第五章 圆 单元练习（含解析） 2025--2026年鲁教版（五四制）九年级数学下册

第五章圆的单元练习
一、单选题
1．如图，四边形内接于，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为6，M为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中M，C之间的距离为（　　）
A．3 B． C． D．
3．如图，窗户门高是，窗户打开的的最大角度是，则这扇窗的高扫过区域的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，边长为的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，与相切于点，的延长线交于点．，且交于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，的顶点A，B，C均在上，连接，．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知、、、在上，、交于外点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为（ ）
A．m B．6m C．m D．5m
9．如图，为弦，直径，垂足为点，则下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列命题中，①半圆是弧；②弦是圆上两点之间的部分；③等弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②④⑤
11．如图，在的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么点D与这条圆弧所在圆的位置关系是（ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．在圆内或圆上
12．如图，，与相切于点与交于点．若，则的长为（ ）
A．0.5 B．1 C． D．2
二、填空题
13．如图，的直径，弦于点，，则弦的长为 ．
14．如图，P是外一点，，分别和切于A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交，于D、E，若的周长为，则长为 ．
15．如图，是的两条切线，切点分别为．若的半径为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．
16．如图，圆锥的底面圆心为，顶点为，母线长为4，母线与高的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为 ．
17．如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，，则弧的长为 ．
18．如图，在中，若，的直径等于4，则的长为 ．
三、解答题
19．如图，以点为圆心，为直径作圆，在上取一点，连接，，延长至点，连接，使得，求证：是的切线．
20．如图，是的直径，是上的一点，直线经过点，过点作直线的垂线，垂足为点，交于点，且平分．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，
①求的直径；
②求阴影部分的面积．
21．如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求线段的长．
22．在中，，以为直径的交于点E，交于点D，P为延长线上一点，且是的切线，连接．
(1)求证： ；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．
23．如图是一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)求这个几何体侧面展开图的圆心角；
(3)求这个几何体的全面积．
24．如图，在的内接四边形中，是四边形的一个外角，且平分．
(1)求证：；
(2)若点在上，且，求的度数．
参考答案
1．D
【分析】本题考查圆的内接四边形，掌握知识点是解题的关键．
根据圆的内接四边形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查圆锥的展开图和相关计算，正确掌握圆锥的相关计算是解题的关键．
先根据圆锥的侧面展开图是扇形，再根据公式的计算求出圆心角，判断是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如下图，
设侧面展开图圆心角的度数为，
圆锥的母线长为6，底面直径长为6，
，
，即，
，即三角形是直角三角形，
M为的中点，
，
．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是识别出扫过的区域是扇形，再利用扇形面积公式计算．
【详解】解：扫过的区域是圆心角为、半径为的扇形，扇形面积公式为（其中为圆心角度数，为半径）．代入得：．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关性质定理是解题的关键．连接，，过点作，垂足为点，根据正多边形的性质和圆的性质证明是等边三角形， 得到、的长，然后利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为点，
六边形是正六边形，点是它的中心，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中， ，
即它的内切圆半径为 ，
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查切线的性质定理，等腰三角形的性质和判定；连接，根据切线的性质得到，得到为等边三角形，为等边三角形，即可求出．
【详解】解：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴
，
∴为等边三角形，
∴，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
由解得，结合，可计算出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选A．
7．A
【分析】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角性质，
先由圆周角定理求出，再根据三角形的外角性质计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解题的关键．
过点作于，根据已知条件求得勾股定理求得，由垂径定理可得，进而可得的长．
【详解】如图，过点作于，
则，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选C．
9．A
【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
【详解】A、 与不一定相等，符合题意；
B、 ∵直径，
∴，故不符合题意；
C、∵直径，
∴，故不符合题意；
∴，故D不符合题意，
故选：A．
10．C
【分析】本题考查圆的基本概念和命题的真假判断．
根据弧、弦、等弧等定义逐一分析各命题：①半圆是弧，正确；②弦是线段，不是圆上两点之间的部分，错误；③等弦所对的弧不一定相等，因为可能涉及优弧或劣弧，且未指定同圆或等圆，错误；④根据弧向圆心角的关系可知④正确；⑤是圆的定义，正确．因此正确命题为①和⑤．
【详解】解：半圆是圆上任意两点与直径端点围成的弧，①正确；
弦是连接圆上两点的线段，不是“部分”，②错误；
等弦所对的弧可能有优弧和劣弧之分，且未指定同圆或等圆，③错误；
因为能够重合的弧叫等弧，即只有在等圆或同圆中才存在等弧，所以等弧所对的弦相等，④正确；
在同一平面内，到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上，⑤正确；
正确的是①④⑤．
故选：C．
11．A
【分析】因为圆心到A，B，C三点距离相等，所以圆心在的垂直平分线上，根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，比较半径和的长度即可得出结论．
【详解】解：∵圆心到A，B，C三点距离相等，
∴圆心在的垂直平分线上，
故如图线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点．
即为圆心，
则，
，
∵，
，
点在这条圆弧所在圆的圆内．
故选：A．
【点睛】本题考查了垂直平分线，点和圆的位置关系，实数的比较大小，勾股定理，数形结合是解答此题的关键．
12．B
【分析】解题方法是利用切线长定理得，结合角度证为等边三角形，再通过切线垂直半径、勾股定理求线段长度；解题思路：由切线长定理得，证为等边三角形，结合求，再通过等腰三角形三线合一求，进而得．
【详解】解：∵是的切线，
∴，平分（切线长定理），
又∵，
∴是等边三角形，，
如图，连接，则，
∵，，
∴垂直平分，
∴，．
在中，．
在中，，
设，则，
由勾股定理：
解得
∴，
∴的长为．
故选：．
【点睛】本题考查圆的切线性质、等边三角形与直角三角形的应用，涉及知识点：切线长定理、切线与半径垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理，解题关键是构造直角三角形并利用特殊角的性质，易错点是忽略切线与半径的垂直关系．
13．8
【分析】本题主要考查了圆的性质、勾股定理．掌握圆的垂径定理是解题的关键．根据垂径定理知直径找垂直连半径，构造直角三角形，运用勾股定理解题即可．
【详解】解：如图，连接．
∵是的直径，，
∴，，．
∵，
∴．
在中，由勾股定理，得，
∴．
故答案为：8．
14．/10厘米
【分析】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理和正确计算是解题的关键．
先根据切线长定理，得到，，，再根据线段之间的关系即可求解．
【详解】解：，分别和切于A、B，
，
过 C作的切线分别交，于D、E，
，
的周长为，
，
，
，
则，
，即．
故答案为．
15．
【分析】本题考查了切线的性质，四边形的内角和，扇形的面积．先根据切线的性质得到，再利用四边形的内角和计算出，然后根据扇形的面积公式计算．
【详解】解：∵是的两条切线，切点分别为，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴图中阴影部分的面积．
故答案为：．
16．8
【分析】本题考查圆锥的计算，关键是掌握圆锥侧面展开图面积的计算公式．
圆锥侧面展开图的面积（是底面圆的半径，是圆锥的母线长），由此即可计算．
【详解】解：母线与高的夹角为，母线长为，
圆锥的底面圆的半径，
圆锥侧面展开图的面积．
故答案为：．
17．/
【分析】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理、弧长计算公式：连接，求出的度数，然后根据弧长公式即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵四边形是的内接四边形，，
，
故答案为：．
18．2
【分析】本题考查圆周角定理和直角三角形的性质，熟练运用圆周角定理是解题关键．
根据圆周角定理可得，结合是直径，故是含的直角三角形，从而．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
在直角中，，
∴．
故答案为：2．
19．见解析
【分析】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
连接，由圆的半径相等得，由等边对等角，直径对的圆周角是和两角互余，证得即可解答．
【详解】证明：如图，连接．
，．
又，
．
是的直径，
．
，
．
又是的半径，
是的切线．
20．(1)证明见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，扇形的面积等，正确作出辅助线是解题的关键．
（）连接，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，即得，得到，即可求证；
（）①连接，再利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可求解；②连接，可得是等边三角形，即得，得到，再根据解答即可求解；
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴直线是的切线；
（2）解：①如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∵平分，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴的直径是；
②如图，连接，
由（）知，，
∴四边形是直角梯形，
又由①可得，，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．(1)详见解析
(2)
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，切线的判定，圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．
（1）由直径所对的圆周角为直角得到为直角，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到与垂直，即可得证；
（2）利用勾股定理求出的长，进而求出，证明；得到，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵圆心O在上，
∴是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解： 在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
在中，，即，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴，
∴．
22．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，中位线定理，圆周角定理和扇形的面积公式，熟练掌握相关的性质和定理和扇形的计算是解题的关键．
（1）连接，根据等腰三角形的性质，可得，根据切线的性质和角之间的转化，即可证明；
（2）连接，，，根据等腰三角形的性质和中位线定理，可得，则，利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图1，连接，
是直径，
，即，
，
又，，
平分，
，
是的切线，
，即，
，
；
（2）解：如图2，连接，，，
，
，则是等边三角形，
是直径，
，即，
点D、E分别是，的中点，
是的中位线，
，
平分，
，
，
，
半径为5，
，
则图中阴影部分的面积．
23．(1)圆锥
(2)
(3)
【分析】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长、面积计算．
（1）由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥；
（2）由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为，再根据展开图扇形的弧长公式得到圆心角的度数；
（3）根据三视图知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为，再根据面积公式可得答案．
【详解】（1）解：由三视图可知，该几何体为圆锥；
（2）解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，高为，
∴母线为，
则展开图扇形的弧长为，
又弧长为，
，
解得
展开图扇形的圆心角度数为；
（3）解：由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、半径为2，母线长为6，
展开图扇形的面积为，
底面面积为，
圆锥的全面积为．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆内接四边形，等角对等边，圆周角定理，熟练运用相关性质是解题的关键．
（1）利用圆内接四边形的性质可得，再利用角平分线的定义和圆周角定理即可解答；
（2）利用圆内接四边形的性质可得，求出，根据角平分线定义即可求出结果．
【详解】（1）解：平分，
，
∵，
∴，
∴，
在的内接四边形中，，
，
，
∴，
；
（2）解：，四边形为圆内接四边形，
，
，
平分，
．