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苏科版2025—2026学年八年级上册期末复习练透考点卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·龙岗期末）已知一次函数，随着的增大而减小，则在平面直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·渭源期末）如图：若，且，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
3．（2024八上·雨湖期末）若a，b是两个连续自然数，且满足，则ab的算术平方根为（ ）
A． B． C．20 D．
4．（2024八上·河北期末）等腰三角形的两边长分别是，，则第三边长为（ ）
A． B． C．或 D．或
5．（2024八上·播州期末）如图，、、，是六边形的四个外角，延长交于点若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·余姚期末）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx+b与y＝bx+k互为交换函数，例如：y＝2x+3的交换函数为y＝3x+2．一次函数y＝kx+5与它的交换函数图象的交点横坐标为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
7．（2023八上·新兴期末）如图，是和的平分线，，添加下列一个条件后，依然不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八上·长春净月高新技术产业开发期末）如图，在数轴上，点表示实数3，垂直数轴于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·高邑期末）如图：点在上，、均是等边三角形，、分别与、交于点，，则下列结论，，为等边三角形，正确的有个．（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．（2024八上·福田期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t＝或．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·潼南期末）如图，在中，AD是BC边上的高，CE平分，交AD于点，，，则的面积等于 ．
12．（2024八上·化州期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定的值为 ．
13．（2024八上·潮州期末）如图，在中，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，；作直线交于点，连接若，，，则 ．
14．（2024八上·防城期末）如图，边长为的正三角形向右平移，得到正三角形，此时阴影部分的周长为 .
15．（2024八上·武威期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，请你在坐标系内找一点（不与点重合），使，，则点的坐标是 ．
16．（2024八上·武威期末）如图，点为内部一点，使得，，，，则的度数为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八上·滨江期末）如图，在中，边，的垂直平分线，分别交于点D，E．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
18．（2025八上·祁东期末）已知，．
（1）求的值．
（2）求的值．
19．（2024八上·鄞州期末）在平面直角坐标系中，为原点，点，，．若将点向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点．
（1）点D的坐标为______；
（2）若点是轴上一动点，若的面积等于的面积，请求出点的坐标；
（3）若点为轴上一动点，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
20．（2025八上·义乌期末）如表是小航同学的错题，请你帮助她完成错题整理：
错题：如图，在中，已知，，，求的面积．分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积．正解：解：过点作交的延长线于点，则，设，则，……
（1）根据勾股定理可得， 或 ．(用含的代数式表示)
（2）请你补全上面的过程，并求出的面积．
21．（2025八上·上虞期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
（1）求该一次函数的表达式．
（2）若点在该函数图象上，求点的坐标．
（3）当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值．求的取值范围．
22．（2024八上·黔西南期末）中华人民共和国五星红旗上大五角星代表中国共产党，四颗小五角星代表工人、农民、小资产阶级和民族资产阶级四个阶级．五颗五角星互相连缀、疏密相间，象征中国人民大团结．每颗小星各有一个尖角正对大星中心点，表示人民对党的向心之意，如图①：根据图形填空：
（1） ， ；
（2） ；
（3）【应用】
如图②．求的度数．
23．（2025八上·上城期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点，则点是点的“关联点”．
（1）若点，则点的坐标为______；
（2）若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______．
（3）若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标．
24．（2024八上·鹿寨期末）在中，，是上一点，且．
（1）如图，延长至，使，连接求证：；
（2）如图，在边上取一点，使，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，为延长线上一点，连接，，若，猜想与的数量关系并证明．
25．（2024八上·拱墅期末）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离（km）与小王的行驶时间（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题．
（1）求的函数表达式；
（2）求CD的函数表达式；
（3）求点的坐标；
（4）设小王和妈妈两人之间的距离为S（km），当时，求的取值范围．
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苏科版2025—2026学年八年级上册期末复习练透考点卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024八上·龙岗期末）已知一次函数，随着的增大而减小，则在平面直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，随着的增大而减小，
∴，
∵，
∴，，函数图象经过第一，二，四象限；
故选：C．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
2．（2024八上·渭源期末）如图：若，且，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，AB=5，
∴AC=AB=5，
∵AE=2，
∴EC=AC﹣AE=5﹣2=3，
故选：C．
【分析】根据全等三角形的对应边相等得出AC=AB=5，即可求解.
3．（2024八上·雨湖期末）若a，b是两个连续自然数，且满足，则ab的算术平方根为（ ）
A． B． C．20 D．
【答案】D
【解析】【解答】∵，
∴a=4，b=5，
∴ab=4×5=20，
∴ab的算术平方根为，
故答案为：D.
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出a、b的值，再利用算术平方根的计算方法求解即可.
4．（2024八上·河北期末）等腰三角形的两边长分别是，，则第三边长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】【解答】解：①当腰长为4时，三角形的三边分别为4、4、2，满足三角形三边关系能组成三角形，故第三边为4；
②当腰长为2时时，三角形的三边分别为2、2、4，因为2+2=4不满足三角形三边关系，不能组成三角形；
综上所述，第三边为4.
故答案为：B.
【分析】 分为腰长是4与2两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可。
5．（2024八上·播州期末）如图，、、，是六边形的四个外角，延长交于点若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和恒为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠HAB+∠ABH=360°，
∵，
∴∠HAB+∠ABH=360°-()=360°-224°=136° ，
∵∠AHB+∠HAB+∠ABH=180°，
∴∠AHB=44°.
故答案为：C.
【分析】先利用多边形的外角和求出∠HAB+∠ABH的度数，再利用三角形的内角和定理得结论.
6．（2024八上·余姚期末）我们规定：当k，b为常数，k≠0，b≠0，k≠b时，一次函数y＝kx+b与y＝bx+k互为交换函数，例如：y＝2x+3的交换函数为y＝3x+2．一次函数y＝kx+5与它的交换函数图象的交点横坐标为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得：一次函数的交换函数为，且，
∵ 两函数有交点，
∴，即，
∵，解得，
∴ 一次函数与它的交换函数图象的交点横坐标为1.
故答案为：A.
【分析】根据题意先写出交换函数的解析式，再列出等式，求出x的值即可.
7．（2023八上·新兴期末）如图，是和的平分线，，添加下列一个条件后，依然不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得，，即
A、添加条件，结合条件，，可以利用，证明，故选项A不符合题意；
B、添加条件，结合条件，，可以利用，证明，故选项B不符合题意；
C、添加条件，结合条件，，不能证明，故选项C符合题意；
D、添加条件，结合条件，，可以利用，证明，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据全等三角形的判定定理，有，逐项分析即可.
8．（2024八上·长春净月高新技术产业开发期末）如图，在数轴上，点表示实数3，垂直数轴于点，连接，以为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵数轴上点A对应的数为3，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵原点O为圆心，以为半径画弧，交数轴于点C，
∴，
∴点C表示的数为．
故答案为：C．
【分析】先利用勾股定理计算的长，再利用可得点C表示的数．
9．（2024八上·高邑期末）如图：点在上，、均是等边三角形，、分别与、交于点，，则下列结论，，为等边三角形，正确的有个．（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【解析】【解答】解：∵、均是等边三角形
∴CA=CD，∠ACD=60°，CE=CB，∠BCE=60°
∴∠DCE=60°，∠ACE=∠BCD=120°
在△ACE和△DCB中
∴△ACE≌△DCB（SAS）
∴AE=DB，∠CAE=∠CDB，则①正确
在△ACM和△DCN中
∴△ACM≌△DCN（ASA）
∴CM=CN，∠MCN=60°，则②正确
∴△CMN为等边三角形，则③正确
∴∠CMN=60°
∴∠CMN=∠MCA
∴MN∥BC，则④正确
故答案为：D
【分析】根据等边三角形性质可得CA=CD，∠ACD=60°，CE=CB，∠BCE=60°，再根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△DCB（SAS），△ACM≌△DCN（ASA），再根据其性质可判断①，②正确，再根据等边三角形判定定理可得③正确，再根据等边三角形性质可判断④正确.
10．（2024八上·福田期末）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t＝或．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：由图象可知A，B两城相距300千米，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把(5，300)代入得，5k=300，
解得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt +n，
把(1，0)，(4，300)代入得，
，
解得
∴y乙=100t-100，
令y甲=y乙，得60t=100t-100，
解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，此时乙出发时间为1.5小时，
即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③正确；
令|y甲-y乙|=50，
得60t-100t+100=50，即|100-40t|=50，
∴100-40t=50或100-40t=-50，
解得或
当60t=50时，，
此时y甲=50，乙还没有出发，
当60t=250时，，
此时y甲=250，乙已到达B城，
即当或或或两车相距50千米，
∴④错误，
综上，①②③正确，共三个.
故答案为：C.
【分析】 由图象可知A，B两城相距300千米，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确；设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，把(5，300)代入可求出t的值，从而得到y甲=60t，设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt +n，把(1， 0)，(4，300)代入，可得关于字母m、n的方程组，求解可得m、n的值，从而得到y乙=100t-100，联立所求的两函数解析式求解可得交点坐标，即可判断③；分乙车出发前两车相距50千米，两车行驶中两车相距50千米及乙车到达B城后两车相距50千米，三种情况考虑可判断④，综上即可得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．（2024八上·潼南期末）如图，在中，AD是BC边上的高，CE平分，交AD于点，，，则的面积等于 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：作交AC于点，
平分，，，
，
．
故答案为：6．
【分析】作交AC于点，根据角平分线的性质求得，然后代入三角形面积公式，计算求解即可．
12．（2024八上·化州期末）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定的值为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：4.
【分析】先利用估算无理数大小的方法求出，再参照题干中的定义及计算方法分析求解即可.
13．（2024八上·潮州期末）如图，在中，按以下步骤作图：分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，；作直线交于点，连接若，，，则 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：由题意得，根据作图可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，
则DB=DC=4，△BCD为等腰三角形，∠DCB=∠B，
又∵，
∴∠DCB=∠B=30°，
则∠CDA=∠DCB+∠B=60°，
又∵，
∴∠A=180°-90°-30°=60°，
即∠CDA=∠A，
∴△ADC为等腰三角形，
则AC=BD=4。
【分析】由作图过程可知：直线MN为线段BC的垂直平分线，由此结合题目所给条件，先求出DC的长为4、△BCD为等腰三角形，且底角∠DCB=∠B=30°，再利用三角形外角性质，即可求出∠CDA=60°，继而证明△ADC为等边三角形，即可求出AC的长。
14．（2024八上·防城期末）如图，边长为的正三角形向右平移，得到正三角形，此时阴影部分的周长为 .
【答案】12
【解析】【解答】解：∵为边长为的等边三角形，
∴，，
∵等边向右平移得到，
∴，，
∴，，
∴阴影部分为边长为等边三角形，
∴阴影部分的周长为，
故答案为：.
【分析】根据等边三角形和平移的性质，可求出，，利用三角形的判定定理得出阴影部分为边长是的等边三角形，进而由周长的公式直接计算即可.
15．（2024八上·武威期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，请你在坐标系内找一点（不与点重合），使，，则点的坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：，，，
轴，
作点关于的对称点，如图所示：
则，，
，
点的坐标是，
故答案为：
【分析】先根据点A和点C的坐标得到轴，作点关于的对称点，则，，根据BP的长即可得到点P的坐标。
16．（2024八上·武威期末）如图，点为内部一点，使得，，，，则的度数为 ．
【答案】142
【解析】【解答】解：延长到，使，连接，交于点，如图所示，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
是的平分线，
，，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】延长到，使，连接，交于点，先求出，进而可依据“”判定，得到，，，进而得，可得是等边三角形，从而得，再根据等边三角形的性质得是线段的垂直平分线，得到，进而得，即得，据此可得的度数．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2025八上·滨江期末）如图，在中，边，的垂直平分线，分别交于点D，E．
（1）若，求的周长．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：∵，分别垂直平分，，
∴，，
∴的周长．
（2）解：由（1）可知，，
∴，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，，然后求出周长即可；
（2）利用等边对等角可得，，然后根据三角形的内角和定理解题．
（1）∵，分别垂直平分，，
∴，，
∴的周长．
（2）由（1）可知，，
∴，，
∴，
∴．
18．（2025八上·祁东期末）已知，．
（1）求的值．
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）完全平方公式的恒等变形，即；
（2）完全平方公式的恒等变形，即，再求平方根即可．
（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴．
19．（2024八上·鄞州期末）在平面直角坐标系中，为原点，点，，．若将点向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点．
（1）点D的坐标为______；
（2）若点是轴上一动点，若的面积等于的面积，请求出点的坐标；
（3）若点为轴上一动点，若为等腰三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：设点，
的面积为，
的面积为，
的面积等于的面积，
，
解得或，
的坐标为或。
（3）解：为等腰三角形，当为底时，点在的垂直平分线上，如图：
，
设，，
在中，，
解得，
的坐标为，；
当为腰时，如图，
若，此时的坐标为，
若，此时，的坐标为，
若，此时的坐标为，
综上所述，若为等腰三角形，点的坐标为，或或或．
【解析】【解答】（1）解：，将点向右平移10个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点．
的坐标为，即的坐标为：；
故答案为：（1）。
【分析】（1）题根据坐标的平移规律列式即可解答；
（2）题可以先假设点，然后求出的面积，最后列方程用a表示出的面积，解方程即可解答；
（3）题分为腰和底两种情况，利用等腰三角形的性质分别列式计算，即可求出点的坐标．
20．（2025八上·义乌期末）如表是小航同学的错题，请你帮助她完成错题整理：
错题：如图，在中，已知，，，求的面积．分析：作辅助线，构造直角三角形，设未知数并列方程，求解，最后求出面积．正解：解：过点作交的延长线于点，则，设，则，……
（1）根据勾股定理可得， 或 ．(用含的代数式表示)
（2）请你补全上面的过程，并求出的面积．
【答案】（1）；
（2）解：在中，，，
∴；
在中，，，
∴
∴，
解得：，
∴，
∴.
【解析】【解答】
（1）在中，，，
∴；
在中，，，
∴
∴或；
故答案为：；；
【分析】
（1）分别在和中应用勾股定理即可；
（2）利用（1）的结论解关于x的方程先求出BD，再在中应用勾股定理求出高BC上的高AD即可．
（1）在中，，，
∴；
在中，，，
∴
∴或；
故答案为：；；
（2）在中，，，
∴；
在中，，，
∴
∴，
解得：，
∴，
∴
21．（2025八上·上虞期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
（1）求该一次函数的表达式．
（2）若点在该函数图象上，求点的坐标．
（3）当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值．求的取值范围．
【答案】（1）解：由题知，将点代入得，，解得，，
∴一次函数的表达式为．
（2）解：将点代入得，，解得，
则，，
∴点的坐标为．
（3）解：∵当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值，
∴当时，一次函数的函数值不小于一次函数的函数值，
则，
解得，，
∴的取值范围是．
【解析】【分析】
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）直接利用直线上点的坐标特征列关于m的方程求解即可；
（3）由于一次函数的函数值随着自变量x的增大而增大，则当x=6时其对应的函数值不小于一次函数的函数值，则由题意可列关于n的不等式并不解即可．
（1）解：由题知，将点代入得，，
解得，，
∴一次函数的表达式为．
（2）解：将点代入得，，
解得，
则，，
∴点的坐标为．
（3）解：∵当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数的值，
∴当时，一次函数的函数值不小于一次函数的函数值，
则，
解得，，
∴的取值范围是．
22．（2024八上·黔西南期末）中华人民共和国五星红旗上大五角星代表中国共产党，四颗小五角星代表工人、农民、小资产阶级和民族资产阶级四个阶级．五颗五角星互相连缀、疏密相间，象征中国人民大团结．每颗小星各有一个尖角正对大星中心点，表示人民对党的向心之意，如图①：根据图形填空：
（1） ， ；
（2） ；
（3）【应用】
如图②．求的度数．
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：如图②，由三角形外角的性质得，，
由三角形内角定理得，
．
【解析】【分析】（1）根据三角形的外角性质即可求解；
（2）根据三角形的内角和定理以及等量代化即可求解；
（3）利用三角形的外角性质以及内角和定理即可求解.
23．（2025八上·上城期末）在平面直角坐标系中，对于点，若点坐标为，则称点为点的“关联点”．例如，点，则点是点的“关联点”．
（1）若点，则点的坐标为______；
（2）若点则点的坐标为（______）；并猜想：若点在轴上，则中，的关系式：______．
（3）若点是点的“关联点”，若点向右平移个单位可与重合，求点的坐标．
【答案】（1）
（2），，
（3）解：令点的坐标为，
∵点Q4是点P4的“关联点”，
∴点的坐标为，
∵将点向右平移个单位后，所得点的坐标为，且此点与重合，
∴，
解得，
所以点的坐标为．
【解析】【解答】（1）解：因为点是点的“关联点”，且点的坐标为，
又，，
所以点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：令点的坐标为，
∵因为点Q2是点P2的“关联点”， 点 ，
∴，
解得，
所以点的坐标为；
∵点坐标为，点Q3是点P3的“关联点”，
∴点的坐标为．
又∵点在轴上，
所以，
即，的关系式为．
故答案为：，，；
【分析】（1）根据“关联点”的定义进行计算即可；
（2）令点的坐标为，再根据“关联点”的定义建立关于，的方程进行计算即可；先根据“关联点”定义用，表示出的坐标，再结合y轴上点的横坐标为零，可得x与y的关系式；
（3）令点的坐标为，根据“关联点”的定义用，表示出点的坐标，再根据点的坐标平移规律“左移减右移加，上移加下移减”表示出点向右平移个单位后的坐标，最后根据此点与重合，建立关于，的等式即可求解.
（1）解：因为点是点的“关联点”，且点的坐标为，
且，，
所以点的坐标为．
故答案为：．
（2）解：令点的坐标为，
根据题意可得，
解得，
所以点的坐标为．
由点坐标为可知，
点的坐标为．
因为点在轴上，
所以，
即，的关系式为．
故答案为：，，．
（3）解：令点的坐标为，
则点的坐标为，
将点向右平移个单位后，所得点的坐标为，
因为此点与重合，
所以，
解得，
所以点的坐标为．
24．（2024八上·鹿寨期末）在中，，是上一点，且．
（1）如图，延长至，使，连接求证：；
（2）如图，在边上取一点，使，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，为延长线上一点，连接，，若，猜想与的数量关系并证明．
【答案】（1）证明：，
，
，
即，
在和中
，
，
；
（2）证明：延长至点，使得，连接，
由得，
，
是等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
由（1）可 得，
，
，
，
即；
（3）解：，
证明如下：
在上截取，连接，
由可知，均为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又为等边三角形，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）由等边对等角及等角的补角相等可得∠ADB=∠ACE，从而用SAS科证△ABD≌△AEC，进而根据全等三角形的对应边相等可得结论；
（2）延长到E，使，由（1）知，，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形可证明是等边三角形，是等边三角形，则，即可得到结论；
（3）在上取点E，使，连接，由等边三角形的性质及AAS证△APE≌△PFD，由全等三角形的性质得，结合等边三角形的性质得到，由即可得到结论．
25．（2024八上·拱墅期末）小王骑自行车从家出发沿公路匀速前往新华书店，小王妈妈骑电瓶车从新华书店出发沿同一条路回家，线段与折线分别表示两人离家的距离（km）与小王的行驶时间（h）之间的函数关系的图象，请解决以下问题．
（1）求的函数表达式；
（2）求CD的函数表达式；
（3）求点的坐标；
（4）设小王和妈妈两人之间的距离为S（km），当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：设OA的函数表达式为
∴
∴OA的函数表达式为.
（2）解：设CD的函数表达式为：
∴CD的函数表达式为：.
（3）解：
∴
∴点K的坐标为：.
（4）解：①当时，由图象知：不合题意，
②当时，
当时，
即
③当时，
当时，
即
④当时，则不合题意，
综上所述，t的取值范围为：.
【解析】【分析】（1）设OA的函数表达式为把点A的坐标代入求出a的值即可求解；
（2）设CD的函数表达式为：把点C和点D的坐标代入求出k和b值，即可求解；
（3）联立两个直线的表达式得到，解此方程组即可求解；
（4）由题意知需分四种情况讨论，①当时，②当时，③当时，④当时，分别进行讨论即可.
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