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华师大版2025—2026学年九年级上册期末模拟进阶训练卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·叙州期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚硬币一次，反面向上
B．任意三条线段可以组成一个三角形
C．一个不透明的袋子中有三个红球两个黑球，摸出一个白球
D．三角形的内角和为
2．（2024九上·桐乡市期末）如图，图形甲与图形乙位似，O是位似中心，已知，点A，B的对应点分别为点，．若，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
3．（2024九上·朝阳期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·武侯期末）如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，以DE为边作矩形DEFG，使FG经过点C，若AD＝2，则矩形DEFG的面积是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
5．（2024九上·防城期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·常德期末）若∠A为锐角，且sinA＝，则cosA的值是（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2024九上·贵州期末）一个盒中装有2个白球，2个黑球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，“两球同色”与“两球异色”的可能性分别记为，，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定的
8．（2024九上·红花岗期末）在中，，若，，那么下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023九上·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C（1，c），D（，d），E（e，1），P（m，n）均为上的点（点P不与点A，B重合），若m＜n＜m，则点P的位置为（ ）
A．在上 B．在上 C．在上 D．在上
10．（2023九上·宣化期末）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·长春期末）连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于 ．
12．（2024九上·哈尔滨期末）计算 的结果是 ．
13．（2024九上·越秀期末）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
14．（2023九上·嵊州期末）图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）.
15．（2023九上·江北期末）淘宝某商户为了解新商品主图是否吸引人，对该商品的点击量和展现量进行了监测，得到商品点击率如下表所示：（注：）
展现量 50 100 1000 5000 10000 50000 100000
点击量 4 7 78 385 760 3800 7600
点击率
根据上表，估计该商品展现量为30000时，点击率约为 .
16．（2024九上·巴彦期末）如图，在矩形中，，点O是对角线的交点，点E，F分别是上的点，，点G为的中点，连接，．则线段的长度为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·简阳期末）解方程
（1）；
（2）；
（3）．
18．（2024九上·北碚期末）在中，，点是的中点，是延长线上一点，且．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，点是的中点，求证：．
19．（2024九上·金沙期末）如图，在中，D，E分别是上的点，连接，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
20．（2024九上·钟山期末） 诗词从来不是曲高和寡的阳春白雪，而是无数中国人“日用而不知”的精神滋养之所在．某学校组织九年级学生参加“黔城读书月诗词大赛”区级选拔赛．为了解该年级学生参赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：
A：；B：；C：；D：，并绘制出如下统计图．
解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有多少人？请补全条形统计图；
（2）学校将从D组最优秀的4名学生甲、乙、丙、丁中随机选取2人参加下一轮比赛，利用画树状图或列表得方法，求刚好抽到甲和丁参赛的概率．
21．（2024九上·黔东南期末） 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙墙长围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场如图所示．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽；
（2）该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
22．（2024九上·禅城期末）某商场以每件40元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于65元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间满足一次函数y=-x+80的关系.
（1）当每件售价48元时，每天的利润是 元；
（2）销售这种商品，要想每天获利300元，每件商品的售价应为多少元
（3）销售这种商品，每天是否能获利500元 为什么
23．（2024九上·香坊期末）如图，某座山的主峰观景平台高450米，登山者需由山底处先步行300米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处.已知点，，，，，在同一平面内，，于，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）.
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若小明步行速度为，登山缆车的速度为，求小明从山底处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）.（参考数据：，，）
24．（2024九上·雅安期末）如图，，且，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．
（1）求证：；
（2）若F是BC的中点，，求BM的长；
（3）若，BD平分，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
25．（2024九上·双阳期末）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°， AC=8， sinB＝， 点D是斜边AB的中点，点E是边AC的中点，连接CD，点P为线段CD上一点，作点C关于直线EP对称点F，连结EF、PF，设DP长为x（x＞0）．
（1）AB的长为 ．
（2）求PF长度（用含x的代数式表示）．
（3）当点F落在直线CD上时，求x的值．
（4）当直线PF与△ABC的边BC或AC垂直时，直接写出x的值．
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华师大版2025—2026学年九年级上册期末模拟进阶训练卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024九上·叙州期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚硬币一次，反面向上
B．任意三条线段可以组成一个三角形
C．一个不透明的袋子中有三个红球两个黑球，摸出一个白球
D．三角形的内角和为
【答案】D
【解析】【解答】解：A、抛掷一枚硬币，可能正面向上，也有可能反面向上，故选项是随机事件，不符合题意；
B、满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的三条线段可以组成一个三角形，故选项是随机事件，不符合题意；
C、一个不透明的袋子中有三个红球两个黑球，不可能摸出一个白球，故选项是不可能事件，不符合题意；
D、任何一个三角形的内角和都为，故选项是必然事件，符合题意；
故答案为：D．
【分析】事件分为必然事件、随机事件与不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据三类事件的含义进行判断即可．
2．（2024九上·桐乡市期末）如图，图形甲与图形乙位似，O是位似中心，已知，点A，B的对应点分别为点，．若，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
【答案】B
【解析】【解答】解：∵图形甲与图形乙位似，O是位似中心，且，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质，对应边互相成比例，据此得到：进而即可求解.
3．（2024九上·朝阳期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、∵不是同类二次根式，∴A不正确，不符合题意；
B、∵，∴B不正确，不符合题意；
C、∵，∴C正确，符合题意；
D、∵，∴D不正确，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用二次根式的加减法和二次根式的乘除法逐项分析判断即可.
4．（2024九上·武侯期末）如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，以DE为边作矩形DEFG，使FG经过点C，若AD＝2，则矩形DEFG的面积是（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠A=90°，AD=CD=2，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠G=∠GDE=90°，
∴∠A=∠G，∠GDE-∠CDE=∠ADC-∠CDE，即∠ADE=∠CDG，
∴△ADE∽△GDC，
∴即
∴DE=，
∴矩形DEFG的面积为DE·DG=·DG=4，
故答案为：B.
【分析】证明△ADE∽△GDC，可得即得DE=，根据矩形DEFG的面积为DE·DG即可求解.
5．（2024九上·防城期末）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
第一轮传染后患流感的人数是：1+x，
第二轮传染后患流感的人数是：1+x+x（1+x），
∵经过两轮传染后共有121人患了流感，
∴1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121.
故答案为：A．
【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，从而得出出第二轮传染后患流感的人数，由经过两轮传染后共有121人患了流感，列出方程即可．
6．（2024九上·常德期末）若∠A为锐角，且sinA＝，则cosA的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】因为，sinA＝，
所以，∠A=60°
所以，cosA=cos60°=
故答案为：D
【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。
7．（2024九上·贵州期末）一个盒中装有2个白球，2个黑球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，“两球同色”与“两球异色”的可能性分别记为，，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定的
【答案】B
【解析】【解答】解：∵盒中装有2个白球，2个黑球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球，
画树状图如下：
，
由图可知，共有种情况，
其中，“两球同色”共有4种情况，其可能性，即，
“两球异色”共有8种情况，其可能性，即，
∵，
，
故答案为：B．
【分析】画树状图得到所有等可能的结果，然后得到符合条件的结果数，再利用概率公式得到，的值比较解题．
8．（2024九上·红花岗期末）在中，，若，，那么下列等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，，，，
∴选项正确，选项错误，
故答案为：．
【分析】先根据勾股定理得到长，再计算角的三角函数值逐项判断解题．
9．（2023九上·越城期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，与x轴，y轴的正半轴分别交于点A，B，点C（1，c），D（，d），E（e，1），P（m，n）均为上的点（点P不与点A，B重合），若m＜n＜m，则点P的位置为（ ）
A．在上 B．在上 C．在上 D．在上
【答案】B
【解析】【解答】解：点C、D、E、P都在上，
由勾股定理得：，，，
解得，，，
故，D（，），E（，1），
P（m，n），m＜n＜m，且m在上，点C的横坐标满足，点D纵坐标满足，
从点D到点C的弧上的点满足：，
故点P在上.
故答案为：B
【分析】利用勾股定理求出c、d、e的值，即得点C、D、E的坐标，从而得出点C的横坐标满足，点D纵坐标满足，结合题意可得从点D到点C的弧上的点满足，据此即可判断.
10．（2023九上·宣化期末）对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为 （ ）
A． B． C． D． 或-1
【答案】D
【解析】【解答】解：当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： ，即 ，
解得：
经检验 是分式方程的解；
当 ，即 时，所求方程变形为 ，
去分母得： 代入公式得： ，
解得： （舍去），
经检验 是分式方程的解，
综上，所求方程的解为 或-1．
故答案为：D.
【分析】分 和 两种情况将所求方程变形，求出解即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024九上·长春期末）连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于 ．
【答案】
【解析】【解答】如图所示：
∵点D、E分别为AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=BE，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
故答案为：.
【分析】先利用三角形中位线的性质可得DE//BC，DE=BE，再证出△ADE∽△ABC，最后利用相似三角形的性质可得，从而得解.
12．（2024九上·哈尔滨期末）计算 的结果是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：原式=
= ．
【分析】先利用二次根式的性质化简，再利用二次根式的加减计算即可。
13．（2024九上·越秀期末）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-4x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（-4）2-4×k×1＞0，
解得k＜4且k≠0．
∴k的取值范围为k＜2且k≠0．
故答案为：k＜2且k≠0．
【分析】根据一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可。
14．（2023九上·嵊州期末）图中的两个三角形是否相似， （填“是”或“否”）.
【答案】是
【解析】【解答】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为，
根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似，
故答案为：是
【分析】根据内角和定理求出第一个三角形另一个内角的度数，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似进行判断.
15．（2023九上·江北期末）淘宝某商户为了解新商品主图是否吸引人，对该商品的点击量和展现量进行了监测，得到商品点击率如下表所示：（注：）
展现量 50 100 1000 5000 10000 50000 100000
点击量 4 7 78 385 760 3800 7600
点击率
根据上表，估计该商品展现量为30000时，点击率约为 .
【答案】7.6%
【解析】【解答】解：根据表中信息，当该商品展现量足够大时，点击率逐渐接近于7.6%.
根据频率的稳定性可知，当该商品展现量为30000时，点击率约为7.6%.
故答案为：7.6%.
【分析】根据表中信息，当该商品展现量足够大时，点击率逐渐接近于7.6%，据此解答.
16．（2024九上·巴彦期末）如图，在矩形中，，点O是对角线的交点，点E，F分别是上的点，，点G为的中点，连接，．则线段的长度为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC，
∵∠AEO-∠EOG=2∠EFB，即∠1-∠2=2∠3，
而∠1+∠4=∠B+∠3=90°+∠3，
∴∠2+2∠3+∠4=90°+∠3，即∠2+∠4=90°-∠3，
∵∠5=∠2+∠4，∠6=90°-∠3，
∴∠5=∠6，
取BC的中点P，连接EP，取EP的中点Q，
由题意可得点O是AC的中点，
∴OP是△ABC的中位线，
∴OP∥AB，OP=AB=5，
∴∠OPE=∠BEP，
∵∠OQP=∠BEP，
∴OQ=OP=5，
∵OG=5，
∴点G与点Q重合，则点P与点F重合，延长FO交AD于H，连接EH，
∵AD∥BC，O是AC的中点，
∴△AHO∽△CFO，
∴，
∴点O是FH的中点，
∵点G是Fh的中点，
∴OG是△FEH的中位线，
∴EH=2OG=10，
∵AE=6，
∴BE=4，
∴CF=BF=AH=，
∴EF=.
故答案为：.
【分析】如图，由角的构成易得∠5=∠6，取BC的中点P，连接EP，取EP的中点Q，结合已知可证点G与点Q重合，则点P与点F重合，延长FO交AD于H，连接EH，证明OG是△FEH的中位线，然后由三角形的中位线定理和勾股定理可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2024九上·简阳期末）解方程
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：，
（2）解：，
（3）解：，
【解析】【解答】(1)、；
解：x（2x+3）=0，
x=0或2x+3=0，
解得 ：， ；
(2)、；
解：（x-5）（x+1）=0
x-5=0或x+1=0，
解得：，；
（3）、．
a=3，b=-6，c=-1，
解得：， ，
【分析】（1）根据因式分解求解方程即可；
（2）根据因式分解求解方程即可；
（3）先判断再利用求根公式求解方程即可.
18．（2024九上·北碚期末）在中，，点是的中点，是延长线上一点，且．
（1）如图1，若，求的长；
（2）如图2，点是的中点，求证：．
【答案】（1）解：取的中点M，连接，
∵点是的中点，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：延长到点N，使得，则，
连接，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴．
【解析】【分析】本题考查勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形的特征量，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．
（1）取的中点M，连接，利用三角形中位线定理可求出DM和AM，再利用勾股定理可求出DE；
（2）延长到点N，使得，则，连接，，利用中点的定义和已知条件可证明，利用全等三角形的性质结合已知条件可推出 ，进而证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证明结论．
19．（2024九上·金沙期末）如图，在中，D，E分别是上的点，连接，且．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
而，，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似可直接得出结论；
（2）根据相似三角形的性质，可得出对应边成比例，即， 即可求得BC的长度。
20．（2024九上·钟山期末） 诗词从来不是曲高和寡的阳春白雪，而是无数中国人“日用而不知”的精神滋养之所在．某学校组织九年级学生参加“黔城读书月诗词大赛”区级选拔赛．为了解该年级学生参赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：
A：；B：；C：；D：，并绘制出如下统计图．
解答下列问题：
（1）本次调查的学生共有多少人？请补全条形统计图；
（2）学校将从D组最优秀的4名学生甲、乙、丙、丁中随机选取2人参加下一轮比赛，利用画树状图或列表得方法，求刚好抽到甲和丁参赛的概率．
【答案】（1）解：共有54人
补全条形统计图：
（2）解：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲 ，乙） （甲 ，丙） （甲 ， 丁）
乙 （乙 ， 甲） （乙 ，丙） （乙 ， 丁）
丙 （丙 ， 甲） （丙 ，乙） （丙 ， 丁）
丁 （丁 ， 甲） （丁 ，乙） （丁 ，丙）
共有12种等可能的结果，其中满足条件的有2种结果
∴
【解析】【解答】（1）本次调查的学生共有（人），A组的人数为：54-6-20-24=4(人)，补全条形统计图如下：
【分析】（1）根据扇形统计图D组所占的百分比以及D组的人数求得总人数，进而求得A组的人数，从而求解；
（2）列出表格可得到共有12种等可能的结果，其中满足条件的有2种结果，利用概率公式代入数据进行计算即可求解.
21．（2024九上·黔东南期末） 某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙墙长围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场如图所示．
（1）若要建的矩形养鸡场面积为，求鸡场的长和宽；
（2）该扶贫单位想要建一个的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）解：设，则，
依题意，得：，
解得：，．
当时，，符合题意，
当时，，，不合题意，舍去．
答：鸡场的长为，宽为．
（2）解：不能，理由如下：
设，则，
依题意，得：，
整理，得：．
，
该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个的矩形养鸡场．
【解析】【分析】（1）典型的应用一元二次方程解决几何问题，设出未知量，根据给出的面积列出等量关系式，求解即可；（2）同理，根据给出的面积列出等量关系式，求解过程中发现判别式小于0即在实数范围内无解，故可得出结论“无法实现”。
22．（2024九上·禅城期末）某商场以每件40元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于65元，经市场调查发现：该商品每天的销售量y (件)与每件售价x (元)之间满足一次函数y=-x+80的关系.
（1）当每件售价48元时，每天的利润是 元；
（2）销售这种商品，要想每天获利300元，每件商品的售价应为多少元
（3）销售这种商品，每天是否能获利500元 为什么
【答案】（1）256
（2）解：设每件商品售价应为x元.
根据题意得： (x-40) (-x+80)=300，整理得：x2-120x+3500=0，
解得：x1=50，x2=70(舍)
答：每件商品的售价应定为50元；
（3）不能，理由如下：
设每件商品售价应为x元，根据题意得： (x-40) (-x+80)=500
整理得：x2-120x+3700=0，
△=(-120)2-4×1×3700=-400<0，
∴该方程没有实数根，
∴销售这种商品，每天不能获利500元.
【解析】【解答】解：（1）将x=48代入一次函数y=-x+80
可得：y=32
∴利润为：(48-40)×32=256元
故答案为：256
【分析】（1）将x=48代入一次函数y=-x+80可得销售量，再根据总利润=单件利润×总销售量即可求出答案.
（2）设每件商品售价应为x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设每件商品售价应为x元，根据题意建立方程，根据判别式可得方程无实数根.
23．（2024九上·香坊期末）如图，某座山的主峰观景平台高450米，登山者需由山底处先步行300米到达处，再由处乘坐登山缆车到达观景平台处.已知点，，，，，在同一平面内，，于，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）.
（1）求登山缆车上升的高度；
（2）若小明步行速度为，登山缆车的速度为，求小明从山底处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）.（参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图，过点作于，
∴
∵，∴，∵，
∴四边形是矩形，
在中，，，，
∴，
∵
∴
答：登山缆车上升的高度；
（2）解：在中，，，，
∴从山底处到达山顶处大约需要：
答：从山底处到达山顶处大约需要
【解析】【分析】本题主要考查矩形的判定及性质、含30°直角三角形的性质、正弦三角函数的运用.
（1）过点作于，根据题意可证得四边形是矩形，在中，，，，可得，进而即可求解；
（2）根据正弦函数的定义可得：在中，，，，，再根据路程时间速度三者的关系即可求出答案.
24．（2024九上·雅安期末）如图，，且，E是AB的中点，F是边BC上的动点（F不与B，C重合），EF与BD相交于点M．
（1）求证：；
（2）若F是BC的中点，，求BM的长；
（3）若，BD平分，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵，点是的中点，∴，
又∵，
∴四边形的平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵F是BC的中点，∴，
∴，∴，
∵，∴；
（3）解：存在，∵，∴，
∵BD平分，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，∴，
∴，∴．
【解析】【分析】
（1）先证明四边形BCDE为平行四边形，从而得到DE∥BC，根据平行线的性质可得∠EDB=∠FBM，据此证明；
（2）根据（）中三角形相似的性质求解即可；
（3）存在，先证明得∠BPF=∠PCD，再证是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可。
25．（2024九上·双阳期末）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°， AC=8， sinB＝， 点D是斜边AB的中点，点E是边AC的中点，连接CD，点P为线段CD上一点，作点C关于直线EP对称点F，连结EF、PF，设DP长为x（x＞0）．
（1）AB的长为 ．
（2）求PF长度（用含x的代数式表示）．
（3）当点F落在直线CD上时，求x的值．
（4）当直线PF与△ABC的边BC或AC垂直时，直接写出x的值．
【答案】（1）10
（2）解：∵点D是斜边AB的中点，AB＝10，
∴CD＝AB＝5，
∵DP长为x，
∴CP＝5﹣x，
∵作点C关于直线EP对称点F，
∴PF＝PC＝5﹣x；
（3）解：如图，当点F落在直线上时，
∵点E是边的中点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∴，
由轴对称的性质可得，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
解得；
（4）解： x＝1或3
【解析】【解答】解：(1)∵在中，，， ，
∴，
故答案为：；
(4)当时，延长交于点G，
在中，，
∴，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵在中， ，
∴，
解得；
当时，延长交于点M，则 ，
∴，
∴，
∴中，
∴
∵在中，
∴，
∴，
∴ ，
在中， ，
∴，
解得．
综上所述，x的值为1或3．
【分析】（1）在中，利用正弦的定义式求解即可；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，进而得到，再由轴对称的性质可得；
（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由等边对等角得，于是有；由轴对称的性质可得，在可得方程，解得；
（4）分两种情况：当时，延长交于点G，利用勾股定理求得，则，利用轴对称的性质可得，，则，表示出则，在可得方程，解得；当时，延长交于点M，利用 得出，在 得到，在中，得到，，进而得到 ，在中建立方程，解得，据此可得答案．
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