可列出表格如图：
所有的可能有4种，两人同坐A号车的概率为：．
故答案为：．
【分析】根据表格得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式解题即可．
16．（2023九上·靖江期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根、，且，则 .
【答案】-4
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=-(2m+1)，x1x2=m-2，然后根据x1+x2+x1x2=1可得关于m的方程，求解即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·南川期末）解下列方程；
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，，，
，
∴，
∴，
（2）解：移项得，，
因式分解得，，
∴，
∴或，
∴，．
【解析】【分析】（1）先利用根的判别式得到，由求根公式即可求解；
（2）根据移项、因式分解求解即可.
18．（2024九上·拱墅期末）一个质地均匀的木质正四面体，四个面上分别刻有1到4的点数．
（1）投掷一次，求正面向上的点数是偶数的概率．
（2）投掷两次，求两次正面向上的点数之和是偶数的概率（用树状图或列表法）．
【答案】（1）解：投掷一次，正面向上的点数由4种等可能的结果，其中是偶数的有2种情况，
∴P(正面向上的点数是偶数)
（2）解：列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次正面向上的点数之和是偶数的有8种情况，
∴P(两次正面向上的点数之和是偶数)
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）先列表表示出所有情况，再利用概率公式求解即可．
（1）解：投掷一次，正面向上的点数由4种等可能的结果，其中是偶数的有2种结果，
即正面向上的点数是偶数的概率．
（2）解：列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次正面向上的点数之和是偶数的有8种结果，
即两次正面向上的点数之和是偶数的概率．
19．（2024九上·八步期末） 如图，是的两条高．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明：是的两条高
，
又
，即.
（2）解：由（1）知，
又，
，
．
即：.
【解析】【分析】（1）先证出，再利用相似三角形的性质可得，再化简可得；
（2）先证出，再利用相似三角形的性质可得，从而得解.
20．（2024九上·禅城期末） 如图所示分别是两棵树及小丽在不同光源下的影子情形.
甲 乙
（1）两幅图中的投影属于中心投影的是图 ( 用“甲”或“乙”填空)；
（2）若阳光下小丽影子长为1.2m，大树影子长为7.2m，小丽身高1.6m，则大树高度是 m.
【答案】（1）乙
（2）9.6
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
两幅图中的投影属于中心投影的是图乙
故答案为：乙
（2）设大树的高度为x
∴，解得：x=9.6
故答案为：9.6
【分析】（1）根据中心投影的定义即可求出答案.
（2）根据平行投影的性质即可求出答案.
21．（2024九上·贵阳期末）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，点F在AD上，AF＝AB，连接BF交AE于点O，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BF＝8，AB＝5，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠DAE，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴EB＝AB，
∵AF＝AB，
∴EB＝AF，
∵EB∥AF，EG＝AF，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵EB＝AB，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：∵四边形ABEF是菱形，BF＝8，AB＝5，
∴AE⊥BF，OB＝OF＝BF＝×8＝4，OA＝OE，
∴∠AOB＝90°，
∴，
∴AE＝2OA＝2×3＝6，
∴AE的长为6．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 BC∥AD， 再根据角平分线求出 ∠BAE＝∠DAE， 最后根据菱形的判定方法证明求解即可；
（2）根据菱形的性质求出 AE⊥BF，OB＝OF＝BF＝×8＝4，OA＝OE， 再利用勾股定理计算求解即可。
22．（2024九上·连山期末）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点A，B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴交于点C，与x轴交于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）对于反比例函数，当时，写出x的取值范围；
（3）在第三象限的反比例函数图象上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：点A、B的横坐标分别为1、，点A、B在的图象上，
当时，；当时，，
，，
点A、B在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）或；
（3）解：存在，理由如下：
对于，当时，，当时，，
，，
设，
，
，
，
点在反比例函数的图象上，
，
．
【解析】【解答】解：（2）由题意可得：
反比例函数图象可得时，x的取值范围是或；
【分析】（1）将A，B横坐标代入反比例函数解析式可得，，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.
（2）当时，即为B点左侧图象和第一象限的图象，结合函数图象即可求出答案.
（3）根据坐标轴上点的坐标特征求出，，设，根据三角形面积建立方程，解方程可得n=-2，再将点P坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
23．（2024九上·杭州期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图，图为示意图已知，小静的身高，于点，．
（1）如图，当点为中点时，分别求线段，的长．
（2）如图，当点不是中点时，设，求线段的长用含有的代数式表示
（3）由此，你觉得与存在怎样的数量关系？
【答案】（1），点是中点，
，
由题可知，
，，
，，
解得，
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理可得
（3）；
证明：连接，
，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
【解析】【分析】(1)由平行线分线段成比例可知，，再代值求解即可；
(2)先由，得到DE=5a，DP=4a，进而知道BP=BD-DP=14.4-4a，再利用求解即可；
(3)由(1)(2)可知，所以证明即可，连接AC，证△EOF∽△COA，即可得解.
24．（2024九上·衡东期末）定义：平面直角坐标系中有点， 若点满足且，则称点为中心点，点是点的 “界环绕点”．例如：对于中心点，满足且的点，都是点的“界环绕点”，这些环绕点组成的图形是一个边长为的正方形，中心点是正方形的中心．
（1）点的“界环绕点”所组成的图形面积为 ；
（2）直线经过点．
①在其图象上，点的“界环绕点”组成的线段长为，求b的值；
②直线与反比例函数图象的交点横坐标为，求的取值范围；
（3）关于的二次函数（是常数），将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，若与上都存在的“1界环绕点”，直接写出的取值范围．
【答案】（1）4
（2）解：①设点的“界环绕点”为，
，，
①当直线与左边界相交时，与y轴交于点
∵，，
∴，
解得，，
∴直线不可能和下边界相交组成的线段长为．
②当直线与上边界相交时，
∵点，点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
综上b的值为或或．
②把代入得：，
∴，
∴，
令，即，
由题可得：，，
∴
∵，
∴当，即时，有最小值，最小值为；
∴．
（3）解：
【解析】【解答】解：（1）设点（0.0）的“界环绕点”为（a，b）
∴|0-a|≤1，|0-b|≤1
解得：
∴所组成的图形为边长为2的正方形
∴点的“界环绕点”所组成的图形面积为：2×2=4
故答案为：4
（3）设点的“界环绕点”为，
∴，，
∵x的二次函数(h是常数)，将它的图象M绕原点O逆时针旋转得曲线L，M与L上都存在的“界环绕点”为，
∴由图象可知：抛物线x的取值在之间时，M与L上都存在的“界环绕点”为，
∴当抛物线经过点时，h有最大值，
∵图象M绕原点O逆时针旋转得曲线L，
∴当抛物线经过点时，h有最小值，
∴．
【分析】（1）根据设点（0.0）的“界环绕点”为（a，b），根据“界环绕点”的定义可得，则所组成的图形为边长为2的正方形，再根据正方形面积即可求出答案；
（2）①设点的“界环绕点”为，可得，，分情况讨论：当直线与左边界相交时，与y轴交于点；当直线与上边界相交时，根据一次函数的性质，结合勾股定理即可求出答案；
②把代入得：，则，联立直线与反比例函数可得，根据根与系数的关系可得，，则，再根据二次函数的性质即可求出答案；
（3）设点的“界环绕点”为，则，，根据旋转性质，结合二次函数的t图象及性质即可求出答案.
25．（2023九上·东莞期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）直接写出 ； ；
（2）请结合图象直接写出不等式的解集是_______；
（3）在y轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3；1
（2）或；
（3）解：在y轴上存在一点P，使是等腰三角形；
理由如下：
∵，，
∴，
设点P坐标为，
①当时，得：，
解得：或，
此时点P坐标为或；
②当时，得：，此时无解；
③当时，得：，
解得：，
此时点P坐标为，
综上，点P的坐标为或或．
【解析】【解答】（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴，则，
∴反比例函数的表达式为，
∵点在反比例函数的图象上．
∴，
故答案为：3，1；
（2）解：∵，，
∴观察图象可知，不等式的解集为或，
故答案为：或；
【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式求出解析式，再求出点B的坐标即可；
（2）结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）设点P坐标为，分类讨论：①当时，②当时，③当时，再利用两点之间的距离公式列出方程求解即可.
（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴，则，
∴反比例函数的表达式为，
又∵点在反比例函数的图象上．
∴，
故答案为：3，1；
（2）解：∵，，
观察图象可知，不等式的解集为或，
故答案为：或；
（3）解：在y轴上存在一点P，使是等腰三角形；理由如下：
∵，，
∴，
设点P坐标为，
①当时，得：，
解得：或，
此时点P坐标为或；
②当时，得：，此时无解；
③当时，得：，
解得：，
此时点P坐标为，
综上，点P的坐标为或或．
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